Theorem archirng 30812

Description: Property of Archimedean ordered groups, framing positive 𝑌 between multiples of 𝑋. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Apr-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
archirng.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
archirng.0	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
archirng.i	⊢ < = (lt‘𝑊)
archirng.l	⊢ ≤ = (le‘𝑊)
archirng.x	⊢ · = (.g‘𝑊)
archirng.1	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ oGrp)
archirng.2	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Archi)
archirng.3	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
archirng.4	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
archirng.5	⊢ (𝜑 → 0 < 𝑋)
archirng.6	⊢ (𝜑 → 0 < 𝑌)

Assertion

Ref	Expression
archirng	⊢ (𝜑 → ∃𝑛 ∈ ℕ0 ((𝑛 · 𝑋) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑋)))

Distinct variable groups:   𝑛,𝑋   𝑛,𝑌   𝜑,𝑛   0 ,𝑛   ≤ ,𝑛   < ,𝑛   · ,𝑛

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑛)   𝑊(𝑛)

Proof of Theorem archirng

Dummy variables 𝑥 𝑚 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7157	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 0 → (𝑚 · 𝑋) = (0 · 𝑋))
2	1	breq2d 5070	. . 3 ⊢ (𝑚 = 0 → (𝑌 ≤ (𝑚 · 𝑋) ↔ 𝑌 ≤ (0 · 𝑋)))
3		oveq1 7157	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (𝑚 · 𝑋) = (𝑛 · 𝑋))
4	3	breq2d 5070	. . 3 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (𝑌 ≤ (𝑚 · 𝑋) ↔ 𝑌 ≤ (𝑛 · 𝑋)))
5		oveq1 7157	. . . 4 ⊢ (𝑚 = (𝑛 + 1) → (𝑚 · 𝑋) = ((𝑛 + 1) · 𝑋))
6	5	breq2d 5070	. . 3 ⊢ (𝑚 = (𝑛 + 1) → (𝑌 ≤ (𝑚 · 𝑋) ↔ 𝑌 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑋)))
7		archirng.6	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑌)
8		archirng.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ oGrp)
9		isogrp 30698	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ oGrp ↔ (𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑊 ∈ oMnd))
10	9	simprbi 499	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ oGrp → 𝑊 ∈ oMnd)
11		omndtos 30701	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ oMnd → 𝑊 ∈ Toset)
12	8, 10, 11	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Toset)
13		ogrpgrp 30699	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ oGrp → 𝑊 ∈ Grp)
14	8, 13	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Grp)
15		archirng.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
16		archirng.0	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
17	15, 16	grpidcl 18125	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ Grp → 0 ∈ 𝐵)
18	14, 17	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝐵)
19		archirng.4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
20		archirng.l	. . . . . . 7 ⊢ ≤ = (le‘𝑊)
21		archirng.i	. . . . . . 7 ⊢ < = (lt‘𝑊)
22	15, 20, 21	tltnle 30644	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Toset ∧ 0 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( 0 < 𝑌 ↔ ¬ 𝑌 ≤ 0 ))
23	12, 18, 19, 22	syl3anc 1367	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ( 0 < 𝑌 ↔ ¬ 𝑌 ≤ 0 ))
24	7, 23	mpbid 234	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑌 ≤ 0 )
25		archirng.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
26		archirng.x	. . . . . . 7 ⊢ · = (.g‘𝑊)
27	15, 16, 26	mulg0 18225	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (0 · 𝑋) = 0 )
28	25, 27	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0 · 𝑋) = 0 )
29	28	breq2d 5070	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ≤ (0 · 𝑋) ↔ 𝑌 ≤ 0 ))
30	24, 29	mtbird 327	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑌 ≤ (0 · 𝑋))
31	25, 19	jca 514	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵))
32		omndmnd 30700	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ oMnd → 𝑊 ∈ Mnd)
33	8, 10, 32	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Mnd)
34		archirng.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Archi)
35	15, 16, 26, 20, 21	isarchi2 30809	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Toset ∧ 𝑊 ∈ Mnd) → (𝑊 ∈ Archi ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ( 0 < 𝑥 → ∃𝑚 ∈ ℕ 𝑦 ≤ (𝑚 · 𝑥))))
36	35	biimpa 479	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ Toset ∧ 𝑊 ∈ Mnd) ∧ 𝑊 ∈ Archi) → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ( 0 < 𝑥 → ∃𝑚 ∈ ℕ 𝑦 ≤ (𝑚 · 𝑥)))
37	12, 33, 34, 36	syl21anc 835	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ( 0 < 𝑥 → ∃𝑚 ∈ ℕ 𝑦 ≤ (𝑚 · 𝑥)))
38		archirng.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑋)
39		breq2 5062	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ( 0 < 𝑥 ↔ 0 < 𝑋))
40		oveq2 7158	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑚 · 𝑥) = (𝑚 · 𝑋))
41	40	breq2d 5070	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑦 ≤ (𝑚 · 𝑥) ↔ 𝑦 ≤ (𝑚 · 𝑋)))
42	41	rexbidv 3297	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (∃𝑚 ∈ ℕ 𝑦 ≤ (𝑚 · 𝑥) ↔ ∃𝑚 ∈ ℕ 𝑦 ≤ (𝑚 · 𝑋)))
43	39, 42	imbi12d 347	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (( 0 < 𝑥 → ∃𝑚 ∈ ℕ 𝑦 ≤ (𝑚 · 𝑥)) ↔ ( 0 < 𝑋 → ∃𝑚 ∈ ℕ 𝑦 ≤ (𝑚 · 𝑋))))
44		breq1 5061	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (𝑦 ≤ (𝑚 · 𝑋) ↔ 𝑌 ≤ (𝑚 · 𝑋)))
45	44	rexbidv 3297	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (∃𝑚 ∈ ℕ 𝑦 ≤ (𝑚 · 𝑋) ↔ ∃𝑚 ∈ ℕ 𝑌 ≤ (𝑚 · 𝑋)))
46	45	imbi2d 343	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (( 0 < 𝑋 → ∃𝑚 ∈ ℕ 𝑦 ≤ (𝑚 · 𝑋)) ↔ ( 0 < 𝑋 → ∃𝑚 ∈ ℕ 𝑌 ≤ (𝑚 · 𝑋))))
47	43, 46	rspc2v 3632	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ( 0 < 𝑥 → ∃𝑚 ∈ ℕ 𝑦 ≤ (𝑚 · 𝑥)) → ( 0 < 𝑋 → ∃𝑚 ∈ ℕ 𝑌 ≤ (𝑚 · 𝑋))))
48	31, 37, 38, 47	syl3c 66	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑚 ∈ ℕ 𝑌 ≤ (𝑚 · 𝑋))
49	2, 4, 6, 30, 48	nn0min 30531	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑛 ∈ ℕ0 (¬ 𝑌 ≤ (𝑛 · 𝑋) ∧ 𝑌 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑋)))
50	12	adantr 483	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑊 ∈ Toset)
51	14	adantr 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑊 ∈ Grp)
52		simpr 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑛 ∈ ℕ0)
53	52	nn0zd 12079	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑛 ∈ ℤ)
54	25	adantr 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑋 ∈ 𝐵)
55	15, 26	mulgcl 18239	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑛 · 𝑋) ∈ 𝐵)
56	51, 53, 54, 55	syl3anc 1367	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑛 · 𝑋) ∈ 𝐵)
57	19	adantr 483	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑌 ∈ 𝐵)
58	15, 20, 21	tltnle 30644	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Toset ∧ (𝑛 · 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑛 · 𝑋) < 𝑌 ↔ ¬ 𝑌 ≤ (𝑛 · 𝑋)))
59	50, 56, 57, 58	syl3anc 1367	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑛 · 𝑋) < 𝑌 ↔ ¬ 𝑌 ≤ (𝑛 · 𝑋)))
60	59	anbi1d 631	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (((𝑛 · 𝑋) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑋)) ↔ (¬ 𝑌 ≤ (𝑛 · 𝑋) ∧ 𝑌 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑋))))
61	60	rexbidva 3296	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑛 ∈ ℕ0 ((𝑛 · 𝑋) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑋)) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ0 (¬ 𝑌 ≤ (𝑛 · 𝑋) ∧ 𝑌 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑋))))
62	49, 61	mpbird 259	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑛 ∈ ℕ0 ((𝑛 · 𝑋) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑋)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1533   ∈ wcel 2110  ∀wral 3138  ∃wrex 3139   class class class wbr 5058  ‘cfv 6349  (class class class)co 7150  0cc0 10531  1c1 10532   + caddc 10534  ℕcn 11632  ℕ₀cn0 11891  ℤcz 11975  Basecbs 16477  lecple 16566  0_gc0g 16707  ltcplt 17545  Tosetctos 17637  Mndcmnd 17905  Grpcgrp 18097  ._gcmg 18218  oMndcomnd 30693  oGrpcogrp 30694  Archicarchi 30801

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-iun 4913  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7575  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-er 8283  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-nn 11633  df-n0 11892  df-z 11976  df-uz 12238  df-fz 12887  df-seq 13364  df-0g 16709  df-proset 17532  df-poset 17550  df-plt 17562  df-toset 17638  df-mgm 17846  df-sgrp 17895  df-mnd 17906  df-grp 18100  df-minusg 18101  df-mulg 18219  df-omnd 30695  df-ogrp 30696  df-inftm 30802  df-archi 30803

This theorem is referenced by:  archirngz  30813  archiabllem1a  30815