Users' Mathboxes Mathbox for Jon Pennant < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  arearect Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem arearect 37268
Description: The area of a rectangle whose sides are parallel to the coordinate axes in (ℝ × ℝ) is its width multiplied by its height. (Contributed by Jon Pennant, 19-Mar-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
arearect.1 𝐴 ∈ ℝ
arearect.2 𝐵 ∈ ℝ
arearect.3 𝐶 ∈ ℝ
arearect.4 𝐷 ∈ ℝ
arearect.5 𝐴𝐵
arearect.6 𝐶𝐷
arearect.7 𝑆 = ((𝐴[,]𝐵) × (𝐶[,]𝐷))
Assertion
Ref Expression
arearect (area‘𝑆) = ((𝐵𝐴) · (𝐷𝐶))

Proof of Theorem arearect
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 arearect.7 . . . . 5 𝑆 = ((𝐴[,]𝐵) × (𝐶[,]𝐷))
2 arearect.1 . . . . . . 7 𝐴 ∈ ℝ
3 arearect.2 . . . . . . 7 𝐵 ∈ ℝ
4 iccssre 12194 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
52, 3, 4mp2an 707 . . . . . 6 (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ
6 arearect.3 . . . . . . 7 𝐶 ∈ ℝ
7 arearect.4 . . . . . . 7 𝐷 ∈ ℝ
8 iccssre 12194 . . . . . . 7 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) → (𝐶[,]𝐷) ⊆ ℝ)
96, 7, 8mp2an 707 . . . . . 6 (𝐶[,]𝐷) ⊆ ℝ
10 xpss12 5191 . . . . . 6 (((𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ ∧ (𝐶[,]𝐷) ⊆ ℝ) → ((𝐴[,]𝐵) × (𝐶[,]𝐷)) ⊆ (ℝ × ℝ))
115, 9, 10mp2an 707 . . . . 5 ((𝐴[,]𝐵) × (𝐶[,]𝐷)) ⊆ (ℝ × ℝ)
121, 11eqsstri 3619 . . . 4 𝑆 ⊆ (ℝ × ℝ)
13 iftrue 4069 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) → if(𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐷𝐶), 0) = (𝐷𝐶))
141imaeq1i 5426 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑆 “ {𝑥}) = (((𝐴[,]𝐵) × (𝐶[,]𝐷)) “ {𝑥})
15 iftrue 4069 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) → if(𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐶[,]𝐷), ∅) = (𝐶[,]𝐷))
16 xpimasn 5542 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) → (((𝐴[,]𝐵) × (𝐶[,]𝐷)) “ {𝑥}) = (𝐶[,]𝐷))
1715, 16eqtr4d 2663 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) → if(𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐶[,]𝐷), ∅) = (((𝐴[,]𝐵) × (𝐶[,]𝐷)) “ {𝑥}))
18 iffalse 4072 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) → if(𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐶[,]𝐷), ∅) = ∅)
19 disjsn 4221 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴[,]𝐵) ∩ {𝑥}) = ∅ ↔ ¬ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
20 xpima1 5540 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴[,]𝐵) ∩ {𝑥}) = ∅ → (((𝐴[,]𝐵) × (𝐶[,]𝐷)) “ {𝑥}) = ∅)
2119, 20sylbir 225 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) → (((𝐴[,]𝐵) × (𝐶[,]𝐷)) “ {𝑥}) = ∅)
2218, 21eqtr4d 2663 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) → if(𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐶[,]𝐷), ∅) = (((𝐴[,]𝐵) × (𝐶[,]𝐷)) “ {𝑥}))
2317, 22pm2.61i 176 . . . . . . . . . . . . . . 15 if(𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐶[,]𝐷), ∅) = (((𝐴[,]𝐵) × (𝐶[,]𝐷)) “ {𝑥})
2414, 23eqtr4i 2651 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑆 “ {𝑥}) = if(𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐶[,]𝐷), ∅)
2524fveq2i 6153 . . . . . . . . . . . . 13 (vol‘(𝑆 “ {𝑥})) = (vol‘if(𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐶[,]𝐷), ∅))
2615fveq2d 6154 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) → (vol‘if(𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐶[,]𝐷), ∅)) = (vol‘(𝐶[,]𝐷)))
2725, 26syl5eq 2672 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) → (vol‘(𝑆 “ {𝑥})) = (vol‘(𝐶[,]𝐷)))
28 iccmbl 23236 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) → (𝐶[,]𝐷) ∈ dom vol)
296, 7, 28mp2an 707 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐶[,]𝐷) ∈ dom vol
30 mblvol 23200 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐶[,]𝐷) ∈ dom vol → (vol‘(𝐶[,]𝐷)) = (vol*‘(𝐶[,]𝐷)))
3129, 30ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 (vol‘(𝐶[,]𝐷)) = (vol*‘(𝐶[,]𝐷))
32 arearect.6 . . . . . . . . . . . . . 14 𝐶𝐷
33 ovolicc 23193 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐶𝐷) → (vol*‘(𝐶[,]𝐷)) = (𝐷𝐶))
346, 7, 32, 33mp3an 1421 . . . . . . . . . . . . 13 (vol*‘(𝐶[,]𝐷)) = (𝐷𝐶)
3531, 34eqtri 2648 . . . . . . . . . . . 12 (vol‘(𝐶[,]𝐷)) = (𝐷𝐶)
3627, 35syl6eq 2676 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) → (vol‘(𝑆 “ {𝑥})) = (𝐷𝐶))
3713, 36eqtr4d 2663 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) → if(𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐷𝐶), 0) = (vol‘(𝑆 “ {𝑥})))
38 iffalse 4072 . . . . . . . . . . 11 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) → if(𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐷𝐶), 0) = 0)
3918fveq2d 6154 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) → (vol‘if(𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐶[,]𝐷), ∅)) = (vol‘∅))
4025, 39syl5eq 2672 . . . . . . . . . . . 12 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) → (vol‘(𝑆 “ {𝑥})) = (vol‘∅))
41 0mbl 23209 . . . . . . . . . . . . . 14 ∅ ∈ dom vol
42 mblvol 23200 . . . . . . . . . . . . . 14 (∅ ∈ dom vol → (vol‘∅) = (vol*‘∅))
4341, 42ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 (vol‘∅) = (vol*‘∅)
44 ovol0 23163 . . . . . . . . . . . . 13 (vol*‘∅) = 0
4543, 44eqtri 2648 . . . . . . . . . . . 12 (vol‘∅) = 0
4640, 45syl6eq 2676 . . . . . . . . . . 11 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) → (vol‘(𝑆 “ {𝑥})) = 0)
4738, 46eqtr4d 2663 . . . . . . . . . 10 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) → if(𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐷𝐶), 0) = (vol‘(𝑆 “ {𝑥})))
4837, 47pm2.61i 176 . . . . . . . . 9 if(𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐷𝐶), 0) = (vol‘(𝑆 “ {𝑥}))
4948eqcomi 2635 . . . . . . . 8 (vol‘(𝑆 “ {𝑥})) = if(𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐷𝐶), 0)
5049a1i 11 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ → (vol‘(𝑆 “ {𝑥})) = if(𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐷𝐶), 0))
517, 6resubcli 10288 . . . . . . . 8 (𝐷𝐶) ∈ ℝ
52 0re 9985 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ
5351, 52keepel 4132 . . . . . . 7 if(𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐷𝐶), 0) ∈ ℝ
5450, 53syl6eqel 2712 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ → (vol‘(𝑆 “ {𝑥})) ∈ ℝ)
55 volf 23199 . . . . . . . 8 vol:dom vol⟶(0[,]+∞)
56 ffun 6007 . . . . . . . 8 (vol:dom vol⟶(0[,]+∞) → Fun vol)
5755, 56ax-mp 5 . . . . . . 7 Fun vol
5829, 41keepel 4132 . . . . . . . 8 if(𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐶[,]𝐷), ∅) ∈ dom vol
5924, 58eqeltri 2700 . . . . . . 7 (𝑆 “ {𝑥}) ∈ dom vol
60 fvimacnv 6289 . . . . . . 7 ((Fun vol ∧ (𝑆 “ {𝑥}) ∈ dom vol) → ((vol‘(𝑆 “ {𝑥})) ∈ ℝ ↔ (𝑆 “ {𝑥}) ∈ (vol “ ℝ)))
6157, 59, 60mp2an 707 . . . . . 6 ((vol‘(𝑆 “ {𝑥})) ∈ ℝ ↔ (𝑆 “ {𝑥}) ∈ (vol “ ℝ))
6254, 61sylib 208 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑆 “ {𝑥}) ∈ (vol “ ℝ))
6362rgen 2922 . . . 4 𝑥 ∈ ℝ (𝑆 “ {𝑥}) ∈ (vol “ ℝ)
645a1i 11 . . . . . 6 (0 ∈ ℝ → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
65 rembl 23210 . . . . . . 7 ℝ ∈ dom vol
6665a1i 11 . . . . . 6 (0 ∈ ℝ → ℝ ∈ dom vol)
6736, 51syl6eqel 2712 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) → (vol‘(𝑆 “ {𝑥})) ∈ ℝ)
6867adantl 482 . . . . . 6 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (vol‘(𝑆 “ {𝑥})) ∈ ℝ)
69 eldifn 3716 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵)) → ¬ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
7069, 46syl 17 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵)) → (vol‘(𝑆 “ {𝑥})) = 0)
7170adantl 482 . . . . . 6 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵))) → (vol‘(𝑆 “ {𝑥})) = 0)
7236mpteq2ia 4705 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (vol‘(𝑆 “ {𝑥}))) = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝐷𝐶))
7351recni 9997 . . . . . . . . . 10 (𝐷𝐶) ∈ ℂ
74 ax-resscn 9938 . . . . . . . . . . 11 ℝ ⊆ ℂ
755, 74sstri 3597 . . . . . . . . . 10 (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℂ
76 ssid 3608 . . . . . . . . . 10 ℂ ⊆ ℂ
77 cncfmptc 22617 . . . . . . . . . 10 (((𝐷𝐶) ∈ ℂ ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝐷𝐶)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
7873, 75, 76, 77mp3an 1421 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝐷𝐶)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ)
79 cniccibl 23508 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝐷𝐶)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ)) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝐷𝐶)) ∈ 𝐿1)
802, 3, 78, 79mp3an 1421 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝐷𝐶)) ∈ 𝐿1
8172, 80eqeltri 2700 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (vol‘(𝑆 “ {𝑥}))) ∈ 𝐿1
8281a1i 11 . . . . . 6 (0 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (vol‘(𝑆 “ {𝑥}))) ∈ 𝐿1)
8364, 66, 68, 71, 82iblss2 23473 . . . . 5 (0 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ ℝ ↦ (vol‘(𝑆 “ {𝑥}))) ∈ 𝐿1)
8452, 83ax-mp 5 . . . 4 (𝑥 ∈ ℝ ↦ (vol‘(𝑆 “ {𝑥}))) ∈ 𝐿1
85 dmarea 24579 . . . 4 (𝑆 ∈ dom area ↔ (𝑆 ⊆ (ℝ × ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑆 “ {𝑥}) ∈ (vol “ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ↦ (vol‘(𝑆 “ {𝑥}))) ∈ 𝐿1))
8612, 63, 84, 85mpbir3an 1242 . . 3 𝑆 ∈ dom area
87 areaval 24586 . . 3 (𝑆 ∈ dom area → (area‘𝑆) = ∫ℝ(vol‘(𝑆 “ {𝑥})) d𝑥)
8886, 87ax-mp 5 . 2 (area‘𝑆) = ∫ℝ(vol‘(𝑆 “ {𝑥})) d𝑥
89 itgeq2 23445 . . . 4 (∀𝑥 ∈ ℝ (vol‘(𝑆 “ {𝑥})) = if(𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐷𝐶), 0) → ∫ℝ(vol‘(𝑆 “ {𝑥})) d𝑥 = ∫ℝif(𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐷𝐶), 0) d𝑥)
9089, 50mprg 2926 . . 3 ∫ℝ(vol‘(𝑆 “ {𝑥})) d𝑥 = ∫ℝif(𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐷𝐶), 0) d𝑥
91 iccmbl 23236 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ∈ dom vol)
922, 3, 91mp2an 707 . . . . 5 (𝐴[,]𝐵) ∈ dom vol
93 mblvol 23200 . . . . . . . 8 ((𝐴[,]𝐵) ∈ dom vol → (vol‘(𝐴[,]𝐵)) = (vol*‘(𝐴[,]𝐵)))
9492, 93ax-mp 5 . . . . . . 7 (vol‘(𝐴[,]𝐵)) = (vol*‘(𝐴[,]𝐵))
95 arearect.5 . . . . . . . 8 𝐴𝐵
96 ovolicc 23193 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵) → (vol*‘(𝐴[,]𝐵)) = (𝐵𝐴))
972, 3, 95, 96mp3an 1421 . . . . . . 7 (vol*‘(𝐴[,]𝐵)) = (𝐵𝐴)
9894, 97eqtri 2648 . . . . . 6 (vol‘(𝐴[,]𝐵)) = (𝐵𝐴)
993, 2resubcli 10288 . . . . . 6 (𝐵𝐴) ∈ ℝ
10098, 99eqeltri 2700 . . . . 5 (vol‘(𝐴[,]𝐵)) ∈ ℝ
101 itgconst 23486 . . . . 5 (((𝐴[,]𝐵) ∈ dom vol ∧ (vol‘(𝐴[,]𝐵)) ∈ ℝ ∧ (𝐷𝐶) ∈ ℂ) → ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐷𝐶) d𝑥 = ((𝐷𝐶) · (vol‘(𝐴[,]𝐵))))
10292, 100, 73, 101mp3an 1421 . . . 4 ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐷𝐶) d𝑥 = ((𝐷𝐶) · (vol‘(𝐴[,]𝐵)))
103 itgss2 23480 . . . . 5 ((𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ → ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐷𝐶) d𝑥 = ∫ℝif(𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐷𝐶), 0) d𝑥)
1045, 103ax-mp 5 . . . 4 ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐷𝐶) d𝑥 = ∫ℝif(𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐷𝐶), 0) d𝑥
10598oveq2i 6616 . . . 4 ((𝐷𝐶) · (vol‘(𝐴[,]𝐵))) = ((𝐷𝐶) · (𝐵𝐴))
106102, 104, 1053eqtr3i 2656 . . 3 ∫ℝif(𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐷𝐶), 0) d𝑥 = ((𝐷𝐶) · (𝐵𝐴))
10790, 106eqtri 2648 . 2 ∫ℝ(vol‘(𝑆 “ {𝑥})) d𝑥 = ((𝐷𝐶) · (𝐵𝐴))
10899recni 9997 . . 3 (𝐵𝐴) ∈ ℂ
10973, 108mulcomi 9991 . 2 ((𝐷𝐶) · (𝐵𝐴)) = ((𝐵𝐴) · (𝐷𝐶))
11088, 107, 1093eqtri 2652 1 (area‘𝑆) = ((𝐵𝐴) · (𝐷𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wb 196   = wceq 1480  wcel 1992  wral 2912  cdif 3557  cin 3559  wss 3560  c0 3896  ifcif 4063  {csn 4153   class class class wbr 4618  cmpt 4678   × cxp 5077  ccnv 5078  dom cdm 5079  cima 5082  Fun wfun 5844  wf 5846  cfv 5850  (class class class)co 6605  cc 9879  cr 9880  0cc0 9881   · cmul 9886  +∞cpnf 10016  cle 10020  cmin 10211  [,]cicc 12117  cnccncf 22582  vol*covol 23133  volcvol 23134  𝐿1cibl 23287  citg 23288  areacarea 24577
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-inf2 8483  ax-cc 9202  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958  ax-pre-sup 9959  ax-addf 9960  ax-mulf 9961
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-iin 4493  df-disj 4589  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-se 5039  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-isom 5859  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-of 6851  df-ofr 6852  df-om 7014  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-supp 7242  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-1o 7506  df-2o 7507  df-oadd 7510  df-omul 7511  df-er 7688  df-map 7805  df-pm 7806  df-ixp 7854  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-fin 7904  df-fsupp 8221  df-fi 8262  df-sup 8293  df-inf 8294  df-oi 8360  df-card 8710  df-acn 8713  df-cda 8935  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-div 10630  df-nn 10966  df-2 11024  df-3 11025  df-4 11026  df-5 11027  df-6 11028  df-7 11029  df-8 11030  df-9 11031  df-n0 11238  df-z 11323  df-dec 11438  df-uz 11632  df-q 11733  df-rp 11777  df-xneg 11890  df-xadd 11891  df-xmul 11892  df-ioo 12118  df-ioc 12119  df-ico 12120  df-icc 12121  df-fz 12266  df-fzo 12404  df-fl 12530  df-mod 12606  df-seq 12739  df-exp 12798  df-hash 13055  df-cj 13768  df-re 13769  df-im 13770  df-sqrt 13904  df-abs 13905  df-limsup 14131  df-clim 14148  df-rlim 14149  df-sum 14346  df-struct 15778  df-ndx 15779  df-slot 15780  df-base 15781  df-sets 15782  df-ress 15783  df-plusg 15870  df-mulr 15871  df-starv 15872  df-sca 15873  df-vsca 15874  df-ip 15875  df-tset 15876  df-ple 15877  df-ds 15880  df-unif 15881  df-hom 15882  df-cco 15883  df-rest 15999  df-topn 16000  df-0g 16018  df-gsum 16019  df-topgen 16020  df-pt 16021  df-prds 16024  df-xrs 16078  df-qtop 16083  df-imas 16084  df-xps 16086  df-mre 16162  df-mrc 16163  df-acs 16165  df-mgm 17158  df-sgrp 17200  df-mnd 17211  df-submnd 17252  df-mulg 17457  df-cntz 17666  df-cmn 18111  df-psmet 19652  df-xmet 19653  df-met 19654  df-bl 19655  df-mopn 19656  df-cnfld 19661  df-top 20616  df-bases 20617  df-topon 20618  df-topsp 20619  df-cn 20936  df-cnp 20937  df-cmp 21095  df-tx 21270  df-hmeo 21463  df-xms 22030  df-ms 22031  df-tms 22032  df-cncf 22584  df-ovol 23135  df-vol 23136  df-mbf 23289  df-itg1 23290  df-itg2 23291  df-ibl 23292  df-itg 23293  df-0p 23338  df-area 24578
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator