MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  arwcd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem arwcd 16470
Description: The codomain of an arrow is an object. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
arwrcl.a 𝐴 = (Arrow‘𝐶)
arwdm.b 𝐵 = (Base‘𝐶)
Assertion
Ref Expression
arwcd (𝐹𝐴 → (coda𝐹) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem arwcd
StepHypRef Expression
1 arwrcl.a . . . 4 𝐴 = (Arrow‘𝐶)
2 eqid 2610 . . . 4 (Homa𝐶) = (Homa𝐶)
31, 2arwhoma 16467 . . 3 (𝐹𝐴𝐹 ∈ ((doma𝐹)(Homa𝐶)(coda𝐹)))
4 arwdm.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐶)
52, 4homarcl2 16457 . . 3 (𝐹 ∈ ((doma𝐹)(Homa𝐶)(coda𝐹)) → ((doma𝐹) ∈ 𝐵 ∧ (coda𝐹) ∈ 𝐵))
63, 5syl 17 . 2 (𝐹𝐴 → ((doma𝐹) ∈ 𝐵 ∧ (coda𝐹) ∈ 𝐵))
76simprd 478 1 (𝐹𝐴 → (coda𝐹) ∈ 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1475  wcel 1977  cfv 5790  (class class class)co 6527  Basecbs 15644  domacdoma 16442  codaccoda 16443  Arrowcarw 16444  Homachoma 16445
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4694  ax-sep 4704  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6825
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4368  df-iun 4452  df-br 4579  df-opab 4639  df-mpt 4640  df-id 4943  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-ov 6530  df-1st 7037  df-2nd 7038  df-doma 16446  df-coda 16447  df-homa 16448  df-arw 16449
This theorem is referenced by:  cdaf  16472
  Copyright terms: Public domain W3C validator