Theorem arwdm 17301

Description: The domain of an arrow is an object. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
arwrcl.a	⊢ 𝐴 = (Arrow‘𝐶)
arwdm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)

Assertion

Ref	Expression
arwdm	⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → (doma‘𝐹) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem arwdm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		arwrcl.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Arrow‘𝐶)
2		eqid 2821	. . . 4 ⊢ (Homa‘𝐶) = (Homa‘𝐶)
3	1, 2	arwhoma 17299	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → 𝐹 ∈ ((doma‘𝐹)(Homa‘𝐶)(coda‘𝐹)))
4		arwdm.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
5	2, 4	homarcl2 17289	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ ((doma‘𝐹)(Homa‘𝐶)(coda‘𝐹)) → ((doma‘𝐹) ∈ 𝐵 ∧ (coda‘𝐹) ∈ 𝐵))
6	3, 5	syl 17	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → ((doma‘𝐹) ∈ 𝐵 ∧ (coda‘𝐹) ∈ 𝐵))
7	6	simpld 497	1 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → (doma‘𝐹) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1533   ∈ wcel 2110  ‘cfv 6350  (class class class)co 7150  Basecbs 16477  dom_acdoma 17274  cod_accoda 17275  Arrowcarw 17276  Hom_achoma 17277

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2156  ax-12 2172  ax-ext 2793  ax-rep 5183  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5322  ax-un 7455

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4833  df-iun 4914  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-id 5455  df-xp 5556  df-rel 5557  df-cnv 5558  df-co 5559  df-dm 5560  df-rn 5561  df-res 5562  df-ima 5563  df-iota 6309  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-ov 7153  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-doma 17278  df-coda 17279  df-homa 17280  df-arw 17281

This theorem is referenced by:  dmaf  17303