MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  asclval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem asclval 19508
Description: Value of a mapped algebra scalar. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
asclfval.a 𝐴 = (algSc‘𝑊)
asclfval.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
asclfval.k 𝐾 = (Base‘𝐹)
asclfval.s · = ( ·𝑠𝑊)
asclfval.o 1 = (1r𝑊)
Assertion
Ref Expression
asclval (𝑋𝐾 → (𝐴𝑋) = (𝑋 · 1 ))

Proof of Theorem asclval
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 6808 . 2 (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 · 1 ) = (𝑋 · 1 ))
2 asclfval.a . . 3 𝐴 = (algSc‘𝑊)
3 asclfval.f . . 3 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
4 asclfval.k . . 3 𝐾 = (Base‘𝐹)
5 asclfval.s . . 3 · = ( ·𝑠𝑊)
6 asclfval.o . . 3 1 = (1r𝑊)
72, 3, 4, 5, 6asclfval 19507 . 2 𝐴 = (𝑥𝐾 ↦ (𝑥 · 1 ))
8 ovex 6829 . 2 (𝑋 · 1 ) ∈ V
91, 7, 8fvmpt 6432 1 (𝑋𝐾 → (𝐴𝑋) = (𝑋 · 1 ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1620  wcel 2127  cfv 6037  (class class class)co 6801  Basecbs 16030  Scalarcsca 16117   ·𝑠 cvsca 16118  1rcur 18672  algSccascl 19484
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1859  ax-4 1874  ax-5 1976  ax-6 2042  ax-7 2078  ax-8 2129  ax-9 2136  ax-10 2156  ax-11 2171  ax-12 2184  ax-13 2379  ax-ext 2728  ax-rep 4911  ax-sep 4921  ax-nul 4929  ax-pow 4980  ax-pr 5043
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1623  df-ex 1842  df-nf 1847  df-sb 2035  df-eu 2599  df-mo 2600  df-clab 2735  df-cleq 2741  df-clel 2744  df-nfc 2879  df-ne 2921  df-ral 3043  df-rex 3044  df-reu 3045  df-rab 3047  df-v 3330  df-sbc 3565  df-csb 3663  df-dif 3706  df-un 3708  df-in 3710  df-ss 3717  df-nul 4047  df-if 4219  df-sn 4310  df-pr 4312  df-op 4316  df-uni 4577  df-iun 4662  df-br 4793  df-opab 4853  df-mpt 4870  df-id 5162  df-xp 5260  df-rel 5261  df-cnv 5262  df-co 5263  df-dm 5264  df-rn 5265  df-res 5266  df-ima 5267  df-iota 6000  df-fun 6039  df-fn 6040  df-f 6041  df-f1 6042  df-fo 6043  df-f1o 6044  df-fv 6045  df-ov 6804  df-slot 16034  df-base 16036  df-ascl 19487
This theorem is referenced by:  asclghm  19511  asclmul1  19512  asclmul2  19513  asclrhm  19515  mplascl  19669  ply1scltm  19824  ply1scl0  19833  ply1scl1  19835  lply1binomsc  19850  pmatcollpwscmatlem1  20767  cayhamlem2  20862  ascl0  42644  ascl1  42645  ply1sclrmsm  42650
  Copyright terms: Public domain W3C validator