MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  asclval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem asclval 19254
Description: Value of a mapped algebra scalar. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
asclfval.a 𝐴 = (algSc‘𝑊)
asclfval.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
asclfval.k 𝐾 = (Base‘𝐹)
asclfval.s · = ( ·𝑠𝑊)
asclfval.o 1 = (1r𝑊)
Assertion
Ref Expression
asclval (𝑋𝐾 → (𝐴𝑋) = (𝑋 · 1 ))

Proof of Theorem asclval
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 6611 . 2 (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 · 1 ) = (𝑋 · 1 ))
2 asclfval.a . . 3 𝐴 = (algSc‘𝑊)
3 asclfval.f . . 3 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
4 asclfval.k . . 3 𝐾 = (Base‘𝐹)
5 asclfval.s . . 3 · = ( ·𝑠𝑊)
6 asclfval.o . . 3 1 = (1r𝑊)
72, 3, 4, 5, 6asclfval 19253 . 2 𝐴 = (𝑥𝐾 ↦ (𝑥 · 1 ))
8 ovex 6632 . 2 (𝑋 · 1 ) ∈ V
91, 7, 8fvmpt 6239 1 (𝑋𝐾 → (𝐴𝑋) = (𝑋 · 1 ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1480  wcel 1987  cfv 5847  (class class class)co 6604  Basecbs 15781  Scalarcsca 15865   ·𝑠 cvsca 15866  1rcur 18422  algSccascl 19230
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-id 4989  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-ov 6607  df-slot 15785  df-base 15786  df-ascl 19233
This theorem is referenced by:  asclghm  19257  asclmul1  19258  asclmul2  19259  asclrhm  19261  mplascl  19415  ply1scltm  19570  ply1scl0  19579  ply1scl1  19581  lply1binomsc  19596  pmatcollpwscmatlem1  20513  cayhamlem2  20608  ascl0  41450  ascl1  41451  ply1sclrmsm  41456
  Copyright terms: Public domain W3C validator