MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  asclval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem asclval 20037
Description: Value of a mapped algebra scalar. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
asclfval.a 𝐴 = (algSc‘𝑊)
asclfval.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
asclfval.k 𝐾 = (Base‘𝐹)
asclfval.s · = ( ·𝑠𝑊)
asclfval.o 1 = (1r𝑊)
Assertion
Ref Expression
asclval (𝑋𝐾 → (𝐴𝑋) = (𝑋 · 1 ))

Proof of Theorem asclval
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 7152 . 2 (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 · 1 ) = (𝑋 · 1 ))
2 asclfval.a . . 3 𝐴 = (algSc‘𝑊)
3 asclfval.f . . 3 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
4 asclfval.k . . 3 𝐾 = (Base‘𝐹)
5 asclfval.s . . 3 · = ( ·𝑠𝑊)
6 asclfval.o . . 3 1 = (1r𝑊)
72, 3, 4, 5, 6asclfval 20036 . 2 𝐴 = (𝑥𝐾 ↦ (𝑥 · 1 ))
8 ovex 7178 . 2 (𝑋 · 1 ) ∈ V
91, 7, 8fvmpt 6761 1 (𝑋𝐾 → (𝐴𝑋) = (𝑋 · 1 ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1528  wcel 2105  cfv 6348  (class class class)co 7145  Basecbs 16471  Scalarcsca 16556   ·𝑠 cvsca 16557  1rcur 19180  algSccascl 20012
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-ov 7148  df-slot 16475  df-base 16477  df-ascl 20015
This theorem is referenced by:  asclghm  20040  ascl0  20041  asclmul1  20042  asclmul2  20043  ascldimul  20044  ascldimulOLD  20045  asclrhm  20047  mplascl  20204  ply1scltm  20377  ply1scl0  20386  ply1scl1  20388  lply1binomsc  20403  pmatcollpwscmatlem1  21325  cayhamlem2  21420  ascl1  44360  ply1sclrmsm  44365
  Copyright terms: Public domain W3C validator