Users' Mathboxes Mathbox for Brendan Leahy < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  asindmre Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem asindmre 33625
Description: Real part of domain of differentiability of arcsine. (Contributed by Brendan Leahy, 19-Dec-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
dvasin.d 𝐷 = (ℂ ∖ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞)))
Assertion
Ref Expression
asindmre (𝐷 ∩ ℝ) = (-1(,)1)

Proof of Theorem asindmre
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 un12 3804 . . . . 5 ((-1(,)1) ∪ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞))) = ((-∞(,]-1) ∪ ((-1(,)1) ∪ (1[,)+∞)))
2 neg1rr 11163 . . . . . . . . . 10 -1 ∈ ℝ
32rexri 10135 . . . . . . . . 9 -1 ∈ ℝ*
4 1re 10077 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℝ
54rexri 10135 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℝ*
6 pnfxr 10130 . . . . . . . . 9 +∞ ∈ ℝ*
73, 5, 63pm3.2i 1259 . . . . . . . 8 (-1 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*)
8 neg1lt0 11165 . . . . . . . . . 10 -1 < 0
9 0lt1 10588 . . . . . . . . . 10 0 < 1
10 0re 10078 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℝ
112, 10, 4lttri 10201 . . . . . . . . . 10 ((-1 < 0 ∧ 0 < 1) → -1 < 1)
128, 9, 11mp2an 708 . . . . . . . . 9 -1 < 1
13 ltpnf 11992 . . . . . . . . . 10 (1 ∈ ℝ → 1 < +∞)
144, 13ax-mp 5 . . . . . . . . 9 1 < +∞
1512, 14pm3.2i 470 . . . . . . . 8 (-1 < 1 ∧ 1 < +∞)
16 df-ioo 12217 . . . . . . . . 9 (,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧𝑧 < 𝑦)})
17 df-ico 12219 . . . . . . . . 9 [,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑦)})
18 xrlenlt 10141 . . . . . . . . 9 ((1 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) → (1 ≤ 𝑤 ↔ ¬ 𝑤 < 1))
19 xrlttr 12011 . . . . . . . . 9 ((𝑤 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → ((𝑤 < 1 ∧ 1 < +∞) → 𝑤 < +∞))
20 xrltletr 12026 . . . . . . . . 9 ((-1 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) → ((-1 < 1 ∧ 1 ≤ 𝑤) → -1 < 𝑤))
2116, 17, 18, 16, 19, 20ixxun 12229 . . . . . . . 8 (((-1 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) ∧ (-1 < 1 ∧ 1 < +∞)) → ((-1(,)1) ∪ (1[,)+∞)) = (-1(,)+∞))
227, 15, 21mp2an 708 . . . . . . 7 ((-1(,)1) ∪ (1[,)+∞)) = (-1(,)+∞)
2322uneq2i 3797 . . . . . 6 ((-∞(,]-1) ∪ ((-1(,)1) ∪ (1[,)+∞))) = ((-∞(,]-1) ∪ (-1(,)+∞))
24 mnfxr 10134 . . . . . . . 8 -∞ ∈ ℝ*
2524, 3, 63pm3.2i 1259 . . . . . . 7 (-∞ ∈ ℝ* ∧ -1 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*)
26 mnflt 11995 . . . . . . . . 9 (-1 ∈ ℝ → -∞ < -1)
27 ltpnf 11992 . . . . . . . . 9 (-1 ∈ ℝ → -1 < +∞)
2826, 27jca 553 . . . . . . . 8 (-1 ∈ ℝ → (-∞ < -1 ∧ -1 < +∞))
292, 28ax-mp 5 . . . . . . 7 (-∞ < -1 ∧ -1 < +∞)
30 df-ioc 12218 . . . . . . . 8 (,] = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧𝑧𝑦)})
31 xrltnle 10143 . . . . . . . 8 ((-1 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) → (-1 < 𝑤 ↔ ¬ 𝑤 ≤ -1))
32 xrlelttr 12025 . . . . . . . 8 ((𝑤 ∈ ℝ* ∧ -1 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → ((𝑤 ≤ -1 ∧ -1 < +∞) → 𝑤 < +∞))
33 xrlttr 12011 . . . . . . . 8 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ -1 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) → ((-∞ < -1 ∧ -1 < 𝑤) → -∞ < 𝑤))
3430, 16, 31, 16, 32, 33ixxun 12229 . . . . . . 7 (((-∞ ∈ ℝ* ∧ -1 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) ∧ (-∞ < -1 ∧ -1 < +∞)) → ((-∞(,]-1) ∪ (-1(,)+∞)) = (-∞(,)+∞))
3525, 29, 34mp2an 708 . . . . . 6 ((-∞(,]-1) ∪ (-1(,)+∞)) = (-∞(,)+∞)
3623, 35eqtri 2673 . . . . 5 ((-∞(,]-1) ∪ ((-1(,)1) ∪ (1[,)+∞))) = (-∞(,)+∞)
37 ioomax 12286 . . . . 5 (-∞(,)+∞) = ℝ
381, 36, 373eqtri 2677 . . . 4 ((-1(,)1) ∪ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞))) = ℝ
3938difeq1i 3757 . . 3 (((-1(,)1) ∪ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞))) ∖ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞))) = (ℝ ∖ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞)))
40 difun2 4081 . . 3 (((-1(,)1) ∪ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞))) ∖ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞))) = ((-1(,)1) ∖ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞)))
41 ax-resscn 10031 . . . 4 ℝ ⊆ ℂ
42 difin2 3923 . . . 4 (ℝ ⊆ ℂ → (ℝ ∖ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞))) = ((ℂ ∖ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞))) ∩ ℝ))
4341, 42ax-mp 5 . . 3 (ℝ ∖ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞))) = ((ℂ ∖ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞))) ∩ ℝ)
4439, 40, 433eqtr3ri 2682 . 2 ((ℂ ∖ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞))) ∩ ℝ) = ((-1(,)1) ∖ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞)))
45 dvasin.d . . 3 𝐷 = (ℂ ∖ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞)))
4645ineq1i 3843 . 2 (𝐷 ∩ ℝ) = ((ℂ ∖ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞))) ∩ ℝ)
47 incom 3838 . . . . 5 ((-1(,)1) ∩ (-∞(,]-1)) = ((-∞(,]-1) ∩ (-1(,)1))
4830, 16, 31ixxdisj 12228 . . . . . 6 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ -1 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) → ((-∞(,]-1) ∩ (-1(,)1)) = ∅)
4924, 3, 5, 48mp3an 1464 . . . . 5 ((-∞(,]-1) ∩ (-1(,)1)) = ∅
5047, 49eqtri 2673 . . . 4 ((-1(,)1) ∩ (-∞(,]-1)) = ∅
5116, 17, 18ixxdisj 12228 . . . . 5 ((-1 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → ((-1(,)1) ∩ (1[,)+∞)) = ∅)
523, 5, 6, 51mp3an 1464 . . . 4 ((-1(,)1) ∩ (1[,)+∞)) = ∅
5350, 52pm3.2i 470 . . 3 (((-1(,)1) ∩ (-∞(,]-1)) = ∅ ∧ ((-1(,)1) ∩ (1[,)+∞)) = ∅)
54 un00 4044 . . . 4 ((((-1(,)1) ∩ (-∞(,]-1)) = ∅ ∧ ((-1(,)1) ∩ (1[,)+∞)) = ∅) ↔ (((-1(,)1) ∩ (-∞(,]-1)) ∪ ((-1(,)1) ∩ (1[,)+∞))) = ∅)
55 indi 3906 . . . . 5 ((-1(,)1) ∩ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞))) = (((-1(,)1) ∩ (-∞(,]-1)) ∪ ((-1(,)1) ∩ (1[,)+∞)))
5655eqeq1i 2656 . . . 4 (((-1(,)1) ∩ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞))) = ∅ ↔ (((-1(,)1) ∩ (-∞(,]-1)) ∪ ((-1(,)1) ∩ (1[,)+∞))) = ∅)
57 disj3 4054 . . . 4 (((-1(,)1) ∩ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞))) = ∅ ↔ (-1(,)1) = ((-1(,)1) ∖ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞))))
5854, 56, 573bitr2i 288 . . 3 ((((-1(,)1) ∩ (-∞(,]-1)) = ∅ ∧ ((-1(,)1) ∩ (1[,)+∞)) = ∅) ↔ (-1(,)1) = ((-1(,)1) ∖ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞))))
5953, 58mpbi 220 . 2 (-1(,)1) = ((-1(,)1) ∖ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞)))
6044, 46, 593eqtr4i 2683 1 (𝐷 ∩ ℝ) = (-1(,)1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  cdif 3604  cun 3605  cin 3606  wss 3607  c0 3948   class class class wbr 4685  (class class class)co 6690  cc 9972  cr 9973  0cc0 9974  1c1 9975  +∞cpnf 10109  -∞cmnf 10110  *cxr 10111   < clt 10112  cle 10113  -cneg 10305  (,)cioo 12213  (,]cioc 12214  [,)cico 12215
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-po 5064  df-so 5065  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-ioo 12217  df-ioc 12218  df-ico 12219
This theorem is referenced by:  dvasin  33626  dvreasin  33628  dvreacos  33629
  Copyright terms: Public domain W3C validator