MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  asinval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem asinval 24504
Description: Value of the arcsin function. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
asinval (𝐴 ∈ ℂ → (arcsin‘𝐴) = (-i · (log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))))

Proof of Theorem asinval
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6613 . . . . 5 (𝑥 = 𝐴 → (i · 𝑥) = (i · 𝐴))
2 oveq1 6612 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐴 → (𝑥↑2) = (𝐴↑2))
32oveq2d 6621 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐴 → (1 − (𝑥↑2)) = (1 − (𝐴↑2)))
43fveq2d 6154 . . . . 5 (𝑥 = 𝐴 → (√‘(1 − (𝑥↑2))) = (√‘(1 − (𝐴↑2))))
51, 4oveq12d 6623 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → ((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2)))) = ((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))
65fveq2d 6154 . . 3 (𝑥 = 𝐴 → (log‘((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2))))) = (log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))))
76oveq2d 6621 . 2 (𝑥 = 𝐴 → (-i · (log‘((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2)))))) = (-i · (log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))))
8 df-asin 24487 . 2 arcsin = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (-i · (log‘((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2)))))))
9 ovex 6633 . 2 (-i · (log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))) ∈ V
107, 8, 9fvmpt 6240 1 (𝐴 ∈ ℂ → (arcsin‘𝐴) = (-i · (log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1480  wcel 1992  cfv 5850  (class class class)co 6605  cc 9879  1c1 9882  ici 9883   + caddc 9884   · cmul 9886  cmin 10211  -cneg 10212  2c2 11015  cexp 12797  csqrt 13902  logclog 24200  arcsincasin 24484
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pr 4872
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-nul 3897  df-if 4064  df-sn 4154  df-pr 4156  df-op 4160  df-uni 4408  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-id 4994  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fv 5858  df-ov 6608  df-asin 24487
This theorem is referenced by:  asinneg  24508  efiasin  24510  asinsin  24514  asin1  24516  asinbnd  24521  areacirclem4  33102
  Copyright terms: Public domain W3C validator