Theorem aspss 19380

Description: Span preserves subset ordering. (spanss 28335 analog.) (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
aspval.a	⊢ 𝐴 = (AlgSpan‘𝑊)
aspval.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
aspss	⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑇 ⊆ 𝑆) → (𝐴‘𝑇) ⊆ (𝐴‘𝑆))

Proof of Theorem aspss

Dummy variable 𝑡 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl3 1086	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑇 ⊆ 𝑆) ∧ 𝑡 ∈ ((SubRing‘𝑊) ∩ (LSubSp‘𝑊))) → 𝑇 ⊆ 𝑆)
2		sstr2 3643	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ⊆ 𝑆 → (𝑆 ⊆ 𝑡 → 𝑇 ⊆ 𝑡))
3	1, 2	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑇 ⊆ 𝑆) ∧ 𝑡 ∈ ((SubRing‘𝑊) ∩ (LSubSp‘𝑊))) → (𝑆 ⊆ 𝑡 → 𝑇 ⊆ 𝑡))
4	3	ss2rabdv 3716	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑇 ⊆ 𝑆) → {𝑡 ∈ ((SubRing‘𝑊) ∩ (LSubSp‘𝑊)) ∣ 𝑆 ⊆ 𝑡} ⊆ {𝑡 ∈ ((SubRing‘𝑊) ∩ (LSubSp‘𝑊)) ∣ 𝑇 ⊆ 𝑡})
5		intss 4530	. . 3 ⊢ ({𝑡 ∈ ((SubRing‘𝑊) ∩ (LSubSp‘𝑊)) ∣ 𝑆 ⊆ 𝑡} ⊆ {𝑡 ∈ ((SubRing‘𝑊) ∩ (LSubSp‘𝑊)) ∣ 𝑇 ⊆ 𝑡} → ∩ {𝑡 ∈ ((SubRing‘𝑊) ∩ (LSubSp‘𝑊)) ∣ 𝑇 ⊆ 𝑡} ⊆ ∩ {𝑡 ∈ ((SubRing‘𝑊) ∩ (LSubSp‘𝑊)) ∣ 𝑆 ⊆ 𝑡})
6	4, 5	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑇 ⊆ 𝑆) → ∩ {𝑡 ∈ ((SubRing‘𝑊) ∩ (LSubSp‘𝑊)) ∣ 𝑇 ⊆ 𝑡} ⊆ ∩ {𝑡 ∈ ((SubRing‘𝑊) ∩ (LSubSp‘𝑊)) ∣ 𝑆 ⊆ 𝑡})
7		simp1 1081	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑇 ⊆ 𝑆) → 𝑊 ∈ AssAlg)
8		simp3 1083	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑇 ⊆ 𝑆) → 𝑇 ⊆ 𝑆)
9		simp2 1082	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑇 ⊆ 𝑆) → 𝑆 ⊆ 𝑉)
10	8, 9	sstrd 3646	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑇 ⊆ 𝑆) → 𝑇 ⊆ 𝑉)
11		aspval.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (AlgSpan‘𝑊)
12		aspval.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
13		eqid 2651	. . . 4 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
14	11, 12, 13	aspval 19376	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑇 ⊆ 𝑉) → (𝐴‘𝑇) = ∩ {𝑡 ∈ ((SubRing‘𝑊) ∩ (LSubSp‘𝑊)) ∣ 𝑇 ⊆ 𝑡})
15	7, 10, 14	syl2anc 694	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑇 ⊆ 𝑆) → (𝐴‘𝑇) = ∩ {𝑡 ∈ ((SubRing‘𝑊) ∩ (LSubSp‘𝑊)) ∣ 𝑇 ⊆ 𝑡})
16	11, 12, 13	aspval 19376	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → (𝐴‘𝑆) = ∩ {𝑡 ∈ ((SubRing‘𝑊) ∩ (LSubSp‘𝑊)) ∣ 𝑆 ⊆ 𝑡})
17	16	3adant3 1101	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑇 ⊆ 𝑆) → (𝐴‘𝑆) = ∩ {𝑡 ∈ ((SubRing‘𝑊) ∩ (LSubSp‘𝑊)) ∣ 𝑆 ⊆ 𝑡})
18	6, 15, 17	3sstr4d 3681	1 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑇 ⊆ 𝑆) → (𝐴‘𝑇) ⊆ (𝐴‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1054   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  {crab 2945   ∩ cin 3606   ⊆ wss 3607  ∩ cint 4507  ‘cfv 5926  Basecbs 15904  SubRingcsubrg 18824  LSubSpclss 18980  AssAlgcasa 19357  AlgSpancasp 19358

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-0g 16149  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-grp 17472  df-mgp 18536  df-ur 18548  df-ring 18595  df-subrg 18826  df-lmod 18913  df-lss 18981  df-assa 19360  df-asp 19361

This theorem is referenced by:  mplbas2  19518  mplind  19550