MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  aspval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem aspval 19247
Description: Value of the algebraic closure operation inside an associative algebra. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
aspval.a 𝐴 = (AlgSpan‘𝑊)
aspval.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
aspval.l 𝐿 = (LSubSp‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
aspval ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑆𝑉) → (𝐴𝑆) = {𝑡 ∈ ((SubRing‘𝑊) ∩ 𝐿) ∣ 𝑆𝑡})
Distinct variable groups:   𝑡,𝐿   𝑡,𝑆   𝑡,𝑉   𝑡,𝑊
Allowed substitution hint:   𝐴(𝑡)

Proof of Theorem aspval
Dummy variables 𝑠 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 aspval.a . . . . 5 𝐴 = (AlgSpan‘𝑊)
2 fveq2 6148 . . . . . . . . 9 (𝑤 = 𝑊 → (Base‘𝑤) = (Base‘𝑊))
3 aspval.v . . . . . . . . 9 𝑉 = (Base‘𝑊)
42, 3syl6eqr 2673 . . . . . . . 8 (𝑤 = 𝑊 → (Base‘𝑤) = 𝑉)
54pweqd 4135 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝑊 → 𝒫 (Base‘𝑤) = 𝒫 𝑉)
6 fveq2 6148 . . . . . . . . . 10 (𝑤 = 𝑊 → (SubRing‘𝑤) = (SubRing‘𝑊))
7 fveq2 6148 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 = 𝑊 → (LSubSp‘𝑤) = (LSubSp‘𝑊))
8 aspval.l . . . . . . . . . . 11 𝐿 = (LSubSp‘𝑊)
97, 8syl6eqr 2673 . . . . . . . . . 10 (𝑤 = 𝑊 → (LSubSp‘𝑤) = 𝐿)
106, 9ineq12d 3793 . . . . . . . . 9 (𝑤 = 𝑊 → ((SubRing‘𝑤) ∩ (LSubSp‘𝑤)) = ((SubRing‘𝑊) ∩ 𝐿))
11 rabeq 3179 . . . . . . . . 9 (((SubRing‘𝑤) ∩ (LSubSp‘𝑤)) = ((SubRing‘𝑊) ∩ 𝐿) → {𝑡 ∈ ((SubRing‘𝑤) ∩ (LSubSp‘𝑤)) ∣ 𝑠𝑡} = {𝑡 ∈ ((SubRing‘𝑊) ∩ 𝐿) ∣ 𝑠𝑡})
1210, 11syl 17 . . . . . . . 8 (𝑤 = 𝑊 → {𝑡 ∈ ((SubRing‘𝑤) ∩ (LSubSp‘𝑤)) ∣ 𝑠𝑡} = {𝑡 ∈ ((SubRing‘𝑊) ∩ 𝐿) ∣ 𝑠𝑡})
1312inteqd 4445 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝑊 {𝑡 ∈ ((SubRing‘𝑤) ∩ (LSubSp‘𝑤)) ∣ 𝑠𝑡} = {𝑡 ∈ ((SubRing‘𝑊) ∩ 𝐿) ∣ 𝑠𝑡})
145, 13mpteq12dv 4693 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑊 → (𝑠 ∈ 𝒫 (Base‘𝑤) ↦ {𝑡 ∈ ((SubRing‘𝑤) ∩ (LSubSp‘𝑤)) ∣ 𝑠𝑡}) = (𝑠 ∈ 𝒫 𝑉 {𝑡 ∈ ((SubRing‘𝑊) ∩ 𝐿) ∣ 𝑠𝑡}))
15 df-asp 19232 . . . . . 6 AlgSpan = (𝑤 ∈ AssAlg ↦ (𝑠 ∈ 𝒫 (Base‘𝑤) ↦ {𝑡 ∈ ((SubRing‘𝑤) ∩ (LSubSp‘𝑤)) ∣ 𝑠𝑡}))
16 fvex 6158 . . . . . . . . 9 (Base‘𝑊) ∈ V
173, 16eqeltri 2694 . . . . . . . 8 𝑉 ∈ V
1817pwex 4808 . . . . . . 7 𝒫 𝑉 ∈ V
1918mptex 6440 . . . . . 6 (𝑠 ∈ 𝒫 𝑉 {𝑡 ∈ ((SubRing‘𝑊) ∩ 𝐿) ∣ 𝑠𝑡}) ∈ V
2014, 15, 19fvmpt 6239 . . . . 5 (𝑊 ∈ AssAlg → (AlgSpan‘𝑊) = (𝑠 ∈ 𝒫 𝑉 {𝑡 ∈ ((SubRing‘𝑊) ∩ 𝐿) ∣ 𝑠𝑡}))
211, 20syl5eq 2667 . . . 4 (𝑊 ∈ AssAlg → 𝐴 = (𝑠 ∈ 𝒫 𝑉 {𝑡 ∈ ((SubRing‘𝑊) ∩ 𝐿) ∣ 𝑠𝑡}))
2221fveq1d 6150 . . 3 (𝑊 ∈ AssAlg → (𝐴𝑆) = ((𝑠 ∈ 𝒫 𝑉 {𝑡 ∈ ((SubRing‘𝑊) ∩ 𝐿) ∣ 𝑠𝑡})‘𝑆))
2322adantr 481 . 2 ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑆𝑉) → (𝐴𝑆) = ((𝑠 ∈ 𝒫 𝑉 {𝑡 ∈ ((SubRing‘𝑊) ∩ 𝐿) ∣ 𝑠𝑡})‘𝑆))
24 simpr 477 . . . 4 ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑆𝑉) → 𝑆𝑉)
2517elpw2 4788 . . . 4 (𝑆 ∈ 𝒫 𝑉𝑆𝑉)
2624, 25sylibr 224 . . 3 ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑆𝑉) → 𝑆 ∈ 𝒫 𝑉)
27 assaring 19239 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ AssAlg → 𝑊 ∈ Ring)
283subrgid 18703 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ Ring → 𝑉 ∈ (SubRing‘𝑊))
2927, 28syl 17 . . . . . 6 (𝑊 ∈ AssAlg → 𝑉 ∈ (SubRing‘𝑊))
30 assalmod 19238 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ AssAlg → 𝑊 ∈ LMod)
313, 8lss1 18858 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ LMod → 𝑉𝐿)
3230, 31syl 17 . . . . . 6 (𝑊 ∈ AssAlg → 𝑉𝐿)
3329, 32elind 3776 . . . . 5 (𝑊 ∈ AssAlg → 𝑉 ∈ ((SubRing‘𝑊) ∩ 𝐿))
34 sseq2 3606 . . . . . 6 (𝑡 = 𝑉 → (𝑆𝑡𝑆𝑉))
3534rspcev 3295 . . . . 5 ((𝑉 ∈ ((SubRing‘𝑊) ∩ 𝐿) ∧ 𝑆𝑉) → ∃𝑡 ∈ ((SubRing‘𝑊) ∩ 𝐿)𝑆𝑡)
3633, 35sylan 488 . . . 4 ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑆𝑉) → ∃𝑡 ∈ ((SubRing‘𝑊) ∩ 𝐿)𝑆𝑡)
37 intexrab 4783 . . . 4 (∃𝑡 ∈ ((SubRing‘𝑊) ∩ 𝐿)𝑆𝑡 {𝑡 ∈ ((SubRing‘𝑊) ∩ 𝐿) ∣ 𝑆𝑡} ∈ V)
3836, 37sylib 208 . . 3 ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑆𝑉) → {𝑡 ∈ ((SubRing‘𝑊) ∩ 𝐿) ∣ 𝑆𝑡} ∈ V)
39 sseq1 3605 . . . . . 6 (𝑠 = 𝑆 → (𝑠𝑡𝑆𝑡))
4039rabbidv 3177 . . . . 5 (𝑠 = 𝑆 → {𝑡 ∈ ((SubRing‘𝑊) ∩ 𝐿) ∣ 𝑠𝑡} = {𝑡 ∈ ((SubRing‘𝑊) ∩ 𝐿) ∣ 𝑆𝑡})
4140inteqd 4445 . . . 4 (𝑠 = 𝑆 {𝑡 ∈ ((SubRing‘𝑊) ∩ 𝐿) ∣ 𝑠𝑡} = {𝑡 ∈ ((SubRing‘𝑊) ∩ 𝐿) ∣ 𝑆𝑡})
42 eqid 2621 . . . 4 (𝑠 ∈ 𝒫 𝑉 {𝑡 ∈ ((SubRing‘𝑊) ∩ 𝐿) ∣ 𝑠𝑡}) = (𝑠 ∈ 𝒫 𝑉 {𝑡 ∈ ((SubRing‘𝑊) ∩ 𝐿) ∣ 𝑠𝑡})
4341, 42fvmptg 6237 . . 3 ((𝑆 ∈ 𝒫 𝑉 {𝑡 ∈ ((SubRing‘𝑊) ∩ 𝐿) ∣ 𝑆𝑡} ∈ V) → ((𝑠 ∈ 𝒫 𝑉 {𝑡 ∈ ((SubRing‘𝑊) ∩ 𝐿) ∣ 𝑠𝑡})‘𝑆) = {𝑡 ∈ ((SubRing‘𝑊) ∩ 𝐿) ∣ 𝑆𝑡})
4426, 38, 43syl2anc 692 . 2 ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑆𝑉) → ((𝑠 ∈ 𝒫 𝑉 {𝑡 ∈ ((SubRing‘𝑊) ∩ 𝐿) ∣ 𝑠𝑡})‘𝑆) = {𝑡 ∈ ((SubRing‘𝑊) ∩ 𝐿) ∣ 𝑆𝑡})
4523, 44eqtrd 2655 1 ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑆𝑉) → (𝐴𝑆) = {𝑡 ∈ ((SubRing‘𝑊) ∩ 𝐿) ∣ 𝑆𝑡})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wrex 2908  {crab 2911  Vcvv 3186  cin 3554  wss 3555  𝒫 cpw 4130   cint 4440  cmpt 4673  cfv 5847  Basecbs 15781  Ringcrg 18468  SubRingcsubrg 18697  LModclmod 18784  LSubSpclss 18851  AssAlgcasa 19228  AlgSpancasp 19229
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-2 11023  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-sets 15787  df-ress 15788  df-plusg 15875  df-0g 16023  df-mgm 17163  df-sgrp 17205  df-mnd 17216  df-grp 17346  df-mgp 18411  df-ur 18423  df-ring 18470  df-subrg 18699  df-lmod 18786  df-lss 18852  df-assa 19231  df-asp 19232
This theorem is referenced by:  asplss  19248  aspid  19249  aspsubrg  19250  aspss  19251  aspssid  19252  aspval2  19266
  Copyright terms: Public domain W3C validator