MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  assamulgscm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem assamulgscm 19398
Description: Exponentiation of a scalar multiplication in an associative algebra: (𝑎 · 𝑋)↑𝑁 = (𝑎𝑁) × (𝑋𝑁). (Contributed by AV, 26-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
assamulgscm.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
assamulgscm.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
assamulgscm.b 𝐵 = (Base‘𝐹)
assamulgscm.s · = ( ·𝑠𝑊)
assamulgscm.g 𝐺 = (mulGrp‘𝐹)
assamulgscm.p = (.g𝐺)
assamulgscm.h 𝐻 = (mulGrp‘𝑊)
assamulgscm.e 𝐸 = (.g𝐻)
Assertion
Ref Expression
assamulgscm ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝐵𝑋𝑉)) → (𝑁𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑁 𝐴) · (𝑁𝐸𝑋)))

Proof of Theorem assamulgscm
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 6697 . . . . . . 7 (𝑥 = 0 → (𝑥𝐸(𝐴 · 𝑋)) = (0𝐸(𝐴 · 𝑋)))
2 oveq1 6697 . . . . . . . 8 (𝑥 = 0 → (𝑥 𝐴) = (0 𝐴))
3 oveq1 6697 . . . . . . . 8 (𝑥 = 0 → (𝑥𝐸𝑋) = (0𝐸𝑋))
42, 3oveq12d 6708 . . . . . . 7 (𝑥 = 0 → ((𝑥 𝐴) · (𝑥𝐸𝑋)) = ((0 𝐴) · (0𝐸𝑋)))
51, 4eqeq12d 2666 . . . . . 6 (𝑥 = 0 → ((𝑥𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑥 𝐴) · (𝑥𝐸𝑋)) ↔ (0𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((0 𝐴) · (0𝐸𝑋))))
65imbi2d 329 . . . . 5 (𝑥 = 0 → ((((𝐴𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg) → (𝑥𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑥 𝐴) · (𝑥𝐸𝑋))) ↔ (((𝐴𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg) → (0𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((0 𝐴) · (0𝐸𝑋)))))
7 oveq1 6697 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥𝐸(𝐴 · 𝑋)) = (𝑦𝐸(𝐴 · 𝑋)))
8 oveq1 6697 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 𝐴) = (𝑦 𝐴))
9 oveq1 6697 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥𝐸𝑋) = (𝑦𝐸𝑋))
108, 9oveq12d 6708 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥 𝐴) · (𝑥𝐸𝑋)) = ((𝑦 𝐴) · (𝑦𝐸𝑋)))
117, 10eqeq12d 2666 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑥 𝐴) · (𝑥𝐸𝑋)) ↔ (𝑦𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑦 𝐴) · (𝑦𝐸𝑋))))
1211imbi2d 329 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → ((((𝐴𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg) → (𝑥𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑥 𝐴) · (𝑥𝐸𝑋))) ↔ (((𝐴𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg) → (𝑦𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑦 𝐴) · (𝑦𝐸𝑋)))))
13 oveq1 6697 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑥𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑦 + 1)𝐸(𝐴 · 𝑋)))
14 oveq1 6697 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑥 𝐴) = ((𝑦 + 1) 𝐴))
15 oveq1 6697 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑥𝐸𝑋) = ((𝑦 + 1)𝐸𝑋))
1614, 15oveq12d 6708 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝑥 𝐴) · (𝑥𝐸𝑋)) = (((𝑦 + 1) 𝐴) · ((𝑦 + 1)𝐸𝑋)))
1713, 16eqeq12d 2666 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝑥𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑥 𝐴) · (𝑥𝐸𝑋)) ↔ ((𝑦 + 1)𝐸(𝐴 · 𝑋)) = (((𝑦 + 1) 𝐴) · ((𝑦 + 1)𝐸𝑋))))
1817imbi2d 329 . . . . 5 (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((((𝐴𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg) → (𝑥𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑥 𝐴) · (𝑥𝐸𝑋))) ↔ (((𝐴𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg) → ((𝑦 + 1)𝐸(𝐴 · 𝑋)) = (((𝑦 + 1) 𝐴) · ((𝑦 + 1)𝐸𝑋)))))
19 oveq1 6697 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑁 → (𝑥𝐸(𝐴 · 𝑋)) = (𝑁𝐸(𝐴 · 𝑋)))
20 oveq1 6697 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑁 → (𝑥 𝐴) = (𝑁 𝐴))
21 oveq1 6697 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑁 → (𝑥𝐸𝑋) = (𝑁𝐸𝑋))
2220, 21oveq12d 6708 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑁 → ((𝑥 𝐴) · (𝑥𝐸𝑋)) = ((𝑁 𝐴) · (𝑁𝐸𝑋)))
2319, 22eqeq12d 2666 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑁 → ((𝑥𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑥 𝐴) · (𝑥𝐸𝑋)) ↔ (𝑁𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑁 𝐴) · (𝑁𝐸𝑋))))
2423imbi2d 329 . . . . 5 (𝑥 = 𝑁 → ((((𝐴𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg) → (𝑥𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑥 𝐴) · (𝑥𝐸𝑋))) ↔ (((𝐴𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg) → (𝑁𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑁 𝐴) · (𝑁𝐸𝑋)))))
25 assamulgscm.v . . . . . 6 𝑉 = (Base‘𝑊)
26 assamulgscm.f . . . . . 6 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
27 assamulgscm.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐹)
28 assamulgscm.s . . . . . 6 · = ( ·𝑠𝑊)
29 assamulgscm.g . . . . . 6 𝐺 = (mulGrp‘𝐹)
30 assamulgscm.p . . . . . 6 = (.g𝐺)
31 assamulgscm.h . . . . . 6 𝐻 = (mulGrp‘𝑊)
32 assamulgscm.e . . . . . 6 𝐸 = (.g𝐻)
3325, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32assamulgscmlem1 19396 . . . . 5 (((𝐴𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg) → (0𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((0 𝐴) · (0𝐸𝑋)))
3425, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32assamulgscmlem2 19397 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℕ0 → (((𝐴𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg) → ((𝑦𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑦 𝐴) · (𝑦𝐸𝑋)) → ((𝑦 + 1)𝐸(𝐴 · 𝑋)) = (((𝑦 + 1) 𝐴) · ((𝑦 + 1)𝐸𝑋)))))
3534a2d 29 . . . . 5 (𝑦 ∈ ℕ0 → ((((𝐴𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg) → (𝑦𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑦 𝐴) · (𝑦𝐸𝑋))) → (((𝐴𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg) → ((𝑦 + 1)𝐸(𝐴 · 𝑋)) = (((𝑦 + 1) 𝐴) · ((𝑦 + 1)𝐸𝑋)))))
366, 12, 18, 24, 33, 35nn0ind 11510 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → (((𝐴𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg) → (𝑁𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑁 𝐴) · (𝑁𝐸𝑋))))
3736exp4c 635 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐴𝐵 → (𝑋𝑉 → (𝑊 ∈ AssAlg → (𝑁𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑁 𝐴) · (𝑁𝐸𝑋))))))
38373imp 1275 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝐵𝑋𝑉) → (𝑊 ∈ AssAlg → (𝑁𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑁 𝐴) · (𝑁𝐸𝑋))))
3938impcom 445 1 ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝐵𝑋𝑉)) → (𝑁𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑁 𝐴) · (𝑁𝐸𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  cfv 5926  (class class class)co 6690  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977  0cn0 11330  Basecbs 15904  Scalarcsca 15991   ·𝑠 cvsca 15992  .gcmg 17587  mulGrpcmgp 18535  AssAlgcasa 19357
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365  df-seq 12842  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-plusg 16001  df-0g 16149  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-mulg 17588  df-mgp 18536  df-ur 18548  df-ring 18595  df-cring 18596  df-lmod 18913  df-assa 19360
This theorem is referenced by:  lply1binomsc  19725
  Copyright terms: Public domain W3C validator