Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  assamulgscmlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem assamulgscmlem1 19329
 Description: Lemma 1 for assamulgscm 19331 (induction base). (Contributed by AV, 26-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
assamulgscm.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
assamulgscm.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
assamulgscm.b 𝐵 = (Base‘𝐹)
assamulgscm.s · = ( ·𝑠𝑊)
assamulgscm.g 𝐺 = (mulGrp‘𝐹)
assamulgscm.p = (.g𝐺)
assamulgscm.h 𝐻 = (mulGrp‘𝑊)
assamulgscm.e 𝐸 = (.g𝐻)
Assertion
Ref Expression
assamulgscmlem1 (((𝐴𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg) → (0𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((0 𝐴) · (0𝐸𝑋)))

Proof of Theorem assamulgscmlem1
StepHypRef Expression
1 assalmod 19300 . . . 4 (𝑊 ∈ AssAlg → 𝑊 ∈ LMod)
2 assaring 19301 . . . . 5 (𝑊 ∈ AssAlg → 𝑊 ∈ Ring)
3 assamulgscm.v . . . . . 6 𝑉 = (Base‘𝑊)
4 eqid 2620 . . . . . 6 (1r𝑊) = (1r𝑊)
53, 4ringidcl 18549 . . . . 5 (𝑊 ∈ Ring → (1r𝑊) ∈ 𝑉)
62, 5syl 17 . . . 4 (𝑊 ∈ AssAlg → (1r𝑊) ∈ 𝑉)
7 assamulgscm.f . . . . . 6 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
8 assamulgscm.s . . . . . 6 · = ( ·𝑠𝑊)
9 eqid 2620 . . . . . 6 (1r𝐹) = (1r𝐹)
103, 7, 8, 9lmodvs1 18872 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (1r𝑊) ∈ 𝑉) → ((1r𝐹) · (1r𝑊)) = (1r𝑊))
1110eqcomd 2626 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (1r𝑊) ∈ 𝑉) → (1r𝑊) = ((1r𝐹) · (1r𝑊)))
121, 6, 11syl2anc 692 . . 3 (𝑊 ∈ AssAlg → (1r𝑊) = ((1r𝐹) · (1r𝑊)))
1312adantl 482 . 2 (((𝐴𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg) → (1r𝑊) = ((1r𝐹) · (1r𝑊)))
141adantl 482 . . . 4 (((𝐴𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg) → 𝑊 ∈ LMod)
15 simpll 789 . . . 4 (((𝐴𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg) → 𝐴𝐵)
16 simplr 791 . . . 4 (((𝐴𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg) → 𝑋𝑉)
17 assamulgscm.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐹)
183, 7, 8, 17lmodvscl 18861 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴𝐵𝑋𝑉) → (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑉)
1914, 15, 16, 18syl3anc 1324 . . 3 (((𝐴𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg) → (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑉)
20 assamulgscm.h . . . . 5 𝐻 = (mulGrp‘𝑊)
2120, 3mgpbas 18476 . . . 4 𝑉 = (Base‘𝐻)
2220, 4ringidval 18484 . . . 4 (1r𝑊) = (0g𝐻)
23 assamulgscm.e . . . 4 𝐸 = (.g𝐻)
2421, 22, 23mulg0 17527 . . 3 ((𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑉 → (0𝐸(𝐴 · 𝑋)) = (1r𝑊))
2519, 24syl 17 . 2 (((𝐴𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg) → (0𝐸(𝐴 · 𝑋)) = (1r𝑊))
26 assamulgscm.g . . . . . 6 𝐺 = (mulGrp‘𝐹)
2726, 17mgpbas 18476 . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐺)
2826, 9ringidval 18484 . . . . 5 (1r𝐹) = (0g𝐺)
29 assamulgscm.p . . . . 5 = (.g𝐺)
3027, 28, 29mulg0 17527 . . . 4 (𝐴𝐵 → (0 𝐴) = (1r𝐹))
3115, 30syl 17 . . 3 (((𝐴𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg) → (0 𝐴) = (1r𝐹))
3221, 22, 23mulg0 17527 . . . 4 (𝑋𝑉 → (0𝐸𝑋) = (1r𝑊))
3316, 32syl 17 . . 3 (((𝐴𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg) → (0𝐸𝑋) = (1r𝑊))
3431, 33oveq12d 6653 . 2 (((𝐴𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg) → ((0 𝐴) · (0𝐸𝑋)) = ((1r𝐹) · (1r𝑊)))
3513, 25, 343eqtr4d 2664 1 (((𝐴𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg) → (0𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((0 𝐴) · (0𝐸𝑋)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1481   ∈ wcel 1988  ‘cfv 5876  (class class class)co 6635  0cc0 9921  Basecbs 15838  Scalarcsca 15925   ·𝑠 cvsca 15926  .gcmg 17521  mulGrpcmgp 18470  1rcur 18482  Ringcrg 18528  LModclmod 18844  AssAlgcasa 19290 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-rep 4762  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-inf2 8523  ax-cnex 9977  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997  ax-pre-mulgt0 9998 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rmo 2917  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-iun 4513  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-om 7051  df-1st 7153  df-2nd 7154  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491  df-er 7727  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065  df-sub 10253  df-neg 10254  df-nn 11006  df-2 11064  df-z 11363  df-seq 12785  df-ndx 15841  df-slot 15842  df-base 15844  df-sets 15845  df-plusg 15935  df-0g 16083  df-mgm 17223  df-sgrp 17265  df-mnd 17276  df-mulg 17522  df-mgp 18471  df-ur 18483  df-ring 18530  df-lmod 18846  df-assa 19293 This theorem is referenced by:  assamulgscm  19331
 Copyright terms: Public domain W3C validator