MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  assamulgscmlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem assamulgscmlem2 19281
Description: Lemma for assamulgscm 19282 (induction step). (Contributed by AV, 26-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
assamulgscm.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
assamulgscm.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
assamulgscm.b 𝐵 = (Base‘𝐹)
assamulgscm.s · = ( ·𝑠𝑊)
assamulgscm.g 𝐺 = (mulGrp‘𝐹)
assamulgscm.p = (.g𝐺)
assamulgscm.h 𝐻 = (mulGrp‘𝑊)
assamulgscm.e 𝐸 = (.g𝐻)
Assertion
Ref Expression
assamulgscmlem2 (𝑦 ∈ ℕ0 → (((𝐴𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg) → ((𝑦𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑦 𝐴) · (𝑦𝐸𝑋)) → ((𝑦 + 1)𝐸(𝐴 · 𝑋)) = (((𝑦 + 1) 𝐴) · ((𝑦 + 1)𝐸𝑋)))))

Proof of Theorem assamulgscmlem2
StepHypRef Expression
1 assaring 19252 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ AssAlg → 𝑊 ∈ Ring)
2 assamulgscm.h . . . . . . . . 9 𝐻 = (mulGrp‘𝑊)
32ringmgp 18485 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ Ring → 𝐻 ∈ Mnd)
41, 3syl 17 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ AssAlg → 𝐻 ∈ Mnd)
54adantl 482 . . . . . 6 (((𝐴𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg) → 𝐻 ∈ Mnd)
65adantl 482 . . . . 5 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) → 𝐻 ∈ Mnd)
76adantr 481 . . . 4 (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) ∧ (𝑦𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑦 𝐴) · (𝑦𝐸𝑋))) → 𝐻 ∈ Mnd)
8 simpll 789 . . . 4 (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) ∧ (𝑦𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑦 𝐴) · (𝑦𝐸𝑋))) → 𝑦 ∈ ℕ0)
9 assalmod 19251 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ AssAlg → 𝑊 ∈ LMod)
109adantl 482 . . . . . . 7 (((𝐴𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg) → 𝑊 ∈ LMod)
11 simpll 789 . . . . . . 7 (((𝐴𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg) → 𝐴𝐵)
12 simplr 791 . . . . . . 7 (((𝐴𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg) → 𝑋𝑉)
13 assamulgscm.v . . . . . . . 8 𝑉 = (Base‘𝑊)
14 assamulgscm.f . . . . . . . 8 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
15 assamulgscm.s . . . . . . . 8 · = ( ·𝑠𝑊)
16 assamulgscm.b . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝐹)
1713, 14, 15, 16lmodvscl 18812 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴𝐵𝑋𝑉) → (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑉)
1810, 11, 12, 17syl3anc 1323 . . . . . 6 (((𝐴𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg) → (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑉)
1918adantl 482 . . . . 5 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) → (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑉)
2019adantr 481 . . . 4 (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) ∧ (𝑦𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑦 𝐴) · (𝑦𝐸𝑋))) → (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑉)
212, 13mgpbas 18427 . . . . 5 𝑉 = (Base‘𝐻)
22 assamulgscm.e . . . . 5 𝐸 = (.g𝐻)
23 eqid 2621 . . . . . 6 (.r𝑊) = (.r𝑊)
242, 23mgpplusg 18425 . . . . 5 (.r𝑊) = (+g𝐻)
2521, 22, 24mulgnn0p1 17484 . . . 4 ((𝐻 ∈ Mnd ∧ 𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑉) → ((𝑦 + 1)𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑦𝐸(𝐴 · 𝑋))(.r𝑊)(𝐴 · 𝑋)))
267, 8, 20, 25syl3anc 1323 . . 3 (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) ∧ (𝑦𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑦 𝐴) · (𝑦𝐸𝑋))) → ((𝑦 + 1)𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑦𝐸(𝐴 · 𝑋))(.r𝑊)(𝐴 · 𝑋)))
27 oveq1 6617 . . . 4 ((𝑦𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑦 𝐴) · (𝑦𝐸𝑋)) → ((𝑦𝐸(𝐴 · 𝑋))(.r𝑊)(𝐴 · 𝑋)) = (((𝑦 𝐴) · (𝑦𝐸𝑋))(.r𝑊)(𝐴 · 𝑋)))
28 simprr 795 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) → 𝑊 ∈ AssAlg)
2914assasca 19253 . . . . . . . . . 10 (𝑊 ∈ AssAlg → 𝐹 ∈ CRing)
30 crngring 18490 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ CRing → 𝐹 ∈ Ring)
31 assamulgscm.g . . . . . . . . . . 11 𝐺 = (mulGrp‘𝐹)
3231ringmgp 18485 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ Ring → 𝐺 ∈ Mnd)
3329, 30, 323syl 18 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ AssAlg → 𝐺 ∈ Mnd)
3433adantl 482 . . . . . . . 8 (((𝐴𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg) → 𝐺 ∈ Mnd)
3534adantl 482 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) → 𝐺 ∈ Mnd)
36 simpl 473 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) → 𝑦 ∈ ℕ0)
3716a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑊 ∈ AssAlg → 𝐵 = (Base‘𝐹))
3814fveq2i 6156 . . . . . . . . . . . . 13 (Base‘𝐹) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
3937, 38syl6eq 2671 . . . . . . . . . . . 12 (𝑊 ∈ AssAlg → 𝐵 = (Base‘(Scalar‘𝑊)))
4039eleq2d 2684 . . . . . . . . . . 11 (𝑊 ∈ AssAlg → (𝐴𝐵𝐴 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))))
4140biimpcd 239 . . . . . . . . . 10 (𝐴𝐵 → (𝑊 ∈ AssAlg → 𝐴 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))))
4241adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝐵𝑋𝑉) → (𝑊 ∈ AssAlg → 𝐴 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))))
4342imp 445 . . . . . . . 8 (((𝐴𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg) → 𝐴 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
4443adantl 482 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) → 𝐴 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
4514eqcomi 2630 . . . . . . . . . 10 (Scalar‘𝑊) = 𝐹
4645fveq2i 6156 . . . . . . . . 9 (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘𝐹)
4731, 46mgpbas 18427 . . . . . . . 8 (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘𝐺)
48 assamulgscm.p . . . . . . . 8 = (.g𝐺)
4947, 48mulgnn0cl 17490 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑦 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → (𝑦 𝐴) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
5035, 36, 44, 49syl3anc 1323 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) → (𝑦 𝐴) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
51 simprlr 802 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) → 𝑋𝑉)
5221, 22mulgnn0cl 17490 . . . . . . 7 ((𝐻 ∈ Mnd ∧ 𝑦 ∈ ℕ0𝑋𝑉) → (𝑦𝐸𝑋) ∈ 𝑉)
536, 36, 51, 52syl3anc 1323 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) → (𝑦𝐸𝑋) ∈ 𝑉)
54 eqid 2621 . . . . . . 7 (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
55 eqid 2621 . . . . . . 7 (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
5613, 54, 55, 15, 23assaass 19249 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ ((𝑦 𝐴) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (𝑦𝐸𝑋) ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑉)) → (((𝑦 𝐴) · (𝑦𝐸𝑋))(.r𝑊)(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑦 𝐴) · ((𝑦𝐸𝑋)(.r𝑊)(𝐴 · 𝑋))))
5728, 50, 53, 19, 56syl13anc 1325 . . . . 5 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) → (((𝑦 𝐴) · (𝑦𝐸𝑋))(.r𝑊)(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑦 𝐴) · ((𝑦𝐸𝑋)(.r𝑊)(𝐴 · 𝑋))))
5813, 54, 55, 15, 23assaassr 19250 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (𝑦𝐸𝑋) ∈ 𝑉𝑋𝑉)) → ((𝑦𝐸𝑋)(.r𝑊)(𝐴 · 𝑋)) = (𝐴 · ((𝑦𝐸𝑋)(.r𝑊)𝑋)))
5928, 44, 53, 51, 58syl13anc 1325 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) → ((𝑦𝐸𝑋)(.r𝑊)(𝐴 · 𝑋)) = (𝐴 · ((𝑦𝐸𝑋)(.r𝑊)𝑋)))
6059oveq2d 6626 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) → ((𝑦 𝐴) · ((𝑦𝐸𝑋)(.r𝑊)(𝐴 · 𝑋))) = ((𝑦 𝐴) · (𝐴 · ((𝑦𝐸𝑋)(.r𝑊)𝑋))))
6121, 22, 24mulgnn0p1 17484 . . . . . . . . . 10 ((𝐻 ∈ Mnd ∧ 𝑦 ∈ ℕ0𝑋𝑉) → ((𝑦 + 1)𝐸𝑋) = ((𝑦𝐸𝑋)(.r𝑊)𝑋))
626, 36, 51, 61syl3anc 1323 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) → ((𝑦 + 1)𝐸𝑋) = ((𝑦𝐸𝑋)(.r𝑊)𝑋))
6362eqcomd 2627 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) → ((𝑦𝐸𝑋)(.r𝑊)𝑋) = ((𝑦 + 1)𝐸𝑋))
6463oveq2d 6626 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) → (𝐴 · ((𝑦𝐸𝑋)(.r𝑊)𝑋)) = (𝐴 · ((𝑦 + 1)𝐸𝑋)))
6564oveq2d 6626 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) → ((𝑦 𝐴) · (𝐴 · ((𝑦𝐸𝑋)(.r𝑊)𝑋))) = ((𝑦 𝐴) · (𝐴 · ((𝑦 + 1)𝐸𝑋))))
6610adantl 482 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) → 𝑊 ∈ LMod)
67 peano2nn0 11285 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℕ0 → (𝑦 + 1) ∈ ℕ0)
6867adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) → (𝑦 + 1) ∈ ℕ0)
6921, 22mulgnn0cl 17490 . . . . . . . 8 ((𝐻 ∈ Mnd ∧ (𝑦 + 1) ∈ ℕ0𝑋𝑉) → ((𝑦 + 1)𝐸𝑋) ∈ 𝑉)
706, 68, 51, 69syl3anc 1323 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) → ((𝑦 + 1)𝐸𝑋) ∈ 𝑉)
71 eqid 2621 . . . . . . . . 9 (.r‘(Scalar‘𝑊)) = (.r‘(Scalar‘𝑊))
7213, 54, 15, 55, 71lmodvsass 18820 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((𝑦 𝐴) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝐴 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ ((𝑦 + 1)𝐸𝑋) ∈ 𝑉)) → (((𝑦 𝐴)(.r‘(Scalar‘𝑊))𝐴) · ((𝑦 + 1)𝐸𝑋)) = ((𝑦 𝐴) · (𝐴 · ((𝑦 + 1)𝐸𝑋))))
7372eqcomd 2627 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((𝑦 𝐴) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝐴 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ ((𝑦 + 1)𝐸𝑋) ∈ 𝑉)) → ((𝑦 𝐴) · (𝐴 · ((𝑦 + 1)𝐸𝑋))) = (((𝑦 𝐴)(.r‘(Scalar‘𝑊))𝐴) · ((𝑦 + 1)𝐸𝑋)))
7466, 50, 44, 70, 73syl13anc 1325 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) → ((𝑦 𝐴) · (𝐴 · ((𝑦 + 1)𝐸𝑋))) = (((𝑦 𝐴)(.r‘(Scalar‘𝑊))𝐴) · ((𝑦 + 1)𝐸𝑋)))
7560, 65, 743eqtrd 2659 . . . . 5 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) → ((𝑦 𝐴) · ((𝑦𝐸𝑋)(.r𝑊)(𝐴 · 𝑋))) = (((𝑦 𝐴)(.r‘(Scalar‘𝑊))𝐴) · ((𝑦 + 1)𝐸𝑋)))
76 simprll 801 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) → 𝐴𝐵)
7731, 16mgpbas 18427 . . . . . . . . . 10 𝐵 = (Base‘𝐺)
78 eqid 2621 . . . . . . . . . . 11 (.r𝐹) = (.r𝐹)
7931, 78mgpplusg 18425 . . . . . . . . . 10 (.r𝐹) = (+g𝐺)
8077, 48, 79mulgnn0p1 17484 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑦 ∈ ℕ0𝐴𝐵) → ((𝑦 + 1) 𝐴) = ((𝑦 𝐴)(.r𝐹)𝐴))
8135, 36, 76, 80syl3anc 1323 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) → ((𝑦 + 1) 𝐴) = ((𝑦 𝐴)(.r𝐹)𝐴))
8214a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) → 𝐹 = (Scalar‘𝑊))
8382fveq2d 6157 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) → (.r𝐹) = (.r‘(Scalar‘𝑊)))
8483oveqd 6627 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) → ((𝑦 𝐴)(.r𝐹)𝐴) = ((𝑦 𝐴)(.r‘(Scalar‘𝑊))𝐴))
8581, 84eqtrd 2655 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) → ((𝑦 + 1) 𝐴) = ((𝑦 𝐴)(.r‘(Scalar‘𝑊))𝐴))
8685eqcomd 2627 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) → ((𝑦 𝐴)(.r‘(Scalar‘𝑊))𝐴) = ((𝑦 + 1) 𝐴))
8786oveq1d 6625 . . . . 5 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) → (((𝑦 𝐴)(.r‘(Scalar‘𝑊))𝐴) · ((𝑦 + 1)𝐸𝑋)) = (((𝑦 + 1) 𝐴) · ((𝑦 + 1)𝐸𝑋)))
8857, 75, 873eqtrd 2659 . . . 4 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) → (((𝑦 𝐴) · (𝑦𝐸𝑋))(.r𝑊)(𝐴 · 𝑋)) = (((𝑦 + 1) 𝐴) · ((𝑦 + 1)𝐸𝑋)))
8927, 88sylan9eqr 2677 . . 3 (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) ∧ (𝑦𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑦 𝐴) · (𝑦𝐸𝑋))) → ((𝑦𝐸(𝐴 · 𝑋))(.r𝑊)(𝐴 · 𝑋)) = (((𝑦 + 1) 𝐴) · ((𝑦 + 1)𝐸𝑋)))
9026, 89eqtrd 2655 . 2 (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) ∧ (𝑦𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑦 𝐴) · (𝑦𝐸𝑋))) → ((𝑦 + 1)𝐸(𝐴 · 𝑋)) = (((𝑦 + 1) 𝐴) · ((𝑦 + 1)𝐸𝑋)))
9190exp31 629 1 (𝑦 ∈ ℕ0 → (((𝐴𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg) → ((𝑦𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑦 𝐴) · (𝑦𝐸𝑋)) → ((𝑦 + 1)𝐸(𝐴 · 𝑋)) = (((𝑦 + 1) 𝐴) · ((𝑦 + 1)𝐸𝑋)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  cfv 5852  (class class class)co 6610  1c1 9889   + caddc 9891  0cn0 11244  Basecbs 15792  .rcmulr 15874  Scalarcsca 15876   ·𝑠 cvsca 15877  Mndcmnd 17226  .gcmg 17472  mulGrpcmgp 18421  Ringcrg 18479  CRingccrg 18480  LModclmod 18795  AssAlgcasa 19241
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-inf2 8490  ax-cnex 9944  ax-resscn 9945  ax-1cn 9946  ax-icn 9947  ax-addcl 9948  ax-addrcl 9949  ax-mulcl 9950  ax-mulrcl 9951  ax-mulcom 9952  ax-addass 9953  ax-mulass 9954  ax-distr 9955  ax-i2m1 9956  ax-1ne0 9957  ax-1rid 9958  ax-rnegex 9959  ax-rrecex 9960  ax-cnre 9961  ax-pre-lttri 9962  ax-pre-lttrn 9963  ax-pre-ltadd 9964  ax-pre-mulgt0 9965
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-er 7694  df-en 7908  df-dom 7909  df-sdom 7910  df-pnf 10028  df-mnf 10029  df-xr 10030  df-ltxr 10031  df-le 10032  df-sub 10220  df-neg 10221  df-nn 10973  df-2 11031  df-n0 11245  df-z 11330  df-uz 11640  df-fz 12277  df-seq 12750  df-ndx 15795  df-slot 15796  df-base 15797  df-sets 15798  df-plusg 15886  df-0g 16034  df-mgm 17174  df-sgrp 17216  df-mnd 17227  df-mulg 17473  df-mgp 18422  df-ring 18481  df-cring 18482  df-lmod 18797  df-assa 19244
This theorem is referenced by:  assamulgscm  19282
  Copyright terms: Public domain W3C validator