Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  atan1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem atan1 24550
 Description: The arctangent of 1 is π / 4. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
atan1 (arctan‘1) = (π / 4)

Proof of Theorem atan1
StepHypRef Expression
1 tan4thpi 24165 . . 3 (tan‘(π / 4)) = 1
21fveq2i 6153 . 2 (arctan‘(tan‘(π / 4))) = (arctan‘1)
3 pire 24109 . . . . 5 π ∈ ℝ
4 4nn 11132 . . . . 5 4 ∈ ℕ
5 nndivre 11001 . . . . 5 ((π ∈ ℝ ∧ 4 ∈ ℕ) → (π / 4) ∈ ℝ)
63, 4, 5mp2an 707 . . . 4 (π / 4) ∈ ℝ
76recni 9997 . . 3 (π / 4) ∈ ℂ
8 rere 13791 . . . . 5 ((π / 4) ∈ ℝ → (ℜ‘(π / 4)) = (π / 4))
96, 8ax-mp 5 . . . 4 (ℜ‘(π / 4)) = (π / 4)
10 pirp 24112 . . . . . . . . 9 π ∈ ℝ+
11 rphalfcl 11802 . . . . . . . . 9 (π ∈ ℝ+ → (π / 2) ∈ ℝ+)
1210, 11ax-mp 5 . . . . . . . 8 (π / 2) ∈ ℝ+
13 rpgt0 11788 . . . . . . . 8 ((π / 2) ∈ ℝ+ → 0 < (π / 2))
1412, 13ax-mp 5 . . . . . . 7 0 < (π / 2)
15 halfpire 24115 . . . . . . . 8 (π / 2) ∈ ℝ
16 lt0neg2 10480 . . . . . . . 8 ((π / 2) ∈ ℝ → (0 < (π / 2) ↔ -(π / 2) < 0))
1715, 16ax-mp 5 . . . . . . 7 (0 < (π / 2) ↔ -(π / 2) < 0)
1814, 17mpbi 220 . . . . . 6 -(π / 2) < 0
19 nnrp 11786 . . . . . . . . 9 (4 ∈ ℕ → 4 ∈ ℝ+)
204, 19ax-mp 5 . . . . . . . 8 4 ∈ ℝ+
21 rpdivcl 11800 . . . . . . . 8 ((π ∈ ℝ+ ∧ 4 ∈ ℝ+) → (π / 4) ∈ ℝ+)
2210, 20, 21mp2an 707 . . . . . . 7 (π / 4) ∈ ℝ+
23 rpgt0 11788 . . . . . . 7 ((π / 4) ∈ ℝ+ → 0 < (π / 4))
2422, 23ax-mp 5 . . . . . 6 0 < (π / 4)
25 neghalfpire 24116 . . . . . . 7 -(π / 2) ∈ ℝ
26 0re 9985 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ
2725, 26, 6lttri 10108 . . . . . 6 ((-(π / 2) < 0 ∧ 0 < (π / 4)) → -(π / 2) < (π / 4))
2818, 24, 27mp2an 707 . . . . 5 -(π / 2) < (π / 4)
293recni 9997 . . . . . . . 8 π ∈ ℂ
30 2cnne0 11187 . . . . . . . 8 (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
31 divdiv1 10681 . . . . . . . 8 ((π ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → ((π / 2) / 2) = (π / (2 · 2)))
3229, 30, 30, 31mp3an 1421 . . . . . . 7 ((π / 2) / 2) = (π / (2 · 2))
33 2t2e4 11122 . . . . . . . 8 (2 · 2) = 4
3433oveq2i 6616 . . . . . . 7 (π / (2 · 2)) = (π / 4)
3532, 34eqtri 2648 . . . . . 6 ((π / 2) / 2) = (π / 4)
36 rphalflt 11804 . . . . . . 7 ((π / 2) ∈ ℝ+ → ((π / 2) / 2) < (π / 2))
3712, 36ax-mp 5 . . . . . 6 ((π / 2) / 2) < (π / 2)
3835, 37eqbrtrri 4641 . . . . 5 (π / 4) < (π / 2)
3925rexri 10042 . . . . . 6 -(π / 2) ∈ ℝ*
4015rexri 10042 . . . . . 6 (π / 2) ∈ ℝ*
41 elioo2 12155 . . . . . 6 ((-(π / 2) ∈ ℝ* ∧ (π / 2) ∈ ℝ*) → ((π / 4) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) ↔ ((π / 4) ∈ ℝ ∧ -(π / 2) < (π / 4) ∧ (π / 4) < (π / 2))))
4239, 40, 41mp2an 707 . . . . 5 ((π / 4) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) ↔ ((π / 4) ∈ ℝ ∧ -(π / 2) < (π / 4) ∧ (π / 4) < (π / 2)))
436, 28, 38, 42mpbir3an 1242 . . . 4 (π / 4) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))
449, 43eqeltri 2700 . . 3 (ℜ‘(π / 4)) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))
45 atantan 24545 . . 3 (((π / 4) ∈ ℂ ∧ (ℜ‘(π / 4)) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (arctan‘(tan‘(π / 4))) = (π / 4))
467, 44, 45mp2an 707 . 2 (arctan‘(tan‘(π / 4))) = (π / 4)
472, 46eqtr3i 2650 1 (arctan‘1) = (π / 4)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ↔ wb 196   ∧ wa 384   ∧ w3a 1036   = wceq 1480   ∈ wcel 1992   ≠ wne 2796   class class class wbr 4618  ‘cfv 5850  (class class class)co 6605  ℂcc 9879  ℝcr 9880  0cc0 9881  1c1 9882   · cmul 9886  ℝ*cxr 10018   < clt 10019  -cneg 10212   / cdiv 10629  ℕcn 10965  2c2 11015  4c4 11017  ℝ+crp 11776  (,)cioo 12114  ℜcre 13766  tanctan 14716  πcpi 14717  arctancatan 24486 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-inf2 8483  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958  ax-pre-sup 9959  ax-addf 9960  ax-mulf 9961 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-iin 4493  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-se 5039  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-isom 5859  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-of 6851  df-om 7014  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-supp 7242  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-1o 7506  df-2o 7507  df-oadd 7510  df-er 7688  df-map 7805  df-pm 7806  df-ixp 7854  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-fin 7904  df-fsupp 8221  df-fi 8262  df-sup 8293  df-inf 8294  df-oi 8360  df-card 8710  df-cda 8935  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-div 10630  df-nn 10966  df-2 11024  df-3 11025  df-4 11026  df-5 11027  df-6 11028  df-7 11029  df-8 11030  df-9 11031  df-n0 11238  df-z 11323  df-dec 11438  df-uz 11632  df-q 11733  df-rp 11777  df-xneg 11890  df-xadd 11891  df-xmul 11892  df-ioo 12118  df-ioc 12119  df-ico 12120  df-icc 12121  df-fz 12266  df-fzo 12404  df-fl 12530  df-mod 12606  df-seq 12739  df-exp 12798  df-fac 12998  df-bc 13027  df-hash 13055  df-shft 13736  df-cj 13768  df-re 13769  df-im 13770  df-sqrt 13904  df-abs 13905  df-limsup 14131  df-clim 14148  df-rlim 14149  df-sum 14346  df-ef 14718  df-sin 14720  df-cos 14721  df-tan 14722  df-pi 14723  df-struct 15778  df-ndx 15779  df-slot 15780  df-base 15781  df-sets 15782  df-ress 15783  df-plusg 15870  df-mulr 15871  df-starv 15872  df-sca 15873  df-vsca 15874  df-ip 15875  df-tset 15876  df-ple 15877  df-ds 15880  df-unif 15881  df-hom 15882  df-cco 15883  df-rest 15999  df-topn 16000  df-0g 16018  df-gsum 16019  df-topgen 16020  df-pt 16021  df-prds 16024  df-xrs 16078  df-qtop 16083  df-imas 16084  df-xps 16086  df-mre 16162  df-mrc 16163  df-acs 16165  df-mgm 17158  df-sgrp 17200  df-mnd 17211  df-submnd 17252  df-mulg 17457  df-cntz 17666  df-cmn 18111  df-psmet 19652  df-xmet 19653  df-met 19654  df-bl 19655  df-mopn 19656  df-fbas 19657  df-fg 19658  df-cnfld 19661  df-top 20616  df-bases 20617  df-topon 20618  df-topsp 20619  df-cld 20728  df-ntr 20729  df-cls 20730  df-nei 20807  df-lp 20845  df-perf 20846  df-cn 20936  df-cnp 20937  df-haus 21024  df-tx 21270  df-hmeo 21463  df-fil 21555  df-fm 21647  df-flim 21648  df-flf 21649  df-xms 22030  df-ms 22031  df-tms 22032  df-cncf 22584  df-limc 23531  df-dv 23532  df-log 24202  df-atan 24489 This theorem is referenced by:  leibpi  24564
 Copyright terms: Public domain W3C validator