MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  atandm2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem atandm2 24538
Description: This form of atandm 24537 is a bit more useful for showing that the logarithms in df-atan 24528 are well-defined. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
atandm2 (𝐴 ∈ dom arctan ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 − (i · 𝐴)) ≠ 0 ∧ (1 + (i · 𝐴)) ≠ 0))

Proof of Theorem atandm2
StepHypRef Expression
1 atandm 24537 . 2 (𝐴 ∈ dom arctan ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ -i ∧ 𝐴 ≠ i))
2 3anass 1040 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 − (i · 𝐴)) ≠ 0 ∧ (1 + (i · 𝐴)) ≠ 0) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ((1 − (i · 𝐴)) ≠ 0 ∧ (1 + (i · 𝐴)) ≠ 0)))
3 ax-1cn 9954 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℂ
4 ax-icn 9955 . . . . . . . . . . 11 i ∈ ℂ
5 mulcl 9980 . . . . . . . . . . 11 ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
64, 5mpan 705 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℂ → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
7 subeq0 10267 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ ℂ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℂ) → ((1 − (i · 𝐴)) = 0 ↔ 1 = (i · 𝐴)))
83, 6, 7sylancr 694 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℂ → ((1 − (i · 𝐴)) = 0 ↔ 1 = (i · 𝐴)))
94, 4mulneg2i 10437 . . . . . . . . . . . 12 (i · -i) = -(i · i)
10 ixi 10616 . . . . . . . . . . . . 13 (i · i) = -1
1110negeqi 10234 . . . . . . . . . . . 12 -(i · i) = --1
12 negneg1e1 11088 . . . . . . . . . . . 12 --1 = 1
139, 11, 123eqtri 2647 . . . . . . . . . . 11 (i · -i) = 1
1413eqeq2i 2633 . . . . . . . . . 10 ((i · 𝐴) = (i · -i) ↔ (i · 𝐴) = 1)
15 eqcom 2628 . . . . . . . . . 10 ((i · 𝐴) = 1 ↔ 1 = (i · 𝐴))
1614, 15bitri 264 . . . . . . . . 9 ((i · 𝐴) = (i · -i) ↔ 1 = (i · 𝐴))
178, 16syl6bbr 278 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → ((1 − (i · 𝐴)) = 0 ↔ (i · 𝐴) = (i · -i)))
18 id 22 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 ∈ ℂ)
194negcli 10309 . . . . . . . . . 10 -i ∈ ℂ
2019a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℂ → -i ∈ ℂ)
214a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℂ → i ∈ ℂ)
22 ine0 10425 . . . . . . . . . 10 i ≠ 0
2322a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℂ → i ≠ 0)
2418, 20, 21, 23mulcand 10620 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → ((i · 𝐴) = (i · -i) ↔ 𝐴 = -i))
2517, 24bitrd 268 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → ((1 − (i · 𝐴)) = 0 ↔ 𝐴 = -i))
2625necon3bid 2834 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → ((1 − (i · 𝐴)) ≠ 0 ↔ 𝐴 ≠ -i))
27 addcom 10182 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 ∈ ℂ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℂ) → (1 + (i · 𝐴)) = ((i · 𝐴) + 1))
283, 6, 27sylancr 694 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℂ → (1 + (i · 𝐴)) = ((i · 𝐴) + 1))
29 subneg 10290 . . . . . . . . . . . . 13 (((i · 𝐴) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((i · 𝐴) − -1) = ((i · 𝐴) + 1))
306, 3, 29sylancl 693 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℂ → ((i · 𝐴) − -1) = ((i · 𝐴) + 1))
3128, 30eqtr4d 2658 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℂ → (1 + (i · 𝐴)) = ((i · 𝐴) − -1))
3231eqeq1d 2623 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℂ → ((1 + (i · 𝐴)) = 0 ↔ ((i · 𝐴) − -1) = 0))
333negcli 10309 . . . . . . . . . . 11 -1 ∈ ℂ
34 subeq0 10267 . . . . . . . . . . 11 (((i · 𝐴) ∈ ℂ ∧ -1 ∈ ℂ) → (((i · 𝐴) − -1) = 0 ↔ (i · 𝐴) = -1))
356, 33, 34sylancl 693 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℂ → (((i · 𝐴) − -1) = 0 ↔ (i · 𝐴) = -1))
3632, 35bitrd 268 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℂ → ((1 + (i · 𝐴)) = 0 ↔ (i · 𝐴) = -1))
3710eqeq2i 2633 . . . . . . . . 9 ((i · 𝐴) = (i · i) ↔ (i · 𝐴) = -1)
3836, 37syl6bbr 278 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → ((1 + (i · 𝐴)) = 0 ↔ (i · 𝐴) = (i · i)))
3918, 21, 21, 23mulcand 10620 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → ((i · 𝐴) = (i · i) ↔ 𝐴 = i))
4038, 39bitrd 268 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → ((1 + (i · 𝐴)) = 0 ↔ 𝐴 = i))
4140necon3bid 2834 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → ((1 + (i · 𝐴)) ≠ 0 ↔ 𝐴 ≠ i))
4226, 41anbi12d 746 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (((1 − (i · 𝐴)) ≠ 0 ∧ (1 + (i · 𝐴)) ≠ 0) ↔ (𝐴 ≠ -i ∧ 𝐴 ≠ i)))
4342pm5.32i 668 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((1 − (i · 𝐴)) ≠ 0 ∧ (1 + (i · 𝐴)) ≠ 0)) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴 ≠ -i ∧ 𝐴 ≠ i)))
44 3anass 1040 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ -i ∧ 𝐴 ≠ i) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴 ≠ -i ∧ 𝐴 ≠ i)))
4543, 44bitr4i 267 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((1 − (i · 𝐴)) ≠ 0 ∧ (1 + (i · 𝐴)) ≠ 0)) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ -i ∧ 𝐴 ≠ i))
462, 45bitri 264 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 − (i · 𝐴)) ≠ 0 ∧ (1 + (i · 𝐴)) ≠ 0) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ -i ∧ 𝐴 ≠ i))
471, 46bitr4i 267 1 (𝐴 ∈ dom arctan ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 − (i · 𝐴)) ≠ 0 ∧ (1 + (i · 𝐴)) ≠ 0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  dom cdm 5084  (class class class)co 6615  cc 9894  0cc0 9896  1c1 9897  ici 9898   + caddc 9899   · cmul 9901  cmin 10226  -cneg 10227  arctancatan 24525
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-op 4162  df-uni 4410  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-er 7702  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-atan 24528
This theorem is referenced by:  atanf  24541  atanneg  24568  atancj  24571  efiatan  24573  atanlogaddlem  24574  atanlogadd  24575  atanlogsublem  24576  atanlogsub  24577  efiatan2  24578  2efiatan  24579  atantan  24584  atanbndlem  24586  dvatan  24596  atantayl  24598
  Copyright terms: Public domain W3C validator