Theorem atandmcj 24681

Description: The arctangent function distributes under conjugation. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
atandmcj	⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (∗‘𝐴) ∈ dom arctan)

Proof of Theorem atandmcj

Step	Hyp	Ref	Expression
1		atandm3 24650	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) ≠ -1))
2	1	simplbi 475	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → 𝐴 ∈ ℂ)
3	2	cjcld 13980	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (∗‘𝐴) ∈ ℂ)
4		2nn0 11347	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
5		cjexp 13934	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0) → (∗‘(𝐴↑2)) = ((∗‘𝐴)↑2))
6	2, 4, 5	sylancl 695	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (∗‘(𝐴↑2)) = ((∗‘𝐴)↑2))
7	2	sqcld 13046	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
8	7	cjcjd 13983	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (∗‘(∗‘(𝐴↑2))) = (𝐴↑2))
9	1	simprbi 479	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (𝐴↑2) ≠ -1)
10	8, 9	eqnetrd 2890	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (∗‘(∗‘(𝐴↑2))) ≠ -1)
11		fveq2 6229	. . . . . 6 ⊢ ((∗‘(𝐴↑2)) = -1 → (∗‘(∗‘(𝐴↑2))) = (∗‘-1))
12		neg1rr 11163	. . . . . . 7 ⊢ -1 ∈ ℝ
13		cjre 13923	. . . . . . 7 ⊢ (-1 ∈ ℝ → (∗‘-1) = -1)
14	12, 13	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (∗‘-1) = -1
15	11, 14	syl6eq 2701	. . . . 5 ⊢ ((∗‘(𝐴↑2)) = -1 → (∗‘(∗‘(𝐴↑2))) = -1)
16	15	necon3i 2855	. . . 4 ⊢ ((∗‘(∗‘(𝐴↑2))) ≠ -1 → (∗‘(𝐴↑2)) ≠ -1)
17	10, 16	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (∗‘(𝐴↑2)) ≠ -1)
18	6, 17	eqnetrrd 2891	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((∗‘𝐴)↑2) ≠ -1)
19		atandm3 24650	. 2 ⊢ ((∗‘𝐴) ∈ dom arctan ↔ ((∗‘𝐴) ∈ ℂ ∧ ((∗‘𝐴)↑2) ≠ -1))
20	3, 18, 19	sylanbrc 699	1 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (∗‘𝐴) ∈ dom arctan)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1523   ∈ wcel 2030   ≠ wne 2823  dom cdm 5143  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  ℂcc 9972  ℝcr 9973  1c1 9975  -cneg 10305  2c2 11108  ℕ₀cn0 11330  ↑cexp 12900  ∗ccj 13880  arctancatan 24636

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-seq 12842  df-exp 12901  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-atan 24639

This theorem is referenced by:  atancj  24682