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Theorem atans2 24592
Description: It suffices to show that 1 − i𝐴 and 1 + i𝐴 are in the continuity domain of log to show that 𝐴 is in the continuity domain of arctangent. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
atansopn.d 𝐷 = (ℂ ∖ (-∞(,]0))
atansopn.s 𝑆 = {𝑦 ∈ ℂ ∣ (1 + (𝑦↑2)) ∈ 𝐷}
Assertion
Ref Expression
atans2 (𝐴𝑆 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 − (i · 𝐴)) ∈ 𝐷 ∧ (1 + (i · 𝐴)) ∈ 𝐷))
Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑦,𝐷
Allowed substitution hint:   𝑆(𝑦)

Proof of Theorem atans2
StepHypRef Expression
1 sqcl 12881 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
21adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
32sqsqrtd 14128 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → ((√‘(𝐴↑2))↑2) = (𝐴↑2))
43eqcomd 2627 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → (𝐴↑2) = ((√‘(𝐴↑2))↑2))
52sqrtcld 14126 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → (√‘(𝐴↑2)) ∈ ℂ)
6 sqeqor 12934 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (√‘(𝐴↑2)) ∈ ℂ) → ((𝐴↑2) = ((√‘(𝐴↑2))↑2) ↔ (𝐴 = (√‘(𝐴↑2)) ∨ 𝐴 = -(√‘(𝐴↑2)))))
75, 6syldan 487 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → ((𝐴↑2) = ((√‘(𝐴↑2))↑2) ↔ (𝐴 = (√‘(𝐴↑2)) ∨ 𝐴 = -(√‘(𝐴↑2)))))
84, 7mpbid 222 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → (𝐴 = (√‘(𝐴↑2)) ∨ 𝐴 = -(√‘(𝐴↑2))))
9 1re 9999 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ ℝ
109a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → 1 ∈ ℝ)
112negnegd 10343 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → --(𝐴↑2) = (𝐴↑2))
1211fveq2d 6162 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → (√‘--(𝐴↑2)) = (√‘(𝐴↑2)))
13 ax-1cn 9954 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1 ∈ ℂ
14 pncan2 10248 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((1 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℂ) → ((1 + (𝐴↑2)) − 1) = (𝐴↑2))
1513, 2, 14sylancr 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → ((1 + (𝐴↑2)) − 1) = (𝐴↑2))
16 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0))
17 mnfxr 10056 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 -∞ ∈ ℝ*
18 0re 10000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 0 ∈ ℝ
19 elioc2 12194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ) → ((1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0) ↔ ((1 + (𝐴↑2)) ∈ ℝ ∧ -∞ < (1 + (𝐴↑2)) ∧ (1 + (𝐴↑2)) ≤ 0)))
2017, 18, 19mp2an 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0) ↔ ((1 + (𝐴↑2)) ∈ ℝ ∧ -∞ < (1 + (𝐴↑2)) ∧ (1 + (𝐴↑2)) ≤ 0))
2116, 20sylib 208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → ((1 + (𝐴↑2)) ∈ ℝ ∧ -∞ < (1 + (𝐴↑2)) ∧ (1 + (𝐴↑2)) ≤ 0))
2221simp1d 1071 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → (1 + (𝐴↑2)) ∈ ℝ)
23 resubcl 10305 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((1 + (𝐴↑2)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((1 + (𝐴↑2)) − 1) ∈ ℝ)
2422, 9, 23sylancl 693 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → ((1 + (𝐴↑2)) − 1) ∈ ℝ)
2515, 24eqeltrrd 2699 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → (𝐴↑2) ∈ ℝ)
2625renegcld 10417 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → -(𝐴↑2) ∈ ℝ)
27 0red 10001 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → 0 ∈ ℝ)
28 0le1 10511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 0 ≤ 1
2928a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → 0 ≤ 1)
30 subneg 10290 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((1 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℂ) → (1 − -(𝐴↑2)) = (1 + (𝐴↑2)))
3113, 2, 30sylancr 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → (1 − -(𝐴↑2)) = (1 + (𝐴↑2)))
3221simp3d 1073 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → (1 + (𝐴↑2)) ≤ 0)
3331, 32eqbrtrd 4645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → (1 − -(𝐴↑2)) ≤ 0)
34 suble0 10502 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((1 ∈ ℝ ∧ -(𝐴↑2) ∈ ℝ) → ((1 − -(𝐴↑2)) ≤ 0 ↔ 1 ≤ -(𝐴↑2)))
359, 26, 34sylancr 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → ((1 − -(𝐴↑2)) ≤ 0 ↔ 1 ≤ -(𝐴↑2)))
3633, 35mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → 1 ≤ -(𝐴↑2))
3727, 10, 26, 29, 36letrd 10154 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → 0 ≤ -(𝐴↑2))
3826, 37sqrtnegd 14110 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → (√‘--(𝐴↑2)) = (i · (√‘-(𝐴↑2))))
3912, 38eqtr3d 2657 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → (√‘(𝐴↑2)) = (i · (√‘-(𝐴↑2))))
4039oveq2d 6631 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → (i · (√‘(𝐴↑2))) = (i · (i · (√‘-(𝐴↑2)))))
41 ax-icn 9955 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 i ∈ ℂ
4241a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → i ∈ ℂ)
4326, 37resqrtcld 14106 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → (√‘-(𝐴↑2)) ∈ ℝ)
4443recnd 10028 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → (√‘-(𝐴↑2)) ∈ ℂ)
4542, 42, 44mulassd 10023 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → ((i · i) · (√‘-(𝐴↑2))) = (i · (i · (√‘-(𝐴↑2)))))
46 ixi 10616 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (i · i) = -1
4746oveq1i 6625 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((i · i) · (√‘-(𝐴↑2))) = (-1 · (√‘-(𝐴↑2)))
4844mulm1d 10442 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → (-1 · (√‘-(𝐴↑2))) = -(√‘-(𝐴↑2)))
4947, 48syl5eq 2667 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → ((i · i) · (√‘-(𝐴↑2))) = -(√‘-(𝐴↑2)))
5040, 45, 493eqtr2d 2661 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → (i · (√‘(𝐴↑2))) = -(√‘-(𝐴↑2)))
5143renegcld 10417 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → -(√‘-(𝐴↑2)) ∈ ℝ)
5250, 51eqeltrd 2698 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → (i · (√‘(𝐴↑2))) ∈ ℝ)
5310, 52readdcld 10029 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → (1 + (i · (√‘(𝐴↑2)))) ∈ ℝ)
54 mnflt 11917 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 + (i · (√‘(𝐴↑2)))) ∈ ℝ → -∞ < (1 + (i · (√‘(𝐴↑2)))))
5553, 54syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → -∞ < (1 + (i · (√‘(𝐴↑2)))))
5650oveq2d 6631 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → (1 + (i · (√‘(𝐴↑2)))) = (1 + -(√‘-(𝐴↑2))))
57 negsub 10289 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1 ∈ ℂ ∧ (√‘-(𝐴↑2)) ∈ ℂ) → (1 + -(√‘-(𝐴↑2))) = (1 − (√‘-(𝐴↑2))))
5813, 44, 57sylancr 694 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → (1 + -(√‘-(𝐴↑2))) = (1 − (√‘-(𝐴↑2))))
5956, 58eqtrd 2655 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → (1 + (i · (√‘(𝐴↑2)))) = (1 − (√‘-(𝐴↑2))))
60 sq1 12914 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (1↑2) = 1
6160a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → (1↑2) = 1)
6226recnd 10028 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → -(𝐴↑2) ∈ ℂ)
6362sqsqrtd 14128 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → ((√‘-(𝐴↑2))↑2) = -(𝐴↑2))
6436, 61, 633brtr4d 4655 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → (1↑2) ≤ ((√‘-(𝐴↑2))↑2))
6526, 37sqrtge0d 14109 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → 0 ≤ (√‘-(𝐴↑2)))
6610, 43, 29, 65le2sqd 13000 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → (1 ≤ (√‘-(𝐴↑2)) ↔ (1↑2) ≤ ((√‘-(𝐴↑2))↑2)))
6764, 66mpbird 247 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → 1 ≤ (√‘-(𝐴↑2)))
6810, 43suble0d 10578 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → ((1 − (√‘-(𝐴↑2))) ≤ 0 ↔ 1 ≤ (√‘-(𝐴↑2))))
6967, 68mpbird 247 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → (1 − (√‘-(𝐴↑2))) ≤ 0)
7059, 69eqbrtrd 4645 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → (1 + (i · (√‘(𝐴↑2)))) ≤ 0)
71 elioc2 12194 . . . . . . . . . . . . 13 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ) → ((1 + (i · (√‘(𝐴↑2)))) ∈ (-∞(,]0) ↔ ((1 + (i · (√‘(𝐴↑2)))) ∈ ℝ ∧ -∞ < (1 + (i · (√‘(𝐴↑2)))) ∧ (1 + (i · (√‘(𝐴↑2)))) ≤ 0)))
7217, 18, 71mp2an 707 . . . . . . . . . . . 12 ((1 + (i · (√‘(𝐴↑2)))) ∈ (-∞(,]0) ↔ ((1 + (i · (√‘(𝐴↑2)))) ∈ ℝ ∧ -∞ < (1 + (i · (√‘(𝐴↑2)))) ∧ (1 + (i · (√‘(𝐴↑2)))) ≤ 0))
7353, 55, 70, 72syl3anbrc 1244 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → (1 + (i · (√‘(𝐴↑2)))) ∈ (-∞(,]0))
74 oveq2 6623 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 = (√‘(𝐴↑2)) → (i · 𝐴) = (i · (√‘(𝐴↑2))))
7574oveq2d 6631 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 = (√‘(𝐴↑2)) → (1 + (i · 𝐴)) = (1 + (i · (√‘(𝐴↑2)))))
7675eleq1d 2683 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 = (√‘(𝐴↑2)) → ((1 + (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0) ↔ (1 + (i · (√‘(𝐴↑2)))) ∈ (-∞(,]0)))
7773, 76syl5ibrcom 237 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → (𝐴 = (√‘(𝐴↑2)) → (1 + (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)))
78 mulneg2 10427 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((i ∈ ℂ ∧ (√‘(𝐴↑2)) ∈ ℂ) → (i · -(√‘(𝐴↑2))) = -(i · (√‘(𝐴↑2))))
7941, 5, 78sylancr 694 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → (i · -(√‘(𝐴↑2))) = -(i · (√‘(𝐴↑2))))
8079oveq2d 6631 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → (1 − (i · -(√‘(𝐴↑2)))) = (1 − -(i · (√‘(𝐴↑2)))))
81 mulcl 9980 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((i ∈ ℂ ∧ (√‘(𝐴↑2)) ∈ ℂ) → (i · (√‘(𝐴↑2))) ∈ ℂ)
8241, 5, 81sylancr 694 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → (i · (√‘(𝐴↑2))) ∈ ℂ)
83 subneg 10290 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 ∈ ℂ ∧ (i · (√‘(𝐴↑2))) ∈ ℂ) → (1 − -(i · (√‘(𝐴↑2)))) = (1 + (i · (√‘(𝐴↑2)))))
8413, 82, 83sylancr 694 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → (1 − -(i · (√‘(𝐴↑2)))) = (1 + (i · (√‘(𝐴↑2)))))
8580, 84eqtrd 2655 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → (1 − (i · -(√‘(𝐴↑2)))) = (1 + (i · (√‘(𝐴↑2)))))
8685, 73eqeltrd 2698 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → (1 − (i · -(√‘(𝐴↑2)))) ∈ (-∞(,]0))
87 oveq2 6623 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 = -(√‘(𝐴↑2)) → (i · 𝐴) = (i · -(√‘(𝐴↑2))))
8887oveq2d 6631 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 = -(√‘(𝐴↑2)) → (1 − (i · 𝐴)) = (1 − (i · -(√‘(𝐴↑2)))))
8988eleq1d 2683 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 = -(√‘(𝐴↑2)) → ((1 − (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0) ↔ (1 − (i · -(√‘(𝐴↑2)))) ∈ (-∞(,]0)))
9086, 89syl5ibrcom 237 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → (𝐴 = -(√‘(𝐴↑2)) → (1 − (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)))
9177, 90orim12d 882 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → ((𝐴 = (√‘(𝐴↑2)) ∨ 𝐴 = -(√‘(𝐴↑2))) → ((1 + (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0) ∨ (1 − (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0))))
928, 91mpd 15 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → ((1 + (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0) ∨ (1 − (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)))
9392orcomd 403 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → ((1 − (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0) ∨ (1 + (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)))
9460a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℂ → (1↑2) = 1)
95 sqmul 12882 . . . . . . . . . . . . 13 ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((i · 𝐴)↑2) = ((i↑2) · (𝐴↑2)))
9641, 95mpan 705 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℂ → ((i · 𝐴)↑2) = ((i↑2) · (𝐴↑2)))
97 i2 12921 . . . . . . . . . . . . . 14 (i↑2) = -1
9897oveq1i 6625 . . . . . . . . . . . . 13 ((i↑2) · (𝐴↑2)) = (-1 · (𝐴↑2))
991mulm1d 10442 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ ℂ → (-1 · (𝐴↑2)) = -(𝐴↑2))
10098, 99syl5eq 2667 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℂ → ((i↑2) · (𝐴↑2)) = -(𝐴↑2))
10196, 100eqtrd 2655 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℂ → ((i · 𝐴)↑2) = -(𝐴↑2))
10294, 101oveq12d 6633 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℂ → ((1↑2) − ((i · 𝐴)↑2)) = (1 − -(𝐴↑2)))
103 mulcl 9980 . . . . . . . . . . . 12 ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
10441, 103mpan 705 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℂ → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
105 subsq 12928 . . . . . . . . . . 11 ((1 ∈ ℂ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℂ) → ((1↑2) − ((i · 𝐴)↑2)) = ((1 + (i · 𝐴)) · (1 − (i · 𝐴))))
10613, 104, 105sylancr 694 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℂ → ((1↑2) − ((i · 𝐴)↑2)) = ((1 + (i · 𝐴)) · (1 − (i · 𝐴))))
10713, 1, 30sylancr 694 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℂ → (1 − -(𝐴↑2)) = (1 + (𝐴↑2)))
108102, 106, 1073eqtr3d 2663 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℂ → ((1 + (i · 𝐴)) · (1 − (i · 𝐴))) = (1 + (𝐴↑2)))
109108adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((1 − (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0) ∨ (1 + (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0))) → ((1 + (i · 𝐴)) · (1 − (i · 𝐴))) = (1 + (𝐴↑2)))
110 2cn 11051 . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 ∈ ℂ
111110a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ ℂ → 2 ∈ ℂ)
11213a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ ℂ → 1 ∈ ℂ)
113111, 112, 104subsubd 10380 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ ℂ → (2 − (1 − (i · 𝐴))) = ((2 − 1) + (i · 𝐴)))
114 2m1e1 11095 . . . . . . . . . . . . . . 15 (2 − 1) = 1
115114oveq1i 6625 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 − 1) + (i · 𝐴)) = (1 + (i · 𝐴))
116113, 115syl6eq 2671 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ ℂ → (2 − (1 − (i · 𝐴))) = (1 + (i · 𝐴)))
117116adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 − (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)) → (2 − (1 − (i · 𝐴))) = (1 + (i · 𝐴)))
118 2re 11050 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℝ
119 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 − (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)) → (1 − (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0))
120 elioc2 12194 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ) → ((1 − (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0) ↔ ((1 − (i · 𝐴)) ∈ ℝ ∧ -∞ < (1 − (i · 𝐴)) ∧ (1 − (i · 𝐴)) ≤ 0)))
12117, 18, 120mp2an 707 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1 − (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0) ↔ ((1 − (i · 𝐴)) ∈ ℝ ∧ -∞ < (1 − (i · 𝐴)) ∧ (1 − (i · 𝐴)) ≤ 0))
122119, 121sylib 208 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 − (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)) → ((1 − (i · 𝐴)) ∈ ℝ ∧ -∞ < (1 − (i · 𝐴)) ∧ (1 − (i · 𝐴)) ≤ 0))
123122simp1d 1071 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 − (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)) → (1 − (i · 𝐴)) ∈ ℝ)
124 resubcl 10305 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 ∈ ℝ ∧ (1 − (i · 𝐴)) ∈ ℝ) → (2 − (1 − (i · 𝐴))) ∈ ℝ)
125118, 123, 124sylancr 694 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 − (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)) → (2 − (1 − (i · 𝐴))) ∈ ℝ)
126117, 125eqeltrrd 2699 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 − (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)) → (1 + (i · 𝐴)) ∈ ℝ)
127126, 123remulcld 10030 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 − (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)) → ((1 + (i · 𝐴)) · (1 − (i · 𝐴))) ∈ ℝ)
128 mnflt 11917 . . . . . . . . . . 11 (((1 + (i · 𝐴)) · (1 − (i · 𝐴))) ∈ ℝ → -∞ < ((1 + (i · 𝐴)) · (1 − (i · 𝐴))))
129127, 128syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 − (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)) → -∞ < ((1 + (i · 𝐴)) · (1 − (i · 𝐴))))
130122simp3d 1073 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 − (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)) → (1 − (i · 𝐴)) ≤ 0)
131 0red 10001 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 − (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)) → 0 ∈ ℝ)
132118a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 − (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)) → 2 ∈ ℝ)
133 2pos 11072 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 < 2
134133a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 − (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)) → 0 < 2)
135110subid1i 10313 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (2 − 0) = 2
136123, 131, 132, 130lesub2dd 10604 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 − (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)) → (2 − 0) ≤ (2 − (1 − (i · 𝐴))))
137135, 136syl5eqbrr 4659 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 − (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)) → 2 ≤ (2 − (1 − (i · 𝐴))))
138137, 117breqtrd 4649 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 − (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)) → 2 ≤ (1 + (i · 𝐴)))
139131, 132, 126, 134, 138ltletrd 10157 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 − (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)) → 0 < (1 + (i · 𝐴)))
140 lemul2 10836 . . . . . . . . . . . . 13 (((1 − (i · 𝐴)) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ ∧ ((1 + (i · 𝐴)) ∈ ℝ ∧ 0 < (1 + (i · 𝐴)))) → ((1 − (i · 𝐴)) ≤ 0 ↔ ((1 + (i · 𝐴)) · (1 − (i · 𝐴))) ≤ ((1 + (i · 𝐴)) · 0)))
141123, 131, 126, 139, 140syl112anc 1327 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 − (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)) → ((1 − (i · 𝐴)) ≤ 0 ↔ ((1 + (i · 𝐴)) · (1 − (i · 𝐴))) ≤ ((1 + (i · 𝐴)) · 0)))
142130, 141mpbid 222 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 − (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)) → ((1 + (i · 𝐴)) · (1 − (i · 𝐴))) ≤ ((1 + (i · 𝐴)) · 0))
143 addcl 9978 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 ∈ ℂ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℂ) → (1 + (i · 𝐴)) ∈ ℂ)
14413, 104, 143sylancr 694 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ ℂ → (1 + (i · 𝐴)) ∈ ℂ)
145144adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 − (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)) → (1 + (i · 𝐴)) ∈ ℂ)
146145mul01d 10195 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 − (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)) → ((1 + (i · 𝐴)) · 0) = 0)
147142, 146breqtrd 4649 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 − (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)) → ((1 + (i · 𝐴)) · (1 − (i · 𝐴))) ≤ 0)
148 elioc2 12194 . . . . . . . . . . 11 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ) → (((1 + (i · 𝐴)) · (1 − (i · 𝐴))) ∈ (-∞(,]0) ↔ (((1 + (i · 𝐴)) · (1 − (i · 𝐴))) ∈ ℝ ∧ -∞ < ((1 + (i · 𝐴)) · (1 − (i · 𝐴))) ∧ ((1 + (i · 𝐴)) · (1 − (i · 𝐴))) ≤ 0)))
14917, 18, 148mp2an 707 . . . . . . . . . 10 (((1 + (i · 𝐴)) · (1 − (i · 𝐴))) ∈ (-∞(,]0) ↔ (((1 + (i · 𝐴)) · (1 − (i · 𝐴))) ∈ ℝ ∧ -∞ < ((1 + (i · 𝐴)) · (1 − (i · 𝐴))) ∧ ((1 + (i · 𝐴)) · (1 − (i · 𝐴))) ≤ 0))
150127, 129, 147, 149syl3anbrc 1244 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 − (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)) → ((1 + (i · 𝐴)) · (1 − (i · 𝐴))) ∈ (-∞(,]0))
151 simpr 477 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)) → (1 + (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0))
152 elioc2 12194 . . . . . . . . . . . . . 14 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ) → ((1 + (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0) ↔ ((1 + (i · 𝐴)) ∈ ℝ ∧ -∞ < (1 + (i · 𝐴)) ∧ (1 + (i · 𝐴)) ≤ 0)))
15317, 18, 152mp2an 707 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 + (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0) ↔ ((1 + (i · 𝐴)) ∈ ℝ ∧ -∞ < (1 + (i · 𝐴)) ∧ (1 + (i · 𝐴)) ≤ 0))
154151, 153sylib 208 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)) → ((1 + (i · 𝐴)) ∈ ℝ ∧ -∞ < (1 + (i · 𝐴)) ∧ (1 + (i · 𝐴)) ≤ 0))
155154simp1d 1071 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)) → (1 + (i · 𝐴)) ∈ ℝ)
156114oveq1i 6625 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 − 1) − (i · 𝐴)) = (1 − (i · 𝐴))
157111, 112, 104subsub4d 10383 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ ℂ → ((2 − 1) − (i · 𝐴)) = (2 − (1 + (i · 𝐴))))
158156, 157syl5reqr 2670 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ ℂ → (2 − (1 + (i · 𝐴))) = (1 − (i · 𝐴)))
159158adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)) → (2 − (1 + (i · 𝐴))) = (1 − (i · 𝐴)))
160 resubcl 10305 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 ∈ ℝ ∧ (1 + (i · 𝐴)) ∈ ℝ) → (2 − (1 + (i · 𝐴))) ∈ ℝ)
161118, 155, 160sylancr 694 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)) → (2 − (1 + (i · 𝐴))) ∈ ℝ)
162159, 161eqeltrrd 2699 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)) → (1 − (i · 𝐴)) ∈ ℝ)
163155, 162remulcld 10030 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)) → ((1 + (i · 𝐴)) · (1 − (i · 𝐴))) ∈ ℝ)
164163, 128syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)) → -∞ < ((1 + (i · 𝐴)) · (1 − (i · 𝐴))))
165154simp3d 1073 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)) → (1 + (i · 𝐴)) ≤ 0)
166 0red 10001 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)) → 0 ∈ ℝ)
167118a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)) → 2 ∈ ℝ)
168133a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)) → 0 < 2)
169155, 166, 167, 165lesub2dd 10604 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)) → (2 − 0) ≤ (2 − (1 + (i · 𝐴))))
170135, 169syl5eqbrr 4659 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)) → 2 ≤ (2 − (1 + (i · 𝐴))))
171170, 159breqtrd 4649 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)) → 2 ≤ (1 − (i · 𝐴)))
172166, 167, 162, 168, 171ltletrd 10157 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)) → 0 < (1 − (i · 𝐴)))
173 lemul1 10835 . . . . . . . . . . . . 13 (((1 + (i · 𝐴)) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ ∧ ((1 − (i · 𝐴)) ∈ ℝ ∧ 0 < (1 − (i · 𝐴)))) → ((1 + (i · 𝐴)) ≤ 0 ↔ ((1 + (i · 𝐴)) · (1 − (i · 𝐴))) ≤ (0 · (1 − (i · 𝐴)))))
174155, 166, 162, 172, 173syl112anc 1327 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)) → ((1 + (i · 𝐴)) ≤ 0 ↔ ((1 + (i · 𝐴)) · (1 − (i · 𝐴))) ≤ (0 · (1 − (i · 𝐴)))))
175165, 174mpbid 222 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)) → ((1 + (i · 𝐴)) · (1 − (i · 𝐴))) ≤ (0 · (1 − (i · 𝐴))))
176162recnd 10028 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)) → (1 − (i · 𝐴)) ∈ ℂ)
177176mul02d 10194 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)) → (0 · (1 − (i · 𝐴))) = 0)
178175, 177breqtrd 4649 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)) → ((1 + (i · 𝐴)) · (1 − (i · 𝐴))) ≤ 0)
179163, 164, 178, 149syl3anbrc 1244 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)) → ((1 + (i · 𝐴)) · (1 − (i · 𝐴))) ∈ (-∞(,]0))
180150, 179jaodan 825 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((1 − (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0) ∨ (1 + (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0))) → ((1 + (i · 𝐴)) · (1 − (i · 𝐴))) ∈ (-∞(,]0))
181109, 180eqeltrrd 2699 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((1 − (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0) ∨ (1 + (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0))) → (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0))
18293, 181impbida 876 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → ((1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0) ↔ ((1 − (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0) ∨ (1 + (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0))))
183182notbid 308 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (¬ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0) ↔ ¬ ((1 − (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0) ∨ (1 + (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0))))
184 ioran 511 . . . . 5 (¬ ((1 − (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0) ∨ (1 + (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)) ↔ (¬ (1 − (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0) ∧ ¬ (1 + (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)))
185183, 184syl6bb 276 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (¬ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0) ↔ (¬ (1 − (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0) ∧ ¬ (1 + (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0))))
186 addcl 9978 . . . . . 6 ((1 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℂ) → (1 + (𝐴↑2)) ∈ ℂ)
18713, 1, 186sylancr 694 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (1 + (𝐴↑2)) ∈ ℂ)
188 atansopn.d . . . . . . . 8 𝐷 = (ℂ ∖ (-∞(,]0))
189188eleq2i 2690 . . . . . . 7 ((1 + (𝐴↑2)) ∈ 𝐷 ↔ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))
190 eldif 3570 . . . . . . 7 ((1 + (𝐴↑2)) ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ↔ ((1 + (𝐴↑2)) ∈ ℂ ∧ ¬ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)))
191189, 190bitri 264 . . . . . 6 ((1 + (𝐴↑2)) ∈ 𝐷 ↔ ((1 + (𝐴↑2)) ∈ ℂ ∧ ¬ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)))
192191baib 943 . . . . 5 ((1 + (𝐴↑2)) ∈ ℂ → ((1 + (𝐴↑2)) ∈ 𝐷 ↔ ¬ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)))
193187, 192syl 17 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → ((1 + (𝐴↑2)) ∈ 𝐷 ↔ ¬ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)))
194 subcl 10240 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℂ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℂ) → (1 − (i · 𝐴)) ∈ ℂ)
19513, 104, 194sylancr 694 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (1 − (i · 𝐴)) ∈ ℂ)
196188eleq2i 2690 . . . . . . . 8 ((1 − (i · 𝐴)) ∈ 𝐷 ↔ (1 − (i · 𝐴)) ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))
197 eldif 3570 . . . . . . . 8 ((1 − (i · 𝐴)) ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ↔ ((1 − (i · 𝐴)) ∈ ℂ ∧ ¬ (1 − (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)))
198196, 197bitri 264 . . . . . . 7 ((1 − (i · 𝐴)) ∈ 𝐷 ↔ ((1 − (i · 𝐴)) ∈ ℂ ∧ ¬ (1 − (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)))
199198baib 943 . . . . . 6 ((1 − (i · 𝐴)) ∈ ℂ → ((1 − (i · 𝐴)) ∈ 𝐷 ↔ ¬ (1 − (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)))
200195, 199syl 17 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → ((1 − (i · 𝐴)) ∈ 𝐷 ↔ ¬ (1 − (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)))
201188eleq2i 2690 . . . . . . . 8 ((1 + (i · 𝐴)) ∈ 𝐷 ↔ (1 + (i · 𝐴)) ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))
202 eldif 3570 . . . . . . . 8 ((1 + (i · 𝐴)) ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ↔ ((1 + (i · 𝐴)) ∈ ℂ ∧ ¬ (1 + (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)))
203201, 202bitri 264 . . . . . . 7 ((1 + (i · 𝐴)) ∈ 𝐷 ↔ ((1 + (i · 𝐴)) ∈ ℂ ∧ ¬ (1 + (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)))
204203baib 943 . . . . . 6 ((1 + (i · 𝐴)) ∈ ℂ → ((1 + (i · 𝐴)) ∈ 𝐷 ↔ ¬ (1 + (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)))
205144, 204syl 17 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → ((1 + (i · 𝐴)) ∈ 𝐷 ↔ ¬ (1 + (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)))
206200, 205anbi12d 746 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (((1 − (i · 𝐴)) ∈ 𝐷 ∧ (1 + (i · 𝐴)) ∈ 𝐷) ↔ (¬ (1 − (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0) ∧ ¬ (1 + (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0))))
207185, 193, 2063bitr4d 300 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → ((1 + (𝐴↑2)) ∈ 𝐷 ↔ ((1 − (i · 𝐴)) ∈ 𝐷 ∧ (1 + (i · 𝐴)) ∈ 𝐷)))
208207pm5.32i 668 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ 𝐷) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ((1 − (i · 𝐴)) ∈ 𝐷 ∧ (1 + (i · 𝐴)) ∈ 𝐷)))
209 atansopn.s . . 3 𝑆 = {𝑦 ∈ ℂ ∣ (1 + (𝑦↑2)) ∈ 𝐷}
210188, 209atans 24591 . 2 (𝐴𝑆 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ 𝐷))
211 3anass 1040 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 − (i · 𝐴)) ∈ 𝐷 ∧ (1 + (i · 𝐴)) ∈ 𝐷) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ((1 − (i · 𝐴)) ∈ 𝐷 ∧ (1 + (i · 𝐴)) ∈ 𝐷)))
212208, 210, 2113bitr4i 292 1 (𝐴𝑆 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 − (i · 𝐴)) ∈ 𝐷 ∧ (1 + (i · 𝐴)) ∈ 𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wb 196  wo 383  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  {crab 2912  cdif 3557   class class class wbr 4623  cfv 5857  (class class class)co 6615  cc 9894  cr 9895  0cc0 9896  1c1 9897  ici 9898   + caddc 9899   · cmul 9901  -∞cmnf 10032  *cxr 10033   < clt 10034  cle 10035  cmin 10226  -cneg 10227  2c2 11030  (,]cioc 12134  cexp 12816  csqrt 13923
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973  ax-pre-sup 9974
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rmo 2916  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-om 7028  df-2nd 7129  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-er 7702  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-sup 8308  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-div 10645  df-nn 10981  df-2 11039  df-3 11040  df-n0 11253  df-z 11338  df-uz 11648  df-rp 11793  df-ioc 12138  df-seq 12758  df-exp 12817  df-cj 13789  df-re 13790  df-im 13791  df-sqrt 13925  df-abs 13926
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