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Theorem atans2 24372
Description: It suffices to show that 1 − i𝐴 and 1 + i𝐴 are in the continuity domain of log to show that 𝐴 is in the continuity domain of arctangent. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
atansopn.d 𝐷 = (ℂ ∖ (-∞(,]0))
atansopn.s 𝑆 = {𝑦 ∈ ℂ ∣ (1 + (𝑦↑2)) ∈ 𝐷}
Assertion
Ref Expression
atans2 (𝐴𝑆 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 − (i · 𝐴)) ∈ 𝐷 ∧ (1 + (i · 𝐴)) ∈ 𝐷))
Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑦,𝐷
Allowed substitution hint:   𝑆(𝑦)

Proof of Theorem atans2
StepHypRef Expression
1 sqcl 12739 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
21adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
32sqsqrtd 13969 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → ((√‘(𝐴↑2))↑2) = (𝐴↑2))
43eqcomd 2612 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → (𝐴↑2) = ((√‘(𝐴↑2))↑2))
52sqrtcld 13967 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → (√‘(𝐴↑2)) ∈ ℂ)
6 sqeqor 12792 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (√‘(𝐴↑2)) ∈ ℂ) → ((𝐴↑2) = ((√‘(𝐴↑2))↑2) ↔ (𝐴 = (√‘(𝐴↑2)) ∨ 𝐴 = -(√‘(𝐴↑2)))))
75, 6syldan 485 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → ((𝐴↑2) = ((√‘(𝐴↑2))↑2) ↔ (𝐴 = (√‘(𝐴↑2)) ∨ 𝐴 = -(√‘(𝐴↑2)))))
84, 7mpbid 220 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → (𝐴 = (√‘(𝐴↑2)) ∨ 𝐴 = -(√‘(𝐴↑2))))
9 1re 9892 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ ℝ
109a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → 1 ∈ ℝ)
112negnegd 10231 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → --(𝐴↑2) = (𝐴↑2))
1211fveq2d 6089 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → (√‘--(𝐴↑2)) = (√‘(𝐴↑2)))
13 ax-1cn 9847 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1 ∈ ℂ
14 pncan2 10136 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((1 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℂ) → ((1 + (𝐴↑2)) − 1) = (𝐴↑2))
1513, 2, 14sylancr 693 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → ((1 + (𝐴↑2)) − 1) = (𝐴↑2))
16 simpr 475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0))
17 mnfxr 11780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 -∞ ∈ ℝ*
18 0re 9893 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 0 ∈ ℝ
19 elioc2 12060 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ) → ((1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0) ↔ ((1 + (𝐴↑2)) ∈ ℝ ∧ -∞ < (1 + (𝐴↑2)) ∧ (1 + (𝐴↑2)) ≤ 0)))
2017, 18, 19mp2an 703 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0) ↔ ((1 + (𝐴↑2)) ∈ ℝ ∧ -∞ < (1 + (𝐴↑2)) ∧ (1 + (𝐴↑2)) ≤ 0))
2116, 20sylib 206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → ((1 + (𝐴↑2)) ∈ ℝ ∧ -∞ < (1 + (𝐴↑2)) ∧ (1 + (𝐴↑2)) ≤ 0))
2221simp1d 1065 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → (1 + (𝐴↑2)) ∈ ℝ)
23 resubcl 10193 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((1 + (𝐴↑2)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((1 + (𝐴↑2)) − 1) ∈ ℝ)
2422, 9, 23sylancl 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → ((1 + (𝐴↑2)) − 1) ∈ ℝ)
2515, 24eqeltrrd 2685 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → (𝐴↑2) ∈ ℝ)
2625renegcld 10305 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → -(𝐴↑2) ∈ ℝ)
27 0red 9894 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → 0 ∈ ℝ)
28 0le1 10397 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 0 ≤ 1
2928a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → 0 ≤ 1)
30 subneg 10178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((1 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℂ) → (1 − -(𝐴↑2)) = (1 + (𝐴↑2)))
3113, 2, 30sylancr 693 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → (1 − -(𝐴↑2)) = (1 + (𝐴↑2)))
3221simp3d 1067 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → (1 + (𝐴↑2)) ≤ 0)
3331, 32eqbrtrd 4596 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → (1 − -(𝐴↑2)) ≤ 0)
34 suble0 10388 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((1 ∈ ℝ ∧ -(𝐴↑2) ∈ ℝ) → ((1 − -(𝐴↑2)) ≤ 0 ↔ 1 ≤ -(𝐴↑2)))
359, 26, 34sylancr 693 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → ((1 − -(𝐴↑2)) ≤ 0 ↔ 1 ≤ -(𝐴↑2)))
3633, 35mpbid 220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → 1 ≤ -(𝐴↑2))
3727, 10, 26, 29, 36letrd 10042 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → 0 ≤ -(𝐴↑2))
3826, 37sqrtnegd 13951 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → (√‘--(𝐴↑2)) = (i · (√‘-(𝐴↑2))))
3912, 38eqtr3d 2642 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → (√‘(𝐴↑2)) = (i · (√‘-(𝐴↑2))))
4039oveq2d 6540 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → (i · (√‘(𝐴↑2))) = (i · (i · (√‘-(𝐴↑2)))))
41 ax-icn 9848 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 i ∈ ℂ
4241a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → i ∈ ℂ)
4326, 37resqrtcld 13947 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → (√‘-(𝐴↑2)) ∈ ℝ)
4443recnd 9921 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → (√‘-(𝐴↑2)) ∈ ℂ)
4542, 42, 44mulassd 9916 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → ((i · i) · (√‘-(𝐴↑2))) = (i · (i · (√‘-(𝐴↑2)))))
46 ixi 10502 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (i · i) = -1
4746oveq1i 6534 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((i · i) · (√‘-(𝐴↑2))) = (-1 · (√‘-(𝐴↑2)))
4844mulm1d 10329 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → (-1 · (√‘-(𝐴↑2))) = -(√‘-(𝐴↑2)))
4947, 48syl5eq 2652 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → ((i · i) · (√‘-(𝐴↑2))) = -(√‘-(𝐴↑2)))
5040, 45, 493eqtr2d 2646 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → (i · (√‘(𝐴↑2))) = -(√‘-(𝐴↑2)))
5143renegcld 10305 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → -(√‘-(𝐴↑2)) ∈ ℝ)
5250, 51eqeltrd 2684 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → (i · (√‘(𝐴↑2))) ∈ ℝ)
5310, 52readdcld 9922 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → (1 + (i · (√‘(𝐴↑2)))) ∈ ℝ)
54 mnflt 11791 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 + (i · (√‘(𝐴↑2)))) ∈ ℝ → -∞ < (1 + (i · (√‘(𝐴↑2)))))
5553, 54syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → -∞ < (1 + (i · (√‘(𝐴↑2)))))
5650oveq2d 6540 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → (1 + (i · (√‘(𝐴↑2)))) = (1 + -(√‘-(𝐴↑2))))
57 negsub 10177 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1 ∈ ℂ ∧ (√‘-(𝐴↑2)) ∈ ℂ) → (1 + -(√‘-(𝐴↑2))) = (1 − (√‘-(𝐴↑2))))
5813, 44, 57sylancr 693 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → (1 + -(√‘-(𝐴↑2))) = (1 − (√‘-(𝐴↑2))))
5956, 58eqtrd 2640 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → (1 + (i · (√‘(𝐴↑2)))) = (1 − (√‘-(𝐴↑2))))
60 sq1 12772 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (1↑2) = 1
6160a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → (1↑2) = 1)
6226recnd 9921 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → -(𝐴↑2) ∈ ℂ)
6362sqsqrtd 13969 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → ((√‘-(𝐴↑2))↑2) = -(𝐴↑2))
6436, 61, 633brtr4d 4606 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → (1↑2) ≤ ((√‘-(𝐴↑2))↑2))
6526, 37sqrtge0d 13950 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → 0 ≤ (√‘-(𝐴↑2)))
6610, 43, 29, 65le2sqd 12858 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → (1 ≤ (√‘-(𝐴↑2)) ↔ (1↑2) ≤ ((√‘-(𝐴↑2))↑2)))
6764, 66mpbird 245 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → 1 ≤ (√‘-(𝐴↑2)))
6810, 43suble0d 10464 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → ((1 − (√‘-(𝐴↑2))) ≤ 0 ↔ 1 ≤ (√‘-(𝐴↑2))))
6967, 68mpbird 245 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → (1 − (√‘-(𝐴↑2))) ≤ 0)
7059, 69eqbrtrd 4596 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → (1 + (i · (√‘(𝐴↑2)))) ≤ 0)
71 elioc2 12060 . . . . . . . . . . . . 13 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ) → ((1 + (i · (√‘(𝐴↑2)))) ∈ (-∞(,]0) ↔ ((1 + (i · (√‘(𝐴↑2)))) ∈ ℝ ∧ -∞ < (1 + (i · (√‘(𝐴↑2)))) ∧ (1 + (i · (√‘(𝐴↑2)))) ≤ 0)))
7217, 18, 71mp2an 703 . . . . . . . . . . . 12 ((1 + (i · (√‘(𝐴↑2)))) ∈ (-∞(,]0) ↔ ((1 + (i · (√‘(𝐴↑2)))) ∈ ℝ ∧ -∞ < (1 + (i · (√‘(𝐴↑2)))) ∧ (1 + (i · (√‘(𝐴↑2)))) ≤ 0))
7353, 55, 70, 72syl3anbrc 1238 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → (1 + (i · (√‘(𝐴↑2)))) ∈ (-∞(,]0))
74 oveq2 6532 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 = (√‘(𝐴↑2)) → (i · 𝐴) = (i · (√‘(𝐴↑2))))
7574oveq2d 6540 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 = (√‘(𝐴↑2)) → (1 + (i · 𝐴)) = (1 + (i · (√‘(𝐴↑2)))))
7675eleq1d 2668 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 = (√‘(𝐴↑2)) → ((1 + (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0) ↔ (1 + (i · (√‘(𝐴↑2)))) ∈ (-∞(,]0)))
7773, 76syl5ibrcom 235 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → (𝐴 = (√‘(𝐴↑2)) → (1 + (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)))
78 mulneg2 10315 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((i ∈ ℂ ∧ (√‘(𝐴↑2)) ∈ ℂ) → (i · -(√‘(𝐴↑2))) = -(i · (√‘(𝐴↑2))))
7941, 5, 78sylancr 693 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → (i · -(√‘(𝐴↑2))) = -(i · (√‘(𝐴↑2))))
8079oveq2d 6540 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → (1 − (i · -(√‘(𝐴↑2)))) = (1 − -(i · (√‘(𝐴↑2)))))
81 mulcl 9873 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((i ∈ ℂ ∧ (√‘(𝐴↑2)) ∈ ℂ) → (i · (√‘(𝐴↑2))) ∈ ℂ)
8241, 5, 81sylancr 693 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → (i · (√‘(𝐴↑2))) ∈ ℂ)
83 subneg 10178 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 ∈ ℂ ∧ (i · (√‘(𝐴↑2))) ∈ ℂ) → (1 − -(i · (√‘(𝐴↑2)))) = (1 + (i · (√‘(𝐴↑2)))))
8413, 82, 83sylancr 693 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → (1 − -(i · (√‘(𝐴↑2)))) = (1 + (i · (√‘(𝐴↑2)))))
8580, 84eqtrd 2640 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → (1 − (i · -(√‘(𝐴↑2)))) = (1 + (i · (√‘(𝐴↑2)))))
8685, 73eqeltrd 2684 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → (1 − (i · -(√‘(𝐴↑2)))) ∈ (-∞(,]0))
87 oveq2 6532 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 = -(√‘(𝐴↑2)) → (i · 𝐴) = (i · -(√‘(𝐴↑2))))
8887oveq2d 6540 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 = -(√‘(𝐴↑2)) → (1 − (i · 𝐴)) = (1 − (i · -(√‘(𝐴↑2)))))
8988eleq1d 2668 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 = -(√‘(𝐴↑2)) → ((1 − (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0) ↔ (1 − (i · -(√‘(𝐴↑2)))) ∈ (-∞(,]0)))
9086, 89syl5ibrcom 235 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → (𝐴 = -(√‘(𝐴↑2)) → (1 − (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)))
9177, 90orim12d 878 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → ((𝐴 = (√‘(𝐴↑2)) ∨ 𝐴 = -(√‘(𝐴↑2))) → ((1 + (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0) ∨ (1 − (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0))))
928, 91mpd 15 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → ((1 + (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0) ∨ (1 − (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)))
9392orcomd 401 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → ((1 − (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0) ∨ (1 + (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)))
9460a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℂ → (1↑2) = 1)
95 sqmul 12740 . . . . . . . . . . . . 13 ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((i · 𝐴)↑2) = ((i↑2) · (𝐴↑2)))
9641, 95mpan 701 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℂ → ((i · 𝐴)↑2) = ((i↑2) · (𝐴↑2)))
97 i2 12779 . . . . . . . . . . . . . 14 (i↑2) = -1
9897oveq1i 6534 . . . . . . . . . . . . 13 ((i↑2) · (𝐴↑2)) = (-1 · (𝐴↑2))
991mulm1d 10329 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ ℂ → (-1 · (𝐴↑2)) = -(𝐴↑2))
10098, 99syl5eq 2652 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℂ → ((i↑2) · (𝐴↑2)) = -(𝐴↑2))
10196, 100eqtrd 2640 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℂ → ((i · 𝐴)↑2) = -(𝐴↑2))
10294, 101oveq12d 6542 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℂ → ((1↑2) − ((i · 𝐴)↑2)) = (1 − -(𝐴↑2)))
103 mulcl 9873 . . . . . . . . . . . 12 ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
10441, 103mpan 701 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℂ → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
105 subsq 12786 . . . . . . . . . . 11 ((1 ∈ ℂ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℂ) → ((1↑2) − ((i · 𝐴)↑2)) = ((1 + (i · 𝐴)) · (1 − (i · 𝐴))))
10613, 104, 105sylancr 693 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℂ → ((1↑2) − ((i · 𝐴)↑2)) = ((1 + (i · 𝐴)) · (1 − (i · 𝐴))))
10713, 1, 30sylancr 693 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℂ → (1 − -(𝐴↑2)) = (1 + (𝐴↑2)))
108102, 106, 1073eqtr3d 2648 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℂ → ((1 + (i · 𝐴)) · (1 − (i · 𝐴))) = (1 + (𝐴↑2)))
109108adantr 479 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((1 − (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0) ∨ (1 + (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0))) → ((1 + (i · 𝐴)) · (1 − (i · 𝐴))) = (1 + (𝐴↑2)))
110 2cn 10935 . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 ∈ ℂ
111110a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ ℂ → 2 ∈ ℂ)
11213a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ ℂ → 1 ∈ ℂ)
113111, 112, 104subsubd 10268 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ ℂ → (2 − (1 − (i · 𝐴))) = ((2 − 1) + (i · 𝐴)))
114 2m1e1 10979 . . . . . . . . . . . . . . 15 (2 − 1) = 1
115114oveq1i 6534 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 − 1) + (i · 𝐴)) = (1 + (i · 𝐴))
116113, 115syl6eq 2656 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ ℂ → (2 − (1 − (i · 𝐴))) = (1 + (i · 𝐴)))
117116adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 − (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)) → (2 − (1 − (i · 𝐴))) = (1 + (i · 𝐴)))
118 2re 10934 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℝ
119 simpr 475 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 − (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)) → (1 − (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0))
120 elioc2 12060 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ) → ((1 − (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0) ↔ ((1 − (i · 𝐴)) ∈ ℝ ∧ -∞ < (1 − (i · 𝐴)) ∧ (1 − (i · 𝐴)) ≤ 0)))
12117, 18, 120mp2an 703 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1 − (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0) ↔ ((1 − (i · 𝐴)) ∈ ℝ ∧ -∞ < (1 − (i · 𝐴)) ∧ (1 − (i · 𝐴)) ≤ 0))
122119, 121sylib 206 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 − (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)) → ((1 − (i · 𝐴)) ∈ ℝ ∧ -∞ < (1 − (i · 𝐴)) ∧ (1 − (i · 𝐴)) ≤ 0))
123122simp1d 1065 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 − (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)) → (1 − (i · 𝐴)) ∈ ℝ)
124 resubcl 10193 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 ∈ ℝ ∧ (1 − (i · 𝐴)) ∈ ℝ) → (2 − (1 − (i · 𝐴))) ∈ ℝ)
125118, 123, 124sylancr 693 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 − (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)) → (2 − (1 − (i · 𝐴))) ∈ ℝ)
126117, 125eqeltrrd 2685 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 − (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)) → (1 + (i · 𝐴)) ∈ ℝ)
127126, 123remulcld 9923 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 − (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)) → ((1 + (i · 𝐴)) · (1 − (i · 𝐴))) ∈ ℝ)
128 mnflt 11791 . . . . . . . . . . 11 (((1 + (i · 𝐴)) · (1 − (i · 𝐴))) ∈ ℝ → -∞ < ((1 + (i · 𝐴)) · (1 − (i · 𝐴))))
129127, 128syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 − (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)) → -∞ < ((1 + (i · 𝐴)) · (1 − (i · 𝐴))))
130122simp3d 1067 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 − (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)) → (1 − (i · 𝐴)) ≤ 0)
131 0red 9894 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 − (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)) → 0 ∈ ℝ)
132118a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 − (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)) → 2 ∈ ℝ)
133 2pos 10956 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 < 2
134133a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 − (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)) → 0 < 2)
135110subid1i 10201 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (2 − 0) = 2
136123, 131, 132, 130lesub2dd 10490 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 − (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)) → (2 − 0) ≤ (2 − (1 − (i · 𝐴))))
137135, 136syl5eqbrr 4610 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 − (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)) → 2 ≤ (2 − (1 − (i · 𝐴))))
138137, 117breqtrd 4600 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 − (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)) → 2 ≤ (1 + (i · 𝐴)))
139131, 132, 126, 134, 138ltletrd 10045 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 − (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)) → 0 < (1 + (i · 𝐴)))
140 lemul2 10722 . . . . . . . . . . . . 13 (((1 − (i · 𝐴)) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ ∧ ((1 + (i · 𝐴)) ∈ ℝ ∧ 0 < (1 + (i · 𝐴)))) → ((1 − (i · 𝐴)) ≤ 0 ↔ ((1 + (i · 𝐴)) · (1 − (i · 𝐴))) ≤ ((1 + (i · 𝐴)) · 0)))
141123, 131, 126, 139, 140syl112anc 1321 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 − (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)) → ((1 − (i · 𝐴)) ≤ 0 ↔ ((1 + (i · 𝐴)) · (1 − (i · 𝐴))) ≤ ((1 + (i · 𝐴)) · 0)))
142130, 141mpbid 220 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 − (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)) → ((1 + (i · 𝐴)) · (1 − (i · 𝐴))) ≤ ((1 + (i · 𝐴)) · 0))
143 addcl 9871 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 ∈ ℂ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℂ) → (1 + (i · 𝐴)) ∈ ℂ)
14413, 104, 143sylancr 693 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ ℂ → (1 + (i · 𝐴)) ∈ ℂ)
145144adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 − (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)) → (1 + (i · 𝐴)) ∈ ℂ)
146145mul01d 10083 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 − (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)) → ((1 + (i · 𝐴)) · 0) = 0)
147142, 146breqtrd 4600 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 − (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)) → ((1 + (i · 𝐴)) · (1 − (i · 𝐴))) ≤ 0)
148 elioc2 12060 . . . . . . . . . . 11 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ) → (((1 + (i · 𝐴)) · (1 − (i · 𝐴))) ∈ (-∞(,]0) ↔ (((1 + (i · 𝐴)) · (1 − (i · 𝐴))) ∈ ℝ ∧ -∞ < ((1 + (i · 𝐴)) · (1 − (i · 𝐴))) ∧ ((1 + (i · 𝐴)) · (1 − (i · 𝐴))) ≤ 0)))
14917, 18, 148mp2an 703 . . . . . . . . . 10 (((1 + (i · 𝐴)) · (1 − (i · 𝐴))) ∈ (-∞(,]0) ↔ (((1 + (i · 𝐴)) · (1 − (i · 𝐴))) ∈ ℝ ∧ -∞ < ((1 + (i · 𝐴)) · (1 − (i · 𝐴))) ∧ ((1 + (i · 𝐴)) · (1 − (i · 𝐴))) ≤ 0))
150127, 129, 147, 149syl3anbrc 1238 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 − (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)) → ((1 + (i · 𝐴)) · (1 − (i · 𝐴))) ∈ (-∞(,]0))
151 simpr 475 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)) → (1 + (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0))
152 elioc2 12060 . . . . . . . . . . . . . 14 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ) → ((1 + (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0) ↔ ((1 + (i · 𝐴)) ∈ ℝ ∧ -∞ < (1 + (i · 𝐴)) ∧ (1 + (i · 𝐴)) ≤ 0)))
15317, 18, 152mp2an 703 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 + (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0) ↔ ((1 + (i · 𝐴)) ∈ ℝ ∧ -∞ < (1 + (i · 𝐴)) ∧ (1 + (i · 𝐴)) ≤ 0))
154151, 153sylib 206 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)) → ((1 + (i · 𝐴)) ∈ ℝ ∧ -∞ < (1 + (i · 𝐴)) ∧ (1 + (i · 𝐴)) ≤ 0))
155154simp1d 1065 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)) → (1 + (i · 𝐴)) ∈ ℝ)
156114oveq1i 6534 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 − 1) − (i · 𝐴)) = (1 − (i · 𝐴))
157111, 112, 104subsub4d 10271 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ ℂ → ((2 − 1) − (i · 𝐴)) = (2 − (1 + (i · 𝐴))))
158156, 157syl5reqr 2655 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ ℂ → (2 − (1 + (i · 𝐴))) = (1 − (i · 𝐴)))
159158adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)) → (2 − (1 + (i · 𝐴))) = (1 − (i · 𝐴)))
160 resubcl 10193 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 ∈ ℝ ∧ (1 + (i · 𝐴)) ∈ ℝ) → (2 − (1 + (i · 𝐴))) ∈ ℝ)
161118, 155, 160sylancr 693 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)) → (2 − (1 + (i · 𝐴))) ∈ ℝ)
162159, 161eqeltrrd 2685 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)) → (1 − (i · 𝐴)) ∈ ℝ)
163155, 162remulcld 9923 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)) → ((1 + (i · 𝐴)) · (1 − (i · 𝐴))) ∈ ℝ)
164163, 128syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)) → -∞ < ((1 + (i · 𝐴)) · (1 − (i · 𝐴))))
165154simp3d 1067 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)) → (1 + (i · 𝐴)) ≤ 0)
166 0red 9894 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)) → 0 ∈ ℝ)
167118a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)) → 2 ∈ ℝ)
168133a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)) → 0 < 2)
169155, 166, 167, 165lesub2dd 10490 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)) → (2 − 0) ≤ (2 − (1 + (i · 𝐴))))
170135, 169syl5eqbrr 4610 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)) → 2 ≤ (2 − (1 + (i · 𝐴))))
171170, 159breqtrd 4600 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)) → 2 ≤ (1 − (i · 𝐴)))
172166, 167, 162, 168, 171ltletrd 10045 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)) → 0 < (1 − (i · 𝐴)))
173 lemul1 10721 . . . . . . . . . . . . 13 (((1 + (i · 𝐴)) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ ∧ ((1 − (i · 𝐴)) ∈ ℝ ∧ 0 < (1 − (i · 𝐴)))) → ((1 + (i · 𝐴)) ≤ 0 ↔ ((1 + (i · 𝐴)) · (1 − (i · 𝐴))) ≤ (0 · (1 − (i · 𝐴)))))
174155, 166, 162, 172, 173syl112anc 1321 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)) → ((1 + (i · 𝐴)) ≤ 0 ↔ ((1 + (i · 𝐴)) · (1 − (i · 𝐴))) ≤ (0 · (1 − (i · 𝐴)))))
175165, 174mpbid 220 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)) → ((1 + (i · 𝐴)) · (1 − (i · 𝐴))) ≤ (0 · (1 − (i · 𝐴))))
176162recnd 9921 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)) → (1 − (i · 𝐴)) ∈ ℂ)
177176mul02d 10082 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)) → (0 · (1 − (i · 𝐴))) = 0)
178175, 177breqtrd 4600 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)) → ((1 + (i · 𝐴)) · (1 − (i · 𝐴))) ≤ 0)
179163, 164, 178, 149syl3anbrc 1238 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)) → ((1 + (i · 𝐴)) · (1 − (i · 𝐴))) ∈ (-∞(,]0))
180150, 179jaodan 821 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((1 − (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0) ∨ (1 + (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0))) → ((1 + (i · 𝐴)) · (1 − (i · 𝐴))) ∈ (-∞(,]0))
181109, 180eqeltrrd 2685 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((1 − (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0) ∨ (1 + (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0))) → (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0))
18293, 181impbida 872 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → ((1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0) ↔ ((1 − (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0) ∨ (1 + (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0))))
183182notbid 306 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (¬ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0) ↔ ¬ ((1 − (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0) ∨ (1 + (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0))))
184 ioran 509 . . . . 5 (¬ ((1 − (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0) ∨ (1 + (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)) ↔ (¬ (1 − (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0) ∧ ¬ (1 + (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)))
185183, 184syl6bb 274 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (¬ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0) ↔ (¬ (1 − (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0) ∧ ¬ (1 + (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0))))
186 addcl 9871 . . . . . 6 ((1 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℂ) → (1 + (𝐴↑2)) ∈ ℂ)
18713, 1, 186sylancr 693 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (1 + (𝐴↑2)) ∈ ℂ)
188 atansopn.d . . . . . . . 8 𝐷 = (ℂ ∖ (-∞(,]0))
189188eleq2i 2676 . . . . . . 7 ((1 + (𝐴↑2)) ∈ 𝐷 ↔ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))
190 eldif 3546 . . . . . . 7 ((1 + (𝐴↑2)) ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ↔ ((1 + (𝐴↑2)) ∈ ℂ ∧ ¬ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)))
191189, 190bitri 262 . . . . . 6 ((1 + (𝐴↑2)) ∈ 𝐷 ↔ ((1 + (𝐴↑2)) ∈ ℂ ∧ ¬ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)))
192191baib 941 . . . . 5 ((1 + (𝐴↑2)) ∈ ℂ → ((1 + (𝐴↑2)) ∈ 𝐷 ↔ ¬ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)))
193187, 192syl 17 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → ((1 + (𝐴↑2)) ∈ 𝐷 ↔ ¬ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)))
194 subcl 10128 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℂ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℂ) → (1 − (i · 𝐴)) ∈ ℂ)
19513, 104, 194sylancr 693 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (1 − (i · 𝐴)) ∈ ℂ)
196188eleq2i 2676 . . . . . . . 8 ((1 − (i · 𝐴)) ∈ 𝐷 ↔ (1 − (i · 𝐴)) ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))
197 eldif 3546 . . . . . . . 8 ((1 − (i · 𝐴)) ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ↔ ((1 − (i · 𝐴)) ∈ ℂ ∧ ¬ (1 − (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)))
198196, 197bitri 262 . . . . . . 7 ((1 − (i · 𝐴)) ∈ 𝐷 ↔ ((1 − (i · 𝐴)) ∈ ℂ ∧ ¬ (1 − (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)))
199198baib 941 . . . . . 6 ((1 − (i · 𝐴)) ∈ ℂ → ((1 − (i · 𝐴)) ∈ 𝐷 ↔ ¬ (1 − (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)))
200195, 199syl 17 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → ((1 − (i · 𝐴)) ∈ 𝐷 ↔ ¬ (1 − (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)))
201188eleq2i 2676 . . . . . . . 8 ((1 + (i · 𝐴)) ∈ 𝐷 ↔ (1 + (i · 𝐴)) ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))
202 eldif 3546 . . . . . . . 8 ((1 + (i · 𝐴)) ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ↔ ((1 + (i · 𝐴)) ∈ ℂ ∧ ¬ (1 + (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)))
203201, 202bitri 262 . . . . . . 7 ((1 + (i · 𝐴)) ∈ 𝐷 ↔ ((1 + (i · 𝐴)) ∈ ℂ ∧ ¬ (1 + (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)))
204203baib 941 . . . . . 6 ((1 + (i · 𝐴)) ∈ ℂ → ((1 + (i · 𝐴)) ∈ 𝐷 ↔ ¬ (1 + (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)))
205144, 204syl 17 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → ((1 + (i · 𝐴)) ∈ 𝐷 ↔ ¬ (1 + (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)))
206200, 205anbi12d 742 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (((1 − (i · 𝐴)) ∈ 𝐷 ∧ (1 + (i · 𝐴)) ∈ 𝐷) ↔ (¬ (1 − (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0) ∧ ¬ (1 + (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0))))
207185, 193, 2063bitr4d 298 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → ((1 + (𝐴↑2)) ∈ 𝐷 ↔ ((1 − (i · 𝐴)) ∈ 𝐷 ∧ (1 + (i · 𝐴)) ∈ 𝐷)))
208207pm5.32i 666 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ 𝐷) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ((1 − (i · 𝐴)) ∈ 𝐷 ∧ (1 + (i · 𝐴)) ∈ 𝐷)))
209 atansopn.s . . 3 𝑆 = {𝑦 ∈ ℂ ∣ (1 + (𝑦↑2)) ∈ 𝐷}
210188, 209atans 24371 . 2 (𝐴𝑆 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ 𝐷))
211 3anass 1034 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 − (i · 𝐴)) ∈ 𝐷 ∧ (1 + (i · 𝐴)) ∈ 𝐷) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ((1 − (i · 𝐴)) ∈ 𝐷 ∧ (1 + (i · 𝐴)) ∈ 𝐷)))
212208, 210, 2113bitr4i 290 1 (𝐴𝑆 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 − (i · 𝐴)) ∈ 𝐷 ∧ (1 + (i · 𝐴)) ∈ 𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wb 194  wo 381  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1976  {crab 2896  cdif 3533   class class class wbr 4574  cfv 5787  (class class class)co 6524  cc 9787  cr 9788  0cc0 9789  1c1 9790  ici 9791   + caddc 9792   · cmul 9794  -∞cmnf 9925  *cxr 9926   < clt 9927  cle 9928  cmin 10114  -cneg 10115  2c2 10914  (,]cioc 12000  cexp 12674  csqrt 13764
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2229  ax-ext 2586  ax-sep 4700  ax-nul 4709  ax-pow 4761  ax-pr 4825  ax-un 6821  ax-cnex 9845  ax-resscn 9846  ax-1cn 9847  ax-icn 9848  ax-addcl 9849  ax-addrcl 9850  ax-mulcl 9851  ax-mulrcl 9852  ax-mulcom 9853  ax-addass 9854  ax-mulass 9855  ax-distr 9856  ax-i2m1 9857  ax-1ne0 9858  ax-1rid 9859  ax-rnegex 9860  ax-rrecex 9861  ax-cnre 9862  ax-pre-lttri 9863  ax-pre-lttrn 9864  ax-pre-ltadd 9865  ax-pre-mulgt0 9866  ax-pre-sup 9867
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2458  df-mo 2459  df-clab 2593  df-cleq 2599  df-clel 2602  df-nfc 2736  df-ne 2778  df-nel 2779  df-ral 2897  df-rex 2898  df-reu 2899  df-rmo 2900  df-rab 2901  df-v 3171  df-sbc 3399  df-csb 3496  df-dif 3539  df-un 3541  df-in 3543  df-ss 3550  df-pss 3552  df-nul 3871  df-if 4033  df-pw 4106  df-sn 4122  df-pr 4124  df-tp 4126  df-op 4128  df-uni 4364  df-iun 4448  df-br 4575  df-opab 4635  df-mpt 4636  df-tr 4672  df-eprel 4936  df-id 4940  df-po 4946  df-so 4947  df-fr 4984  df-we 4986  df-xp 5031  df-rel 5032  df-cnv 5033  df-co 5034  df-dm 5035  df-rn 5036  df-res 5037  df-ima 5038  df-pred 5580  df-ord 5626  df-on 5627  df-lim 5628  df-suc 5629  df-iota 5751  df-fun 5789  df-fn 5790  df-f 5791  df-f1 5792  df-fo 5793  df-f1o 5794  df-fv 5795  df-riota 6486  df-ov 6527  df-oprab 6528  df-mpt2 6529  df-om 6932  df-2nd 7034  df-wrecs 7268  df-recs 7329  df-rdg 7367  df-er 7603  df-en 7816  df-dom 7817  df-sdom 7818  df-sup 8205  df-pnf 9929  df-mnf 9930  df-xr 9931  df-ltxr 9932  df-le 9933  df-sub 10116  df-neg 10117  df-div 10531  df-nn 10865  df-2 10923  df-3 10924  df-n0 11137  df-z 11208  df-uz 11517  df-rp 11662  df-ioc 12004  df-seq 12616  df-exp 12675  df-cj 13630  df-re 13631  df-im 13632  df-sqrt 13766  df-abs 13767
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