HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  atcvat2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem atcvat2 28435
Description: A Hilbert lattice element covered by the join of two distinct atoms is an atom. (Contributed by NM, 29-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
atcvat2 ((𝐴C𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → ((¬ 𝐵 = 𝐶𝐴 (𝐵 𝐶)) → 𝐴 ∈ HAtoms))

Proof of Theorem atcvat2
StepHypRef Expression
1 breq1 4577 . . . . . 6 (𝐴 = if(𝐴C , 𝐴, 0) → (𝐴 (𝐵 𝐶) ↔ if(𝐴C , 𝐴, 0) ⋖ (𝐵 𝐶)))
21anbi2d 735 . . . . 5 (𝐴 = if(𝐴C , 𝐴, 0) → ((¬ 𝐵 = 𝐶𝐴 (𝐵 𝐶)) ↔ (¬ 𝐵 = 𝐶 ∧ if(𝐴C , 𝐴, 0) ⋖ (𝐵 𝐶))))
3 eleq1 2672 . . . . 5 (𝐴 = if(𝐴C , 𝐴, 0) → (𝐴 ∈ HAtoms ↔ if(𝐴C , 𝐴, 0) ∈ HAtoms))
42, 3imbi12d 332 . . . 4 (𝐴 = if(𝐴C , 𝐴, 0) → (((¬ 𝐵 = 𝐶𝐴 (𝐵 𝐶)) → 𝐴 ∈ HAtoms) ↔ ((¬ 𝐵 = 𝐶 ∧ if(𝐴C , 𝐴, 0) ⋖ (𝐵 𝐶)) → if(𝐴C , 𝐴, 0) ∈ HAtoms)))
54imbi2d 328 . . 3 (𝐴 = if(𝐴C , 𝐴, 0) → (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → ((¬ 𝐵 = 𝐶𝐴 (𝐵 𝐶)) → 𝐴 ∈ HAtoms)) ↔ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → ((¬ 𝐵 = 𝐶 ∧ if(𝐴C , 𝐴, 0) ⋖ (𝐵 𝐶)) → if(𝐴C , 𝐴, 0) ∈ HAtoms))))
6 h0elch 27299 . . . . 5 0C
76elimel 4096 . . . 4 if(𝐴C , 𝐴, 0) ∈ C
87atcvat2i 28433 . . 3 ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → ((¬ 𝐵 = 𝐶 ∧ if(𝐴C , 𝐴, 0) ⋖ (𝐵 𝐶)) → if(𝐴C , 𝐴, 0) ∈ HAtoms))
95, 8dedth 4085 . 2 (𝐴C → ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → ((¬ 𝐵 = 𝐶𝐴 (𝐵 𝐶)) → 𝐴 ∈ HAtoms)))
1093impib 1253 1 ((𝐴C𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → ((¬ 𝐵 = 𝐶𝐴 (𝐵 𝐶)) → 𝐴 ∈ HAtoms))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1976  ifcif 4032   class class class wbr 4574  (class class class)co 6524   C cch 26973   chj 26977  0c0h 26979   ccv 27008  HAtomscat 27009
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2229  ax-ext 2586  ax-rep 4690  ax-sep 4700  ax-nul 4709  ax-pow 4761  ax-pr 4825  ax-un 6821  ax-inf2 8395  ax-cc 9114  ax-cnex 9845  ax-resscn 9846  ax-1cn 9847  ax-icn 9848  ax-addcl 9849  ax-addrcl 9850  ax-mulcl 9851  ax-mulrcl 9852  ax-mulcom 9853  ax-addass 9854  ax-mulass 9855  ax-distr 9856  ax-i2m1 9857  ax-1ne0 9858  ax-1rid 9859  ax-rnegex 9860  ax-rrecex 9861  ax-cnre 9862  ax-pre-lttri 9863  ax-pre-lttrn 9864  ax-pre-ltadd 9865  ax-pre-mulgt0 9866  ax-pre-sup 9867  ax-addf 9868  ax-mulf 9869  ax-hilex 27043  ax-hfvadd 27044  ax-hvcom 27045  ax-hvass 27046  ax-hv0cl 27047  ax-hvaddid 27048  ax-hfvmul 27049  ax-hvmulid 27050  ax-hvmulass 27051  ax-hvdistr1 27052  ax-hvdistr2 27053  ax-hvmul0 27054  ax-hfi 27123  ax-his1 27126  ax-his2 27127  ax-his3 27128  ax-his4 27129  ax-hcompl 27246
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2458  df-mo 2459  df-clab 2593  df-cleq 2599  df-clel 2602  df-nfc 2736  df-ne 2778  df-nel 2779  df-ral 2897  df-rex 2898  df-reu 2899  df-rmo 2900  df-rab 2901  df-v 3171  df-sbc 3399  df-csb 3496  df-dif 3539  df-un 3541  df-in 3543  df-ss 3550  df-pss 3552  df-nul 3871  df-if 4033  df-pw 4106  df-sn 4122  df-pr 4124  df-tp 4126  df-op 4128  df-uni 4364  df-int 4402  df-iun 4448  df-iin 4449  df-br 4575  df-opab 4635  df-mpt 4636  df-tr 4672  df-eprel 4936  df-id 4940  df-po 4946  df-so 4947  df-fr 4984  df-se 4985  df-we 4986  df-xp 5031  df-rel 5032  df-cnv 5033  df-co 5034  df-dm 5035  df-rn 5036  df-res 5037  df-ima 5038  df-pred 5580  df-ord 5626  df-on 5627  df-lim 5628  df-suc 5629  df-iota 5751  df-fun 5789  df-fn 5790  df-f 5791  df-f1 5792  df-fo 5793  df-f1o 5794  df-fv 5795  df-isom 5796  df-riota 6486  df-ov 6527  df-oprab 6528  df-mpt2 6529  df-of 6769  df-om 6932  df-1st 7033  df-2nd 7034  df-supp 7157  df-wrecs 7268  df-recs 7329  df-rdg 7367  df-1o 7421  df-2o 7422  df-oadd 7425  df-omul 7426  df-er 7603  df-map 7720  df-pm 7721  df-ixp 7769  df-en 7816  df-dom 7817  df-sdom 7818  df-fin 7819  df-fsupp 8133  df-fi 8174  df-sup 8205  df-inf 8206  df-oi 8272  df-card 8622  df-acn 8625  df-cda 8847  df-pnf 9929  df-mnf 9930  df-xr 9931  df-ltxr 9932  df-le 9933  df-sub 10116  df-neg 10117  df-div 10531  df-nn 10865  df-2 10923  df-3 10924  df-4 10925  df-5 10926  df-6 10927  df-7 10928  df-8 10929  df-9 10930  df-n0 11137  df-z 11208  df-dec 11323  df-uz 11517  df-q 11618  df-rp 11662  df-xneg 11775  df-xadd 11776  df-xmul 11777  df-ioo 12003  df-ico 12005  df-icc 12006  df-fz 12150  df-fzo 12287  df-fl 12407  df-seq 12616  df-exp 12675  df-hash 12932  df-cj 13630  df-re 13631  df-im 13632  df-sqrt 13766  df-abs 13767  df-clim 14010  df-rlim 14011  df-sum 14208  df-struct 15640  df-ndx 15641  df-slot 15642  df-base 15643  df-sets 15644  df-ress 15645  df-plusg 15724  df-mulr 15725  df-starv 15726  df-sca 15727  df-vsca 15728  df-ip 15729  df-tset 15730  df-ple 15731  df-ds 15734  df-unif 15735  df-hom 15736  df-cco 15737  df-rest 15849  df-topn 15850  df-0g 15868  df-gsum 15869  df-topgen 15870  df-pt 15871  df-prds 15874  df-xrs 15928  df-qtop 15933  df-imas 15934  df-xps 15936  df-mre 16012  df-mrc 16013  df-acs 16015  df-mgm 17008  df-sgrp 17050  df-mnd 17061  df-submnd 17102  df-mulg 17307  df-cntz 17516  df-cmn 17961  df-psmet 19502  df-xmet 19503  df-met 19504  df-bl 19505  df-mopn 19506  df-fbas 19507  df-fg 19508  df-cnfld 19511  df-top 20460  df-bases 20461  df-topon 20462  df-topsp 20463  df-cld 20572  df-ntr 20573  df-cls 20574  df-nei 20651  df-cn 20780  df-cnp 20781  df-lm 20782  df-haus 20868  df-tx 21114  df-hmeo 21307  df-fil 21399  df-fm 21491  df-flim 21492  df-flf 21493  df-xms 21873  df-ms 21874  df-tms 21875  df-cfil 22776  df-cau 22777  df-cmet 22778  df-grpo 26494  df-gid 26495  df-ginv 26496  df-gdiv 26497  df-ablo 26549  df-vc 26564  df-nv 26612  df-va 26615  df-ba 26616  df-sm 26617  df-0v 26618  df-vs 26619  df-nmcv 26620  df-ims 26621  df-dip 26738  df-ssp 26762  df-ph 26855  df-cbn 26906  df-hnorm 27012  df-hba 27013  df-hvsub 27015  df-hlim 27016  df-hcau 27017  df-sh 27251  df-ch 27265  df-oc 27296  df-ch0 27297  df-shs 27354  df-span 27355  df-chj 27356  df-chsup 27357  df-pjh 27441  df-cv 28325  df-at 28384
This theorem is referenced by:  atcvat3i  28442
  Copyright terms: Public domain W3C validator