HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  atcvat3i Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem atcvat3i 29585
Description: A condition implying that a certain lattice element is an atom. Part of Lemma 3.2.20 of [PtakPulmannova] p. 68. (Contributed by NM, 2-Jul-2004.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
atcvat3.1 𝐴C
Assertion
Ref Expression
atcvat3i ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → (((¬ 𝐵 = 𝐶 ∧ ¬ 𝐶𝐴) ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 𝐶)) → (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶)) ∈ HAtoms))

Proof of Theorem atcvat3i
StepHypRef Expression
1 atcvat3.1 . . . . . . . . . . 11 𝐴C
2 chcv1 29544 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴C𝐶 ∈ HAtoms) → (¬ 𝐶𝐴𝐴 (𝐴 𝐶)))
31, 2mpan 708 . . . . . . . . . 10 (𝐶 ∈ HAtoms → (¬ 𝐶𝐴𝐴 (𝐴 𝐶)))
43biimpa 502 . . . . . . . . 9 ((𝐶 ∈ HAtoms ∧ ¬ 𝐶𝐴) → 𝐴 (𝐴 𝐶))
54ad2ant2lr 801 . . . . . . . 8 (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ (¬ 𝐶𝐴𝐵 ⊆ (𝐴 𝐶))) → 𝐴 (𝐴 𝐶))
6 atelch 29533 . . . . . . . . . . . 12 (𝐵 ∈ HAtoms → 𝐵C )
7 atelch 29533 . . . . . . . . . . . 12 (𝐶 ∈ HAtoms → 𝐶C )
86, 7anim12i 591 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → (𝐵C𝐶C ))
9 chjcom 28695 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐵C𝐶C ) → (𝐵 𝐶) = (𝐶 𝐵))
109oveq2d 6830 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐵C𝐶C ) → (𝐴 (𝐵 𝐶)) = (𝐴 (𝐶 𝐵)))
11 chjass 28722 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴C𝐶C𝐵C ) → ((𝐴 𝐶) ∨ 𝐵) = (𝐴 (𝐶 𝐵)))
121, 11mp3an1 1560 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐶C𝐵C ) → ((𝐴 𝐶) ∨ 𝐵) = (𝐴 (𝐶 𝐵)))
1312ancoms 468 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐵C𝐶C ) → ((𝐴 𝐶) ∨ 𝐵) = (𝐴 (𝐶 𝐵)))
1410, 13eqtr4d 2797 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐵C𝐶C ) → (𝐴 (𝐵 𝐶)) = ((𝐴 𝐶) ∨ 𝐵))
1514adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐵C𝐶C ) ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 𝐶)) → (𝐴 (𝐵 𝐶)) = ((𝐴 𝐶) ∨ 𝐵))
16 simpl 474 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐵C𝐶C ) → 𝐵C )
17 chjcl 28546 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴C𝐶C ) → (𝐴 𝐶) ∈ C )
181, 17mpan 708 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐶C → (𝐴 𝐶) ∈ C )
1918adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐵C𝐶C ) → (𝐴 𝐶) ∈ C )
20 chlej2 28700 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐵C ∧ (𝐴 𝐶) ∈ C ∧ (𝐴 𝐶) ∈ C ) ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 𝐶)) → ((𝐴 𝐶) ∨ 𝐵) ⊆ ((𝐴 𝐶) ∨ (𝐴 𝐶)))
2120ex 449 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐵C ∧ (𝐴 𝐶) ∈ C ∧ (𝐴 𝐶) ∈ C ) → (𝐵 ⊆ (𝐴 𝐶) → ((𝐴 𝐶) ∨ 𝐵) ⊆ ((𝐴 𝐶) ∨ (𝐴 𝐶))))
2216, 19, 19, 21syl3anc 1477 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐵C𝐶C ) → (𝐵 ⊆ (𝐴 𝐶) → ((𝐴 𝐶) ∨ 𝐵) ⊆ ((𝐴 𝐶) ∨ (𝐴 𝐶))))
2322imp 444 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐵C𝐶C ) ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 𝐶)) → ((𝐴 𝐶) ∨ 𝐵) ⊆ ((𝐴 𝐶) ∨ (𝐴 𝐶)))
2415, 23eqsstrd 3780 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐵C𝐶C ) ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 𝐶)) → (𝐴 (𝐵 𝐶)) ⊆ ((𝐴 𝐶) ∨ (𝐴 𝐶)))
25 chjidm 28709 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 𝐶) ∈ C → ((𝐴 𝐶) ∨ (𝐴 𝐶)) = (𝐴 𝐶))
2618, 25syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐶C → ((𝐴 𝐶) ∨ (𝐴 𝐶)) = (𝐴 𝐶))
2726ad2antlr 765 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐵C𝐶C ) ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 𝐶)) → ((𝐴 𝐶) ∨ (𝐴 𝐶)) = (𝐴 𝐶))
2824, 27sseqtrd 3782 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐵C𝐶C ) ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 𝐶)) → (𝐴 (𝐵 𝐶)) ⊆ (𝐴 𝐶))
29 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐵C𝐶C ) → 𝐶C )
30 chjcl 28546 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐵C𝐶C ) → (𝐵 𝐶) ∈ C )
31 chub2 28697 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐶C𝐵C ) → 𝐶 ⊆ (𝐵 𝐶))
3231ancoms 468 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐵C𝐶C ) → 𝐶 ⊆ (𝐵 𝐶))
33 chlej2 28700 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐶C ∧ (𝐵 𝐶) ∈ C𝐴C ) ∧ 𝐶 ⊆ (𝐵 𝐶)) → (𝐴 𝐶) ⊆ (𝐴 (𝐵 𝐶)))
341, 33mp3anl3 1569 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐶C ∧ (𝐵 𝐶) ∈ C ) ∧ 𝐶 ⊆ (𝐵 𝐶)) → (𝐴 𝐶) ⊆ (𝐴 (𝐵 𝐶)))
3529, 30, 32, 34syl21anc 1476 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐵C𝐶C ) → (𝐴 𝐶) ⊆ (𝐴 (𝐵 𝐶)))
3635adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐵C𝐶C ) ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 𝐶)) → (𝐴 𝐶) ⊆ (𝐴 (𝐵 𝐶)))
3728, 36eqssd 3761 . . . . . . . . . . 11 (((𝐵C𝐶C ) ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 𝐶)) → (𝐴 (𝐵 𝐶)) = (𝐴 𝐶))
388, 37sylan 489 . . . . . . . . . 10 (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 𝐶)) → (𝐴 (𝐵 𝐶)) = (𝐴 𝐶))
3938breq2d 4816 . . . . . . . . 9 (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 𝐶)) → (𝐴 (𝐴 (𝐵 𝐶)) ↔ 𝐴 (𝐴 𝐶)))
4039adantrl 754 . . . . . . . 8 (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ (¬ 𝐶𝐴𝐵 ⊆ (𝐴 𝐶))) → (𝐴 (𝐴 (𝐵 𝐶)) ↔ 𝐴 (𝐴 𝐶)))
415, 40mpbird 247 . . . . . . 7 (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ (¬ 𝐶𝐴𝐵 ⊆ (𝐴 𝐶))) → 𝐴 (𝐴 (𝐵 𝐶)))
4241ex 449 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → ((¬ 𝐶𝐴𝐵 ⊆ (𝐴 𝐶)) → 𝐴 (𝐴 (𝐵 𝐶))))
4330, 1jctil 561 . . . . . . . 8 ((𝐵C𝐶C ) → (𝐴C ∧ (𝐵 𝐶) ∈ C ))
446, 7, 43syl2an 495 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → (𝐴C ∧ (𝐵 𝐶) ∈ C ))
45 cvexch 29563 . . . . . . 7 ((𝐴C ∧ (𝐵 𝐶) ∈ C ) → ((𝐴 ∩ (𝐵 𝐶)) ⋖ (𝐵 𝐶) ↔ 𝐴 (𝐴 (𝐵 𝐶))))
4644, 45syl 17 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → ((𝐴 ∩ (𝐵 𝐶)) ⋖ (𝐵 𝐶) ↔ 𝐴 (𝐴 (𝐵 𝐶))))
4742, 46sylibrd 249 . . . . 5 ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → ((¬ 𝐶𝐴𝐵 ⊆ (𝐴 𝐶)) → (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶)) ⋖ (𝐵 𝐶)))
4847adantr 472 . . . 4 (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ ¬ 𝐵 = 𝐶) → ((¬ 𝐶𝐴𝐵 ⊆ (𝐴 𝐶)) → (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶)) ⋖ (𝐵 𝐶)))
49 chincl 28688 . . . . . . . 8 ((𝐴C ∧ (𝐵 𝐶) ∈ C ) → (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶)) ∈ C )
501, 30, 49sylancr 698 . . . . . . 7 ((𝐵C𝐶C ) → (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶)) ∈ C )
516, 7, 50syl2an 495 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶)) ∈ C )
52 simpl 474 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → 𝐵 ∈ HAtoms)
53 simpr 479 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → 𝐶 ∈ HAtoms)
54 atcvat2 29578 . . . . . 6 (((𝐴 ∩ (𝐵 𝐶)) ∈ C𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → ((¬ 𝐵 = 𝐶 ∧ (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶)) ⋖ (𝐵 𝐶)) → (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶)) ∈ HAtoms))
5551, 52, 53, 54syl3anc 1477 . . . . 5 ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → ((¬ 𝐵 = 𝐶 ∧ (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶)) ⋖ (𝐵 𝐶)) → (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶)) ∈ HAtoms))
5655expdimp 452 . . . 4 (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ ¬ 𝐵 = 𝐶) → ((𝐴 ∩ (𝐵 𝐶)) ⋖ (𝐵 𝐶) → (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶)) ∈ HAtoms))
5748, 56syld 47 . . 3 (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ ¬ 𝐵 = 𝐶) → ((¬ 𝐶𝐴𝐵 ⊆ (𝐴 𝐶)) → (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶)) ∈ HAtoms))
5857exp4b 633 . 2 ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → (¬ 𝐵 = 𝐶 → (¬ 𝐶𝐴 → (𝐵 ⊆ (𝐴 𝐶) → (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶)) ∈ HAtoms))))
5958imp4c 618 1 ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → (((¬ 𝐵 = 𝐶 ∧ ¬ 𝐶𝐴) ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 𝐶)) → (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶)) ∈ HAtoms))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139  cin 3714  wss 3715   class class class wbr 4804  (class class class)co 6814   C cch 28116   chj 28120   ccv 28151  HAtomscat 28152
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-inf2 8713  ax-cc 9469  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225  ax-pre-sup 10226  ax-addf 10227  ax-mulf 10228  ax-hilex 28186  ax-hfvadd 28187  ax-hvcom 28188  ax-hvass 28189  ax-hv0cl 28190  ax-hvaddid 28191  ax-hfvmul 28192  ax-hvmulid 28193  ax-hvmulass 28194  ax-hvdistr1 28195  ax-hvdistr2 28196  ax-hvmul0 28197  ax-hfi 28266  ax-his1 28269  ax-his2 28270  ax-his3 28271  ax-his4 28272  ax-hcompl 28389
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-iin 4675  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-of 7063  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-supp 7465  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-1o 7730  df-2o 7731  df-oadd 7734  df-omul 7735  df-er 7913  df-map 8027  df-pm 8028  df-ixp 8077  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-fin 8127  df-fsupp 8443  df-fi 8484  df-sup 8515  df-inf 8516  df-oi 8582  df-card 8975  df-acn 8978  df-cda 9202  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-div 10897  df-nn 11233  df-2 11291  df-3 11292  df-4 11293  df-5 11294  df-6 11295  df-7 11296  df-8 11297  df-9 11298  df-n0 11505  df-z 11590  df-dec 11706  df-uz 11900  df-q 12002  df-rp 12046  df-xneg 12159  df-xadd 12160  df-xmul 12161  df-ioo 12392  df-ico 12394  df-icc 12395  df-fz 12540  df-fzo 12680  df-fl 12807  df-seq 13016  df-exp 13075  df-hash 13332  df-cj 14058  df-re 14059  df-im 14060  df-sqrt 14194  df-abs 14195  df-clim 14438  df-rlim 14439  df-sum 14636  df-struct 16081  df-ndx 16082  df-slot 16083  df-base 16085  df-sets 16086  df-ress 16087  df-plusg 16176  df-mulr 16177  df-starv 16178  df-sca 16179  df-vsca 16180  df-ip 16181  df-tset 16182  df-ple 16183  df-ds 16186  df-unif 16187  df-hom 16188  df-cco 16189  df-rest 16305  df-topn 16306  df-0g 16324  df-gsum 16325  df-topgen 16326  df-pt 16327  df-prds 16330  df-xrs 16384  df-qtop 16389  df-imas 16390  df-xps 16392  df-mre 16468  df-mrc 16469  df-acs 16471  df-mgm 17463  df-sgrp 17505  df-mnd 17516  df-submnd 17557  df-mulg 17762  df-cntz 17970  df-cmn 18415  df-psmet 19960  df-xmet 19961  df-met 19962  df-bl 19963  df-mopn 19964  df-fbas 19965  df-fg 19966  df-cnfld 19969  df-top 20921  df-topon 20938  df-topsp 20959  df-bases 20972  df-cld 21045  df-ntr 21046  df-cls 21047  df-nei 21124  df-cn 21253  df-cnp 21254  df-lm 21255  df-haus 21341  df-tx 21587  df-hmeo 21780  df-fil 21871  df-fm 21963  df-flim 21964  df-flf 21965  df-xms 22346  df-ms 22347  df-tms 22348  df-cfil 23273  df-cau 23274  df-cmet 23275  df-grpo 27677  df-gid 27678  df-ginv 27679  df-gdiv 27680  df-ablo 27729  df-vc 27744  df-nv 27777  df-va 27780  df-ba 27781  df-sm 27782  df-0v 27783  df-vs 27784  df-nmcv 27785  df-ims 27786  df-dip 27886  df-ssp 27907  df-ph 27998  df-cbn 28049  df-hnorm 28155  df-hba 28156  df-hvsub 28158  df-hlim 28159  df-hcau 28160  df-sh 28394  df-ch 28408  df-oc 28439  df-ch0 28440  df-shs 28497  df-span 28498  df-chj 28499  df-chsup 28500  df-pjh 28584  df-cv 29468  df-at 29527
This theorem is referenced by:  atcvat4i  29586
  Copyright terms: Public domain W3C validator