HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  atcvat4i Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem atcvat4i 28474
Description: A condition implying existence of an atom with the properties shown. Lemma 3.2.20 of [PtakPulmannova] p. 68. (Contributed by NM, 2-Jul-2004.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
atcvat3.1 𝐴C
Assertion
Ref Expression
atcvat4i ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → ((𝐴 ≠ 0𝐵 ⊆ (𝐴 𝐶)) → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥𝐴𝐵 ⊆ (𝐶 𝑥))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶

Proof of Theorem atcvat4i
StepHypRef Expression
1 atcvat3.1 . . . . . . . . 9 𝐴C
21hatomici 28436 . . . . . . . 8 (𝐴 ≠ 0 → ∃𝑥 ∈ HAtoms 𝑥𝐴)
3 atelch 28421 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐶 ∈ HAtoms → 𝐶C )
4 atelch 28421 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ HAtoms → 𝑥C )
5 chub1 27584 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐶C𝑥C ) → 𝐶 ⊆ (𝐶 𝑥))
63, 4, 5syl2an 492 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐶 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) → 𝐶 ⊆ (𝐶 𝑥))
7 sseq1 3588 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐵 = 𝐶 → (𝐵 ⊆ (𝐶 𝑥) ↔ 𝐶 ⊆ (𝐶 𝑥)))
86, 7syl5ibr 234 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐵 = 𝐶 → ((𝐶 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) → 𝐵 ⊆ (𝐶 𝑥)))
98expd 450 . . . . . . . . . . . 12 (𝐵 = 𝐶 → (𝐶 ∈ HAtoms → (𝑥 ∈ HAtoms → 𝐵 ⊆ (𝐶 𝑥))))
109impcom 444 . . . . . . . . . . 11 ((𝐶 ∈ HAtoms ∧ 𝐵 = 𝐶) → (𝑥 ∈ HAtoms → 𝐵 ⊆ (𝐶 𝑥)))
1110anim2d 586 . . . . . . . . . 10 ((𝐶 ∈ HAtoms ∧ 𝐵 = 𝐶) → ((𝑥𝐴𝑥 ∈ HAtoms) → (𝑥𝐴𝐵 ⊆ (𝐶 𝑥))))
1211expcomd 452 . . . . . . . . 9 ((𝐶 ∈ HAtoms ∧ 𝐵 = 𝐶) → (𝑥 ∈ HAtoms → (𝑥𝐴 → (𝑥𝐴𝐵 ⊆ (𝐶 𝑥)))))
1312reximdvai 2997 . . . . . . . 8 ((𝐶 ∈ HAtoms ∧ 𝐵 = 𝐶) → (∃𝑥 ∈ HAtoms 𝑥𝐴 → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥𝐴𝐵 ⊆ (𝐶 𝑥))))
142, 13syl5 33 . . . . . . 7 ((𝐶 ∈ HAtoms ∧ 𝐵 = 𝐶) → (𝐴 ≠ 0 → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥𝐴𝐵 ⊆ (𝐶 𝑥))))
1514ex 448 . . . . . 6 (𝐶 ∈ HAtoms → (𝐵 = 𝐶 → (𝐴 ≠ 0 → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥𝐴𝐵 ⊆ (𝐶 𝑥)))))
1615a1i 11 . . . . 5 (𝐵 ⊆ (𝐴 𝐶) → (𝐶 ∈ HAtoms → (𝐵 = 𝐶 → (𝐴 ≠ 0 → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥𝐴𝐵 ⊆ (𝐶 𝑥))))))
1716com4l 89 . . . 4 (𝐶 ∈ HAtoms → (𝐵 = 𝐶 → (𝐴 ≠ 0 → (𝐵 ⊆ (𝐴 𝐶) → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥𝐴𝐵 ⊆ (𝐶 𝑥))))))
1817imp4a 611 . . 3 (𝐶 ∈ HAtoms → (𝐵 = 𝐶 → ((𝐴 ≠ 0𝐵 ⊆ (𝐴 𝐶)) → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥𝐴𝐵 ⊆ (𝐶 𝑥)))))
1918adantl 480 . 2 ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → (𝐵 = 𝐶 → ((𝐴 ≠ 0𝐵 ⊆ (𝐴 𝐶)) → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥𝐴𝐵 ⊆ (𝐶 𝑥)))))
20 atelch 28421 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ HAtoms → 𝐵C )
21 chlejb2 27590 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐶C𝐴C ) → (𝐶𝐴 ↔ (𝐴 𝐶) = 𝐴))
221, 21mpan2 702 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐶C → (𝐶𝐴 ↔ (𝐴 𝐶) = 𝐴))
2322biimpa 499 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐶C𝐶𝐴) → (𝐴 𝐶) = 𝐴)
2423sseq2d 3595 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐶C𝐶𝐴) → (𝐵 ⊆ (𝐴 𝐶) ↔ 𝐵𝐴))
2524biimpa 499 . . . . . . . . . . 11 (((𝐶C𝐶𝐴) ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 𝐶)) → 𝐵𝐴)
2625expl 645 . . . . . . . . . 10 (𝐶C → ((𝐶𝐴𝐵 ⊆ (𝐴 𝐶)) → 𝐵𝐴))
2726adantl 480 . . . . . . . . 9 ((𝐵C𝐶C ) → ((𝐶𝐴𝐵 ⊆ (𝐴 𝐶)) → 𝐵𝐴))
28 chub2 27585 . . . . . . . . 9 ((𝐵C𝐶C ) → 𝐵 ⊆ (𝐶 𝐵))
2927, 28jctird 564 . . . . . . . 8 ((𝐵C𝐶C ) → ((𝐶𝐴𝐵 ⊆ (𝐴 𝐶)) → (𝐵𝐴𝐵 ⊆ (𝐶 𝐵))))
3020, 3, 29syl2an 492 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → ((𝐶𝐴𝐵 ⊆ (𝐴 𝐶)) → (𝐵𝐴𝐵 ⊆ (𝐶 𝐵))))
31 simpl 471 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → 𝐵 ∈ HAtoms)
3230, 31jctild 563 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → ((𝐶𝐴𝐵 ⊆ (𝐴 𝐶)) → (𝐵 ∈ HAtoms ∧ (𝐵𝐴𝐵 ⊆ (𝐶 𝐵)))))
3332impl 647 . . . . 5 ((((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ 𝐶𝐴) ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 𝐶)) → (𝐵 ∈ HAtoms ∧ (𝐵𝐴𝐵 ⊆ (𝐶 𝐵))))
34 sseq1 3588 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐵 → (𝑥𝐴𝐵𝐴))
35 oveq2 6535 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝐵 → (𝐶 𝑥) = (𝐶 𝐵))
3635sseq2d 3595 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐵 → (𝐵 ⊆ (𝐶 𝑥) ↔ 𝐵 ⊆ (𝐶 𝐵)))
3734, 36anbi12d 742 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐵 → ((𝑥𝐴𝐵 ⊆ (𝐶 𝑥)) ↔ (𝐵𝐴𝐵 ⊆ (𝐶 𝐵))))
3837rspcev 3281 . . . . 5 ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ (𝐵𝐴𝐵 ⊆ (𝐶 𝐵))) → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥𝐴𝐵 ⊆ (𝐶 𝑥)))
3933, 38syl 17 . . . 4 ((((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ 𝐶𝐴) ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 𝐶)) → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥𝐴𝐵 ⊆ (𝐶 𝑥)))
4039adantrl 747 . . 3 ((((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ 𝐶𝐴) ∧ (𝐴 ≠ 0𝐵 ⊆ (𝐴 𝐶))) → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥𝐴𝐵 ⊆ (𝐶 𝑥)))
4140exp31 627 . 2 ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → (𝐶𝐴 → ((𝐴 ≠ 0𝐵 ⊆ (𝐴 𝐶)) → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥𝐴𝐵 ⊆ (𝐶 𝑥)))))
42 simpr 475 . . 3 ((𝐴 ≠ 0𝐵 ⊆ (𝐴 𝐶)) → 𝐵 ⊆ (𝐴 𝐶))
43 ioran 509 . . . 4 (¬ (𝐵 = 𝐶𝐶𝐴) ↔ (¬ 𝐵 = 𝐶 ∧ ¬ 𝐶𝐴))
441atcvat3i 28473 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → (((¬ 𝐵 = 𝐶 ∧ ¬ 𝐶𝐴) ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 𝐶)) → (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶)) ∈ HAtoms))
453ad2antlr 758 . . . . . . . . . . 11 (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ ((¬ 𝐵 = 𝐶 ∧ ¬ 𝐶𝐴) ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 𝐶))) → 𝐶C )
4644imp 443 . . . . . . . . . . 11 (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ ((¬ 𝐵 = 𝐶 ∧ ¬ 𝐶𝐴) ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 𝐶))) → (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶)) ∈ HAtoms)
47 simpll 785 . . . . . . . . . . 11 (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ ((¬ 𝐵 = 𝐶 ∧ ¬ 𝐶𝐴) ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 𝐶))) → 𝐵 ∈ HAtoms)
4845, 46, 473jca 1234 . . . . . . . . . 10 (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ ((¬ 𝐵 = 𝐶 ∧ ¬ 𝐶𝐴) ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 𝐶))) → (𝐶C ∧ (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶)) ∈ HAtoms ∧ 𝐵 ∈ HAtoms))
49 inss2 3795 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶)) ⊆ (𝐵 𝐶)
50 chjcom 27583 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐵C𝐶C ) → (𝐵 𝐶) = (𝐶 𝐵))
5120, 3, 50syl2an 492 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → (𝐵 𝐶) = (𝐶 𝐵))
5249, 51syl5sseq 3615 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶)) ⊆ (𝐶 𝐵))
5352adantr 479 . . . . . . . . . . 11 (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ ((¬ 𝐵 = 𝐶 ∧ ¬ 𝐶𝐴) ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 𝐶))) → (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶)) ⊆ (𝐶 𝐵))
54 atnssm0 28453 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴C𝐶 ∈ HAtoms) → (¬ 𝐶𝐴 ↔ (𝐴𝐶) = 0))
551, 54mpan 701 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐶 ∈ HAtoms → (¬ 𝐶𝐴 ↔ (𝐴𝐶) = 0))
5655adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → (¬ 𝐶𝐴 ↔ (𝐴𝐶) = 0))
57 inss1 3794 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶)) ⊆ 𝐴
58 sslin 3800 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐴 ∩ (𝐵 𝐶)) ⊆ 𝐴 → (𝐶 ∩ (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶))) ⊆ (𝐶𝐴))
5957, 58ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐶 ∩ (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶))) ⊆ (𝐶𝐴)
60 incom 3766 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐶𝐴) = (𝐴𝐶)
6159, 60sseqtri 3599 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐶 ∩ (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶))) ⊆ (𝐴𝐶)
62 sseq2 3589 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴𝐶) = 0 → ((𝐶 ∩ (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶))) ⊆ (𝐴𝐶) ↔ (𝐶 ∩ (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶))) ⊆ 0))
6361, 62mpbii 221 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴𝐶) = 0 → (𝐶 ∩ (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶))) ⊆ 0)
64 simpr 475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐵C𝐶C ) → 𝐶C )
65 chjcl 27434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐵C𝐶C ) → (𝐵 𝐶) ∈ C )
66 chincl 27576 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐴C ∧ (𝐵 𝐶) ∈ C ) → (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶)) ∈ C )
671, 65, 66sylancr 693 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐵C𝐶C ) → (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶)) ∈ C )
68 chincl 27576 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐶C ∧ (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶)) ∈ C ) → (𝐶 ∩ (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶))) ∈ C )
6964, 67, 68syl2anc 690 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐵C𝐶C ) → (𝐶 ∩ (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶))) ∈ C )
7020, 3, 69syl2an 492 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → (𝐶 ∩ (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶))) ∈ C )
71 chle0 27520 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐶 ∩ (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶))) ∈ C → ((𝐶 ∩ (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶))) ⊆ 0 ↔ (𝐶 ∩ (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶))) = 0))
7270, 71syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → ((𝐶 ∩ (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶))) ⊆ 0 ↔ (𝐶 ∩ (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶))) = 0))
7363, 72syl5ib 232 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → ((𝐴𝐶) = 0 → (𝐶 ∩ (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶))) = 0))
7456, 73sylbid 228 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → (¬ 𝐶𝐴 → (𝐶 ∩ (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶))) = 0))
7574imp 443 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ ¬ 𝐶𝐴) → (𝐶 ∩ (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶))) = 0)
7675adantrl 747 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ (¬ 𝐵 = 𝐶 ∧ ¬ 𝐶𝐴)) → (𝐶 ∩ (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶))) = 0)
7776adantrr 748 . . . . . . . . . . 11 (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ ((¬ 𝐵 = 𝐶 ∧ ¬ 𝐶𝐴) ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 𝐶))) → (𝐶 ∩ (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶))) = 0)
7853, 77jca 552 . . . . . . . . . 10 (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ ((¬ 𝐵 = 𝐶 ∧ ¬ 𝐶𝐴) ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 𝐶))) → ((𝐴 ∩ (𝐵 𝐶)) ⊆ (𝐶 𝐵) ∧ (𝐶 ∩ (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶))) = 0))
79 atexch 28458 . . . . . . . . . 10 ((𝐶C ∧ (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶)) ∈ HAtoms ∧ 𝐵 ∈ HAtoms) → (((𝐴 ∩ (𝐵 𝐶)) ⊆ (𝐶 𝐵) ∧ (𝐶 ∩ (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶))) = 0) → 𝐵 ⊆ (𝐶 (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶)))))
8048, 78, 79sylc 62 . . . . . . . . 9 (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ ((¬ 𝐵 = 𝐶 ∧ ¬ 𝐶𝐴) ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 𝐶))) → 𝐵 ⊆ (𝐶 (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶))))
8180, 57jctil 557 . . . . . . . 8 (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ ((¬ 𝐵 = 𝐶 ∧ ¬ 𝐶𝐴) ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 𝐶))) → ((𝐴 ∩ (𝐵 𝐶)) ⊆ 𝐴𝐵 ⊆ (𝐶 (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶)))))
8281ex 448 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → (((¬ 𝐵 = 𝐶 ∧ ¬ 𝐶𝐴) ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 𝐶)) → ((𝐴 ∩ (𝐵 𝐶)) ⊆ 𝐴𝐵 ⊆ (𝐶 (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶))))))
8344, 82jcad 553 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → (((¬ 𝐵 = 𝐶 ∧ ¬ 𝐶𝐴) ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 𝐶)) → ((𝐴 ∩ (𝐵 𝐶)) ∈ HAtoms ∧ ((𝐴 ∩ (𝐵 𝐶)) ⊆ 𝐴𝐵 ⊆ (𝐶 (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶)))))))
84 sseq1 3588 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶)) → (𝑥𝐴 ↔ (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶)) ⊆ 𝐴))
85 oveq2 6535 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶)) → (𝐶 𝑥) = (𝐶 (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶))))
8685sseq2d 3595 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶)) → (𝐵 ⊆ (𝐶 𝑥) ↔ 𝐵 ⊆ (𝐶 (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶)))))
8784, 86anbi12d 742 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶)) → ((𝑥𝐴𝐵 ⊆ (𝐶 𝑥)) ↔ ((𝐴 ∩ (𝐵 𝐶)) ⊆ 𝐴𝐵 ⊆ (𝐶 (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶))))))
8887rspcev 3281 . . . . . 6 (((𝐴 ∩ (𝐵 𝐶)) ∈ HAtoms ∧ ((𝐴 ∩ (𝐵 𝐶)) ⊆ 𝐴𝐵 ⊆ (𝐶 (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶))))) → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥𝐴𝐵 ⊆ (𝐶 𝑥)))
8983, 88syl6 34 . . . . 5 ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → (((¬ 𝐵 = 𝐶 ∧ ¬ 𝐶𝐴) ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 𝐶)) → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥𝐴𝐵 ⊆ (𝐶 𝑥))))
9089expd 450 . . . 4 ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → ((¬ 𝐵 = 𝐶 ∧ ¬ 𝐶𝐴) → (𝐵 ⊆ (𝐴 𝐶) → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥𝐴𝐵 ⊆ (𝐶 𝑥)))))
9143, 90syl5bi 230 . . 3 ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → (¬ (𝐵 = 𝐶𝐶𝐴) → (𝐵 ⊆ (𝐴 𝐶) → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥𝐴𝐵 ⊆ (𝐶 𝑥)))))
9242, 91syl7 71 . 2 ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → (¬ (𝐵 = 𝐶𝐶𝐴) → ((𝐴 ≠ 0𝐵 ⊆ (𝐴 𝐶)) → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥𝐴𝐵 ⊆ (𝐶 𝑥)))))
9319, 41, 92ecase3d 980 1 ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → ((𝐴 ≠ 0𝐵 ⊆ (𝐴 𝐶)) → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥𝐴𝐵 ⊆ (𝐶 𝑥))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 194  wo 381  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1976  wne 2779  wrex 2896  cin 3538  wss 3539  (class class class)co 6527   C cch 27004   chj 27008  0c0h 27010  HAtomscat 27040
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6825  ax-inf2 8399  ax-cc 9118  ax-cnex 9849  ax-resscn 9850  ax-1cn 9851  ax-icn 9852  ax-addcl 9853  ax-addrcl 9854  ax-mulcl 9855  ax-mulrcl 9856  ax-mulcom 9857  ax-addass 9858  ax-mulass 9859  ax-distr 9860  ax-i2m1 9861  ax-1ne0 9862  ax-1rid 9863  ax-rnegex 9864  ax-rrecex 9865  ax-cnre 9866  ax-pre-lttri 9867  ax-pre-lttrn 9868  ax-pre-ltadd 9869  ax-pre-mulgt0 9870  ax-pre-sup 9871  ax-addf 9872  ax-mulf 9873  ax-hilex 27074  ax-hfvadd 27075  ax-hvcom 27076  ax-hvass 27077  ax-hv0cl 27078  ax-hvaddid 27079  ax-hfvmul 27080  ax-hvmulid 27081  ax-hvmulass 27082  ax-hvdistr1 27083  ax-hvdistr2 27084  ax-hvmul0 27085  ax-hfi 27154  ax-his1 27157  ax-his2 27158  ax-his3 27159  ax-his4 27160  ax-hcompl 27277
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-iin 4452  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-se 4988  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-isom 5799  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-of 6773  df-om 6936  df-1st 7037  df-2nd 7038  df-supp 7161  df-wrecs 7272  df-recs 7333  df-rdg 7371  df-1o 7425  df-2o 7426  df-oadd 7429  df-omul 7430  df-er 7607  df-map 7724  df-pm 7725  df-ixp 7773  df-en 7820  df-dom 7821  df-sdom 7822  df-fin 7823  df-fsupp 8137  df-fi 8178  df-sup 8209  df-inf 8210  df-oi 8276  df-card 8626  df-acn 8629  df-cda 8851  df-pnf 9933  df-mnf 9934  df-xr 9935  df-ltxr 9936  df-le 9937  df-sub 10120  df-neg 10121  df-div 10537  df-nn 10871  df-2 10929  df-3 10930  df-4 10931  df-5 10932  df-6 10933  df-7 10934  df-8 10935  df-9 10936  df-n0 11143  df-z 11214  df-dec 11329  df-uz 11523  df-q 11624  df-rp 11668  df-xneg 11781  df-xadd 11782  df-xmul 11783  df-ioo 12009  df-ico 12011  df-icc 12012  df-fz 12156  df-fzo 12293  df-fl 12413  df-seq 12622  df-exp 12681  df-hash 12938  df-cj 13636  df-re 13637  df-im 13638  df-sqrt 13772  df-abs 13773  df-clim 14016  df-rlim 14017  df-sum 14214  df-struct 15646  df-ndx 15647  df-slot 15648  df-base 15649  df-sets 15650  df-ress 15651  df-plusg 15730  df-mulr 15731  df-starv 15732  df-sca 15733  df-vsca 15734  df-ip 15735  df-tset 15736  df-ple 15737  df-ds 15740  df-unif 15741  df-hom 15742  df-cco 15743  df-rest 15855  df-topn 15856  df-0g 15874  df-gsum 15875  df-topgen 15876  df-pt 15877  df-prds 15880  df-xrs 15934  df-qtop 15939  df-imas 15940  df-xps 15942  df-mre 16018  df-mrc 16019  df-acs 16021  df-mgm 17014  df-sgrp 17056  df-mnd 17067  df-submnd 17108  df-mulg 17313  df-cntz 17522  df-cmn 17967  df-psmet 19508  df-xmet 19509  df-met 19510  df-bl 19511  df-mopn 19512  df-fbas 19513  df-fg 19514  df-cnfld 19517  df-top 20469  df-bases 20470  df-topon 20471  df-topsp 20472  df-cld 20581  df-ntr 20582  df-cls 20583  df-nei 20660  df-cn 20789  df-cnp 20790  df-lm 20791  df-haus 20877  df-tx 21123  df-hmeo 21316  df-fil 21408  df-fm 21500  df-flim 21501  df-flf 21502  df-xms 21883  df-ms 21884  df-tms 21885  df-cfil 22806  df-cau 22807  df-cmet 22808  df-grpo 26525  df-gid 26526  df-ginv 26527  df-gdiv 26528  df-ablo 26580  df-vc 26595  df-nv 26643  df-va 26646  df-ba 26647  df-sm 26648  df-0v 26649  df-vs 26650  df-nmcv 26651  df-ims 26652  df-dip 26769  df-ssp 26793  df-ph 26886  df-cbn 26937  df-hnorm 27043  df-hba 27044  df-hvsub 27046  df-hlim 27047  df-hcau 27048  df-sh 27282  df-ch 27296  df-oc 27327  df-ch0 27328  df-shs 27385  df-span 27386  df-chj 27387  df-chsup 27388  df-pjh 27472  df-cv 28356  df-at 28415
This theorem is referenced by:  mdsymlem3  28482
  Copyright terms: Public domain W3C validator