Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  atcvrlln2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem atcvrlln2 35123
Description: An atom under a line is covered by it. (Contributed by NM, 2-Jul-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
atcvrlln2.l = (le‘𝐾)
atcvrlln2.c 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
atcvrlln2.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
atcvrlln2.n 𝑁 = (LLines‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
atcvrlln2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑋𝑁) ∧ 𝑃 𝑋) → 𝑃𝐶𝑋)

Proof of Theorem atcvrlln2
Dummy variables 𝑟 𝑞 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl3 1086 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑋𝑁) ∧ 𝑃 𝑋) → 𝑋𝑁)
2 simpl1 1084 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑋𝑁) ∧ 𝑃 𝑋) → 𝐾 ∈ HL)
3 eqid 2651 . . . . . 6 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
4 atcvrlln2.n . . . . . 6 𝑁 = (LLines‘𝐾)
53, 4llnbase 35113 . . . . 5 (𝑋𝑁𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
61, 5syl 17 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑋𝑁) ∧ 𝑃 𝑋) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
7 eqid 2651 . . . . 5 (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
8 atcvrlln2.a . . . . 5 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
93, 7, 8, 4islln3 35114 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑋𝑁 ↔ ∃𝑞𝐴𝑟𝐴 (𝑞𝑟𝑋 = (𝑞(join‘𝐾)𝑟))))
102, 6, 9syl2anc 694 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑋𝑁) ∧ 𝑃 𝑋) → (𝑋𝑁 ↔ ∃𝑞𝐴𝑟𝐴 (𝑞𝑟𝑋 = (𝑞(join‘𝐾)𝑟))))
111, 10mpbid 222 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑋𝑁) ∧ 𝑃 𝑋) → ∃𝑞𝐴𝑟𝐴 (𝑞𝑟𝑋 = (𝑞(join‘𝐾)𝑟)))
12 simp1l1 1174 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑋𝑁) ∧ 𝑃 𝑋) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐴) ∧ (𝑞𝑟𝑋 = (𝑞(join‘𝐾)𝑟))) → 𝐾 ∈ HL)
13 simp1l2 1175 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑋𝑁) ∧ 𝑃 𝑋) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐴) ∧ (𝑞𝑟𝑋 = (𝑞(join‘𝐾)𝑟))) → 𝑃𝐴)
14 simp2l 1107 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑋𝑁) ∧ 𝑃 𝑋) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐴) ∧ (𝑞𝑟𝑋 = (𝑞(join‘𝐾)𝑟))) → 𝑞𝐴)
15 simp2r 1108 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑋𝑁) ∧ 𝑃 𝑋) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐴) ∧ (𝑞𝑟𝑋 = (𝑞(join‘𝐾)𝑟))) → 𝑟𝐴)
16 simp3l 1109 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑋𝑁) ∧ 𝑃 𝑋) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐴) ∧ (𝑞𝑟𝑋 = (𝑞(join‘𝐾)𝑟))) → 𝑞𝑟)
17 simp1r 1106 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑋𝑁) ∧ 𝑃 𝑋) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐴) ∧ (𝑞𝑟𝑋 = (𝑞(join‘𝐾)𝑟))) → 𝑃 𝑋)
18 simp3r 1110 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑋𝑁) ∧ 𝑃 𝑋) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐴) ∧ (𝑞𝑟𝑋 = (𝑞(join‘𝐾)𝑟))) → 𝑋 = (𝑞(join‘𝐾)𝑟))
1917, 18breqtrd 4711 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑋𝑁) ∧ 𝑃 𝑋) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐴) ∧ (𝑞𝑟𝑋 = (𝑞(join‘𝐾)𝑟))) → 𝑃 (𝑞(join‘𝐾)𝑟))
20 atcvrlln2.l . . . . . . 7 = (le‘𝐾)
21 atcvrlln2.c . . . . . . 7 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
2220, 7, 21, 8atcvrj2 35037 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑞𝐴𝑟𝐴) ∧ (𝑞𝑟𝑃 (𝑞(join‘𝐾)𝑟))) → 𝑃𝐶(𝑞(join‘𝐾)𝑟))
2312, 13, 14, 15, 16, 19, 22syl132anc 1384 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑋𝑁) ∧ 𝑃 𝑋) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐴) ∧ (𝑞𝑟𝑋 = (𝑞(join‘𝐾)𝑟))) → 𝑃𝐶(𝑞(join‘𝐾)𝑟))
2423, 18breqtrrd 4713 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑋𝑁) ∧ 𝑃 𝑋) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐴) ∧ (𝑞𝑟𝑋 = (𝑞(join‘𝐾)𝑟))) → 𝑃𝐶𝑋)
25243exp 1283 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑋𝑁) ∧ 𝑃 𝑋) → ((𝑞𝐴𝑟𝐴) → ((𝑞𝑟𝑋 = (𝑞(join‘𝐾)𝑟)) → 𝑃𝐶𝑋)))
2625rexlimdvv 3066 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑋𝑁) ∧ 𝑃 𝑋) → (∃𝑞𝐴𝑟𝐴 (𝑞𝑟𝑋 = (𝑞(join‘𝐾)𝑟)) → 𝑃𝐶𝑋))
2711, 26mpd 15 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑋𝑁) ∧ 𝑃 𝑋) → 𝑃𝐶𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  wrex 2942   class class class wbr 4685  cfv 5926  (class class class)co 6690  Basecbs 15904  lecple 15995  joincjn 16991  ccvr 34867  Atomscatm 34868  HLchlt 34955  LLinesclln 35095
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-preset 16975  df-poset 16993  df-plt 17005  df-lub 17021  df-glb 17022  df-join 17023  df-meet 17024  df-p0 17086  df-lat 17093  df-clat 17155  df-oposet 34781  df-ol 34783  df-oml 34784  df-covers 34871  df-ats 34872  df-atl 34903  df-cvlat 34927  df-hlat 34956  df-llines 35102
This theorem is referenced by:  llnexatN  35125  llncmp  35126  2llnmat  35128  2llnmj  35164
  Copyright terms: Public domain W3C validator