Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  atex Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem atex 34511
Description: At least one atom exists. (Contributed by NM, 15-Jul-2012.)
Hypothesis
Ref Expression
atex.1 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
atex (𝐾 ∈ HL → 𝐴 ≠ ∅)

Proof of Theorem atex
Dummy variables 𝑞 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 atex.1 . . . 4 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
21hl2at 34510 . . 3 (𝐾 ∈ HL → ∃𝑝𝐴𝑞𝐴 𝑝𝑞)
3 df-rex 2915 . . . 4 (∃𝑝𝐴𝑞𝐴 𝑝𝑞 ↔ ∃𝑝(𝑝𝐴 ∧ ∃𝑞𝐴 𝑝𝑞))
4 exsimpl 1793 . . . 4 (∃𝑝(𝑝𝐴 ∧ ∃𝑞𝐴 𝑝𝑞) → ∃𝑝 𝑝𝐴)
53, 4sylbi 207 . . 3 (∃𝑝𝐴𝑞𝐴 𝑝𝑞 → ∃𝑝 𝑝𝐴)
62, 5syl 17 . 2 (𝐾 ∈ HL → ∃𝑝 𝑝𝐴)
7 n0 3923 . 2 (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑝 𝑝𝐴)
86, 7sylibr 224 1 (𝐾 ∈ HL → 𝐴 ≠ ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1481  wex 1702  wcel 1988  wne 2791  wrex 2910  c0 3907  cfv 5876  Atomscatm 34369  HLchlt 34456
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-rep 4762  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-op 4175  df-uni 4428  df-iun 4513  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-id 5014  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-preset 16909  df-poset 16927  df-plt 16939  df-lub 16955  df-glb 16956  df-join 16957  df-meet 16958  df-p0 17020  df-p1 17021  df-lat 17027  df-clat 17089  df-oposet 34282  df-ol 34284  df-oml 34285  df-covers 34372  df-ats 34373  df-atl 34404  df-cvlat 34428  df-hlat 34457
This theorem is referenced by:  llnn0  34621  lplnn0N  34652  lvoln0N  34696
  Copyright terms: Public domain W3C validator