athgt - Mathbox for Norm Megill

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Theorem athgt 36596

Description: A Hilbert lattice, whose height is at least 4, has a chain of 4 successively covering atom joins. (Contributed by NM, 3-May-2012.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
athgt.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
athgt.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
athgt.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

**Assertion**
Ref	Expression
athgt	⊢ (𝐾 ∈ HL → ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑝𝐶(𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞)𝐶((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)𝐶(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠))))

Distinct variable groups: 𝑞,𝑝,𝑟,𝑠,𝐴 ∨ ,𝑟,𝑠 𝐾,𝑝,𝑞,𝑟,𝑠 Allowed substitution hints: 𝐶(𝑠,𝑟,𝑞,𝑝) ∨ (𝑞,𝑝)

Proof of Theorem athgt Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2824	. . 3 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
2		eqid 2824	. . 3 ⊢ (lt‘𝐾) = (lt‘𝐾)
3		eqid 2824	. . 3 ⊢ (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
4		eqid 2824	. . 3 ⊢ (1.‘𝐾) = (1.‘𝐾)
5	1, 2, 3, 4	hlhgt4 36528	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ HL → ∃𝑥 ∈ (Base‘𝐾)∃𝑦 ∈ (Base‘𝐾)∃𝑧 ∈ (Base‘𝐾)(((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥 ∧ 𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾))))
6		simpl1 1187	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥 ∧ 𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)))) → 𝐾 ∈ HL)
7		hlop 36502	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
8	1, 3	op0cl 36324	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ OP → (0.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾))
9	6, 7, 8	3syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥 ∧ 𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)))) → (0.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾))
10		simpl2l 1222	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥 ∧ 𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)))) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐾))
11		simprll 777	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥 ∧ 𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)))) → (0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥)
12		eqid 2824	. . . . . . . . . 10 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
13		athgt.j	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
14		athgt.c	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
15		athgt.a	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
16	1, 12, 2, 13, 14, 15	hlrelat3 36552	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (0.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 ((0.‘𝐾)𝐶((0.‘𝐾) ∨ 𝑝) ∧ ((0.‘𝐾) ∨ 𝑝)(le‘𝐾)𝑥))
17	6, 9, 10, 11, 16	syl31anc 1369	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥 ∧ 𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)))) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 ((0.‘𝐾)𝐶((0.‘𝐾) ∨ 𝑝) ∧ ((0.‘𝐾) ∨ 𝑝)(le‘𝐾)𝑥))
18		simp11 1199	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥 ∧ 𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾))) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ HL)
19		simp3 1134	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥 ∧ 𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾))) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → 𝑝 ∈ 𝐴)
20	3, 14, 15	atcvr0 36428	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → (0.‘𝐾)𝐶𝑝)
21	18, 19, 20	syl2anc 586	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥 ∧ 𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾))) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → (0.‘𝐾)𝐶𝑝)
22		hlol 36501	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OL)
23	18, 22	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥 ∧ 𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾))) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ OL)
24	1, 15	atbase 36429	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑝 ∈ 𝐴 → 𝑝 ∈ (Base‘𝐾))
25	24	3ad2ant3 1131	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥 ∧ 𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾))) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → 𝑝 ∈ (Base‘𝐾))
26	1, 13, 3	olj02 36366	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑝 ∈ (Base‘𝐾)) → ((0.‘𝐾) ∨ 𝑝) = 𝑝)
27	23, 25, 26	syl2anc 586	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥 ∧ 𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾))) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → ((0.‘𝐾) ∨ 𝑝) = 𝑝)
28	21, 27	breqtrrd 5097	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥 ∧ 𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾))) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → (0.‘𝐾)𝐶((0.‘𝐾) ∨ 𝑝))
29	28	biantrurd 535	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥 ∧ 𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾))) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → (((0.‘𝐾) ∨ 𝑝)(le‘𝐾)𝑥 ↔ ((0.‘𝐾)𝐶((0.‘𝐾) ∨ 𝑝) ∧ ((0.‘𝐾) ∨ 𝑝)(le‘𝐾)𝑥)))
30	27	breq1d 5079	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥 ∧ 𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾))) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → (((0.‘𝐾) ∨ 𝑝)(le‘𝐾)𝑥 ↔ 𝑝(le‘𝐾)𝑥))
31	29, 30	bitr3d 283	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥 ∧ 𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾))) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → (((0.‘𝐾)𝐶((0.‘𝐾) ∨ 𝑝) ∧ ((0.‘𝐾) ∨ 𝑝)(le‘𝐾)𝑥) ↔ 𝑝(le‘𝐾)𝑥))
32	31	3expa 1114	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥 ∧ 𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)))) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → (((0.‘𝐾)𝐶((0.‘𝐾) ∨ 𝑝) ∧ ((0.‘𝐾) ∨ 𝑝)(le‘𝐾)𝑥) ↔ 𝑝(le‘𝐾)𝑥))
33	32	rexbidva 3299	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥 ∧ 𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)))) → (∃𝑝 ∈ 𝐴 ((0.‘𝐾)𝐶((0.‘𝐾) ∨ 𝑝) ∧ ((0.‘𝐾) ∨ 𝑝)(le‘𝐾)𝑥) ↔ ∃𝑝 ∈ 𝐴 𝑝(le‘𝐾)𝑥))
34	17, 33	mpbid 234	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥 ∧ 𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)))) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 𝑝(le‘𝐾)𝑥)
35		simp11 1199	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥 ∧ 𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾))) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑥)) → 𝐾 ∈ HL)
36	25	3adant3r 1177	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥 ∧ 𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾))) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑥)) → 𝑝 ∈ (Base‘𝐾))
37		simp12r 1283	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥 ∧ 𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾))) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑥)) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐾))
38		simp3r 1198	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥 ∧ 𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾))) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑥)) → 𝑝(le‘𝐾)𝑥)
39		simp2lr 1237	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥 ∧ 𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾))) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑥)) → 𝑥(lt‘𝐾)𝑦)
40		hlpos 36506	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Poset)
41	35, 40	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥 ∧ 𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾))) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑥)) → 𝐾 ∈ Poset)
42		simp12l 1282	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥 ∧ 𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾))) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑥)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐾))
43	1, 12, 2	plelttr 17585	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑝 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾))) → ((𝑝(le‘𝐾)𝑥 ∧ 𝑥(lt‘𝐾)𝑦) → 𝑝(lt‘𝐾)𝑦))
44	41, 36, 42, 37, 43	syl13anc 1368	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥 ∧ 𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾))) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑥)) → ((𝑝(le‘𝐾)𝑥 ∧ 𝑥(lt‘𝐾)𝑦) → 𝑝(lt‘𝐾)𝑦))
45	38, 39, 44	mp2and 697	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥 ∧ 𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾))) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑥)) → 𝑝(lt‘𝐾)𝑦)
46	1, 12, 2, 13, 14, 15	hlrelat3 36552	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑝(lt‘𝐾)𝑦) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑝𝐶(𝑝 ∨ 𝑞) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦))
47	35, 36, 37, 45, 46	syl31anc 1369	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥 ∧ 𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾))) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑥)) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑝𝐶(𝑝 ∨ 𝑞) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦))
48		simp11 1199	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦)) → 𝐾 ∈ HL)
49	48	hllatd 36504	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦)) → 𝐾 ∈ Lat)
50		simp3ll 1240	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦)) → 𝑝 ∈ 𝐴)
51	50, 24	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦)) → 𝑝 ∈ (Base‘𝐾))
52		simp3lr 1241	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦)) → 𝑞 ∈ 𝐴)
53	1, 15	atbase 36429	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑞 ∈ 𝐴 → 𝑞 ∈ (Base‘𝐾))
54	52, 53	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦)) → 𝑞 ∈ (Base‘𝐾))
55	1, 13	latjcl 17664	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑝 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑞 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑝 ∨ 𝑞) ∈ (Base‘𝐾))
56	49, 51, 54, 55	syl3anc 1367	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦)) → (𝑝 ∨ 𝑞) ∈ (Base‘𝐾))
57		simp13 1201	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦)) → 𝑧 ∈ (Base‘𝐾))
58		simp3r 1198	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦)) → (𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦)
59		simp2l 1195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦)) → 𝑦(lt‘𝐾)𝑧)
60	48, 40	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦)) → 𝐾 ∈ Poset)
61		simp12 1200	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦)) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐾))
62	1, 12, 2	plelttr 17585	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾))) → (((𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦 ∧ 𝑦(lt‘𝐾)𝑧) → (𝑝 ∨ 𝑞)(lt‘𝐾)𝑧))
63	60, 56, 61, 57, 62	syl13anc 1368	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦)) → (((𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦 ∧ 𝑦(lt‘𝐾)𝑧) → (𝑝 ∨ 𝑞)(lt‘𝐾)𝑧))
64	58, 59, 63	mp2and 697	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦)) → (𝑝 ∨ 𝑞)(lt‘𝐾)𝑧)
65	1, 12, 2, 13, 14, 15	hlrelat3 36552	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑝 ∨ 𝑞) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)(lt‘𝐾)𝑧) → ∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞)𝐶((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∧ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)(le‘𝐾)𝑧))
66	48, 56, 57, 64, 65	syl31anc 1369	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦)) → ∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞)𝐶((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∧ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)(le‘𝐾)𝑧))
67		simp1ll 1232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)(le‘𝐾)𝑧)) → 𝐾 ∈ HL)
68	67	hllatd 36504	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)(le‘𝐾)𝑧)) → 𝐾 ∈ Lat)
69		simp2ll 1236	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)(le‘𝐾)𝑧)) → 𝑝 ∈ 𝐴)
70	69, 24	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)(le‘𝐾)𝑧)) → 𝑝 ∈ (Base‘𝐾))
71		simp2lr 1237	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)(le‘𝐾)𝑧)) → 𝑞 ∈ 𝐴)
72	71, 53	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)(le‘𝐾)𝑧)) → 𝑞 ∈ (Base‘𝐾))
73	68, 70, 72, 55	syl3anc 1367	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)(le‘𝐾)𝑧)) → (𝑝 ∨ 𝑞) ∈ (Base‘𝐾))
74		simp3l 1197	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)(le‘𝐾)𝑧)) → 𝑟 ∈ 𝐴)
75	1, 15	atbase 36429	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝑟 ∈ 𝐴 → 𝑟 ∈ (Base‘𝐾))
76	74, 75	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)(le‘𝐾)𝑧)) → 𝑟 ∈ (Base‘𝐾))
77	1, 13	latjcl 17664	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑝 ∨ 𝑞) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∈ (Base‘𝐾))
78	68, 73, 76, 77	syl3anc 1367	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)(le‘𝐾)𝑧)) → ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∈ (Base‘𝐾))
79	1, 4	op1cl 36325	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝐾 ∈ OP → (1.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾))
80	67, 7, 79	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)(le‘𝐾)𝑧)) → (1.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾))
81		simp3r 1198	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)(le‘𝐾)𝑧)) → ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)(le‘𝐾)𝑧)
82		simp1r 1194	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)(le‘𝐾)𝑧)) → 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾))
83	67, 40	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)(le‘𝐾)𝑧)) → 𝐾 ∈ Poset)
84		simp1lr 1233	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)(le‘𝐾)𝑧)) → 𝑧 ∈ (Base‘𝐾))
85	1, 12, 2	plelttr 17585	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (1.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾))) → ((((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)(le‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) → ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)))
86	83, 78, 84, 80, 85	syl13anc 1368	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)(le‘𝐾)𝑧)) → ((((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)(le‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) → ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)))
87	81, 82, 86	mp2and 697	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)(le‘𝐾)𝑧)) → ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)(lt‘𝐾)(1.‘𝐾))
88	1, 12, 2, 13, 14, 15	hlrelat3 36552	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (1.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾)) ∧ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) → ∃𝑠 ∈ 𝐴 (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)𝐶(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠) ∧ (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠)(le‘𝐾)(1.‘𝐾)))
89	67, 78, 80, 87, 88	syl31anc 1369	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)(le‘𝐾)𝑧)) → ∃𝑠 ∈ 𝐴 (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)𝐶(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠) ∧ (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠)(le‘𝐾)(1.‘𝐾)))
90		simpl 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)𝐶(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠) ∧ (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠)(le‘𝐾)(1.‘𝐾)) → ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)𝐶(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠))
91	90	reximi 3246	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (∃𝑠 ∈ 𝐴 (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)𝐶(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠) ∧ (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠)(le‘𝐾)(1.‘𝐾)) → ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)𝐶(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠))
92	89, 91	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)(le‘𝐾)𝑧)) → ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)𝐶(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠))
93	92	3exp 1115	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) → (((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦) → ((𝑟 ∈ 𝐴 ∧ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)(le‘𝐾)𝑧) → ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)𝐶(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠))))
94	93	exp4a 434	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) → (((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦) → (𝑟 ∈ 𝐴 → (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)(le‘𝐾)𝑧 → ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)𝐶(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠)))))
95	94	ex 415	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾) → (((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦) → (𝑟 ∈ 𝐴 → (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)(le‘𝐾)𝑧 → ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)𝐶(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠))))))
96	95	3adant2 1127	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾) → (((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦) → (𝑟 ∈ 𝐴 → (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)(le‘𝐾)𝑧 → ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)𝐶(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠))))))
97	96	3imp 1107	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦)) → (𝑟 ∈ 𝐴 → (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)(le‘𝐾)𝑧 → ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)𝐶(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠))))
98	97	3adant2l 1174	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦)) → (𝑟 ∈ 𝐴 → (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)(le‘𝐾)𝑧 → ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)𝐶(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠))))
99	98	imp 409	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) → (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)(le‘𝐾)𝑧 → ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)𝐶(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠)))
100	99	anim2d 613	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) → (((𝑝 ∨ 𝑞)𝐶((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∧ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)(le‘𝐾)𝑧) → ((𝑝 ∨ 𝑞)𝐶((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)𝐶(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠))))
101	100	reximdva 3277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦)) → (∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞)𝐶((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∧ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)(le‘𝐾)𝑧) → ∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞)𝐶((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)𝐶(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠))))
102	66, 101	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦)) → ∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞)𝐶((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)𝐶(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠)))
103	102	3exp 1115	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) → (((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦) → ∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞)𝐶((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)𝐶(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠)))))
104	103	exp4a 434	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) → ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → ((𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦 → ∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞)𝐶((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)𝐶(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠))))))
105	104	exp4a 434	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) → (𝑝 ∈ 𝐴 → (𝑞 ∈ 𝐴 → ((𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦 → ∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞)𝐶((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)𝐶(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠)))))))
106	105	3adant2l 1174	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) → (𝑝 ∈ 𝐴 → (𝑞 ∈ 𝐴 → ((𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦 → ∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞)𝐶((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)𝐶(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠)))))))
107	106	3imp1 1343	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → ((𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦 → ∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞)𝐶((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)𝐶(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠))))
108	107	anim2d 613	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → ((𝑝𝐶(𝑝 ∨ 𝑞) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦) → (𝑝𝐶(𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞)𝐶((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)𝐶(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠)))))
109	108	reximdva 3277	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → (∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑝𝐶(𝑝 ∨ 𝑞) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑝𝐶(𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞)𝐶((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)𝐶(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠)))))
110	109	3adant2l 1174	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥 ∧ 𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾))) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → (∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑝𝐶(𝑝 ∨ 𝑞) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑝𝐶(𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞)𝐶((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)𝐶(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠)))))
111	110	3adant3r 1177	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥 ∧ 𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾))) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑥)) → (∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑝𝐶(𝑝 ∨ 𝑞) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑝𝐶(𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞)𝐶((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)𝐶(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠)))))
112	47, 111	mpd 15	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥 ∧ 𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾))) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑥)) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑝𝐶(𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞)𝐶((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)𝐶(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠))))
113	112	3expia 1117	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥 ∧ 𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)))) → ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑥) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑝𝐶(𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞)𝐶((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)𝐶(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠)))))
114	113	expd 418	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥 ∧ 𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)))) → (𝑝 ∈ 𝐴 → (𝑝(le‘𝐾)𝑥 → ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑝𝐶(𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞)𝐶((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)𝐶(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠))))))
115	114	reximdvai 3275	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥 ∧ 𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)))) → (∃𝑝 ∈ 𝐴 𝑝(le‘𝐾)𝑥 → ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑝𝐶(𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞)𝐶((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)𝐶(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠)))))
116	34, 115	mpd 15	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥 ∧ 𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)))) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑝𝐶(𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞)𝐶((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)𝐶(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠))))
117	116	3exp1 1348	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ HL → ((𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑧 ∈ (Base‘𝐾) → ((((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥 ∧ 𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾))) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑝𝐶(𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞)𝐶((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)𝐶(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠)))))))
118	117	imp 409	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾))) → (𝑧 ∈ (Base‘𝐾) → ((((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥 ∧ 𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾))) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑝𝐶(𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞)𝐶((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)𝐶(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠))))))
119	118	rexlimdv 3286	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾))) → (∃𝑧 ∈ (Base‘𝐾)(((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥 ∧ 𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾))) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑝𝐶(𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞)𝐶((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)𝐶(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠)))))
120	119	rexlimdvva 3297	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ HL → (∃𝑥 ∈ (Base‘𝐾)∃𝑦 ∈ (Base‘𝐾)∃𝑧 ∈ (Base‘𝐾)(((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥 ∧ 𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾))) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑝𝐶(𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞)𝐶((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)𝐶(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠)))))
121	5, 120	mpd 15	1 ⊢ (𝐾 ∈ HL → ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑝𝐶(𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞)𝐶((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)𝐶(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠))))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 208 ∧ wa 398 ∧ w3a 1083 = wceq 1536 ∈ wcel 2113 ∃wrex 3142 class class class wbr 5069 ‘cfv 6358 (class class class)co 7159 Basecbs 16486 lecple 16575 Posetcpo 17553 ltcplt 17554 joincjn 17557 0.cp0 17650 1.cp1 17651 Latclat 17658 OPcops 36312 OLcol 36314 ⋖ ccvr 36402 Atomscatm 36403 HLchlt 36490

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1795 ax-4 1809 ax-5 1910 ax-6 1969 ax-7 2014 ax-8 2115 ax-9 2123 ax-10 2144 ax-11 2160 ax-12 2176 ax-ext 2796 ax-rep 5193 ax-sep 5206 ax-nul 5213 ax-pow 5269 ax-pr 5333 ax-un 7464

This theorem depends on definitions: df-bi 209 df-an 399 df-or 844 df-3an 1085 df-tru 1539 df-ex 1780 df-nf 1784 df-sb 2069 df-mo 2621 df-eu 2653 df-clab 2803 df-cleq 2817 df-clel 2896 df-nfc 2966 df-ne 3020 df-ral 3146 df-rex 3147 df-reu 3148 df-rab 3150 df-v 3499 df-sbc 3776 df-csb 3887 df-dif 3942 df-un 3944 df-in 3946 df-ss 3955 df-nul 4295 df-if 4471 df-pw 4544 df-sn 4571 df-pr 4573 df-op 4577 df-uni 4842 df-iun 4924 df-br 5070 df-opab 5132 df-mpt 5150 df-id 5463 df-xp 5564 df-rel 5565 df-cnv 5566 df-co 5567 df-dm 5568 df-rn 5569 df-res 5570 df-ima 5571 df-iota 6317 df-fun 6360 df-fn 6361 df-f 6362 df-f1 6363 df-fo 6364 df-f1o 6365 df-fv 6366 df-riota 7117 df-ov 7162 df-oprab 7163 df-proset 17541 df-poset 17559 df-plt 17571 df-lub 17587 df-glb 17588 df-join 17589 df-meet 17590 df-p0 17652 df-p1 17653 df-lat 17659 df-clat 17721 df-oposet 36316 df-ol 36318 df-oml 36319 df-covers 36406 df-ats 36407 df-atl 36438 df-cvlat 36462 df-hlat 36491

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