Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  athgt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem athgt 33556
Description: A Hilbert lattice, whose height is at least 4, has a chain of 4 successively covering atom joins. (Contributed by NM, 3-May-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
athgt.j = (join‘𝐾)
athgt.c 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
athgt.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
athgt (𝐾 ∈ HL → ∃𝑝𝐴𝑞𝐴 (𝑝𝐶(𝑝 𝑞) ∧ ∃𝑟𝐴 ((𝑝 𝑞)𝐶((𝑝 𝑞) 𝑟) ∧ ∃𝑠𝐴 ((𝑝 𝑞) 𝑟)𝐶(((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠))))
Distinct variable groups:   𝑞,𝑝,𝑟,𝑠,𝐴   ,𝑟,𝑠   𝐾,𝑝,𝑞,𝑟,𝑠
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑠,𝑟,𝑞,𝑝)   (𝑞,𝑝)

Proof of Theorem athgt
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2609 . . 3 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
2 eqid 2609 . . 3 (lt‘𝐾) = (lt‘𝐾)
3 eqid 2609 . . 3 (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
4 eqid 2609 . . 3 (1.‘𝐾) = (1.‘𝐾)
51, 2, 3, 4hlhgt4 33488 . 2 (𝐾 ∈ HL → ∃𝑥 ∈ (Base‘𝐾)∃𝑦 ∈ (Base‘𝐾)∃𝑧 ∈ (Base‘𝐾)(((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾))))
6 simpl1 1056 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)))) → 𝐾 ∈ HL)
7 hlop 33463 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
81, 3op0cl 33285 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ OP → (0.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾))
96, 7, 83syl 18 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)))) → (0.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾))
10 simpl2l 1106 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)))) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐾))
11 simprll 797 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)))) → (0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥)
12 eqid 2609 . . . . . . . . . 10 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
13 athgt.j . . . . . . . . . 10 = (join‘𝐾)
14 athgt.c . . . . . . . . . 10 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
15 athgt.a . . . . . . . . . 10 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
161, 12, 2, 13, 14, 15hlrelat3 33512 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ (0.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥) → ∃𝑝𝐴 ((0.‘𝐾)𝐶((0.‘𝐾) 𝑝) ∧ ((0.‘𝐾) 𝑝)(le‘𝐾)𝑥))
176, 9, 10, 11, 16syl31anc 1320 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)))) → ∃𝑝𝐴 ((0.‘𝐾)𝐶((0.‘𝐾) 𝑝) ∧ ((0.‘𝐾) 𝑝)(le‘𝐾)𝑥))
18 simp11 1083 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾))) ∧ 𝑝𝐴) → 𝐾 ∈ HL)
19 simp3 1055 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾))) ∧ 𝑝𝐴) → 𝑝𝐴)
203, 14, 15atcvr0 33389 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝𝐴) → (0.‘𝐾)𝐶𝑝)
2118, 19, 20syl2anc 690 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾))) ∧ 𝑝𝐴) → (0.‘𝐾)𝐶𝑝)
22 hlol 33462 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OL)
2318, 22syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾))) ∧ 𝑝𝐴) → 𝐾 ∈ OL)
241, 15atbase 33390 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑝𝐴𝑝 ∈ (Base‘𝐾))
25243ad2ant3 1076 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾))) ∧ 𝑝𝐴) → 𝑝 ∈ (Base‘𝐾))
261, 13, 3olj02 33327 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑝 ∈ (Base‘𝐾)) → ((0.‘𝐾) 𝑝) = 𝑝)
2723, 25, 26syl2anc 690 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾))) ∧ 𝑝𝐴) → ((0.‘𝐾) 𝑝) = 𝑝)
2821, 27breqtrrd 4605 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾))) ∧ 𝑝𝐴) → (0.‘𝐾)𝐶((0.‘𝐾) 𝑝))
2928biantrurd 527 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾))) ∧ 𝑝𝐴) → (((0.‘𝐾) 𝑝)(le‘𝐾)𝑥 ↔ ((0.‘𝐾)𝐶((0.‘𝐾) 𝑝) ∧ ((0.‘𝐾) 𝑝)(le‘𝐾)𝑥)))
3027breq1d 4587 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾))) ∧ 𝑝𝐴) → (((0.‘𝐾) 𝑝)(le‘𝐾)𝑥𝑝(le‘𝐾)𝑥))
3129, 30bitr3d 268 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾))) ∧ 𝑝𝐴) → (((0.‘𝐾)𝐶((0.‘𝐾) 𝑝) ∧ ((0.‘𝐾) 𝑝)(le‘𝐾)𝑥) ↔ 𝑝(le‘𝐾)𝑥))
32313expa 1256 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)))) ∧ 𝑝𝐴) → (((0.‘𝐾)𝐶((0.‘𝐾) 𝑝) ∧ ((0.‘𝐾) 𝑝)(le‘𝐾)𝑥) ↔ 𝑝(le‘𝐾)𝑥))
3332rexbidva 3030 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)))) → (∃𝑝𝐴 ((0.‘𝐾)𝐶((0.‘𝐾) 𝑝) ∧ ((0.‘𝐾) 𝑝)(le‘𝐾)𝑥) ↔ ∃𝑝𝐴 𝑝(le‘𝐾)𝑥))
3417, 33mpbid 220 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)))) → ∃𝑝𝐴 𝑝(le‘𝐾)𝑥)
35 simp11 1083 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾))) ∧ (𝑝𝐴𝑝(le‘𝐾)𝑥)) → 𝐾 ∈ HL)
36253adant3r 1314 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾))) ∧ (𝑝𝐴𝑝(le‘𝐾)𝑥)) → 𝑝 ∈ (Base‘𝐾))
37 simp12r 1167 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾))) ∧ (𝑝𝐴𝑝(le‘𝐾)𝑥)) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐾))
38 simp3r 1082 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾))) ∧ (𝑝𝐴𝑝(le‘𝐾)𝑥)) → 𝑝(le‘𝐾)𝑥)
39 simp2lr 1121 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾))) ∧ (𝑝𝐴𝑝(le‘𝐾)𝑥)) → 𝑥(lt‘𝐾)𝑦)
40 hlpos 33466 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Poset)
4135, 40syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾))) ∧ (𝑝𝐴𝑝(le‘𝐾)𝑥)) → 𝐾 ∈ Poset)
42 simp12l 1166 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾))) ∧ (𝑝𝐴𝑝(le‘𝐾)𝑥)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐾))
431, 12, 2plelttr 16741 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑝 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾))) → ((𝑝(le‘𝐾)𝑥𝑥(lt‘𝐾)𝑦) → 𝑝(lt‘𝐾)𝑦))
4441, 36, 42, 37, 43syl13anc 1319 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾))) ∧ (𝑝𝐴𝑝(le‘𝐾)𝑥)) → ((𝑝(le‘𝐾)𝑥𝑥(lt‘𝐾)𝑦) → 𝑝(lt‘𝐾)𝑦))
4538, 39, 44mp2and 710 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾))) ∧ (𝑝𝐴𝑝(le‘𝐾)𝑥)) → 𝑝(lt‘𝐾)𝑦)
461, 12, 2, 13, 14, 15hlrelat3 33512 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑝(lt‘𝐾)𝑦) → ∃𝑞𝐴 (𝑝𝐶(𝑝 𝑞) ∧ (𝑝 𝑞)(le‘𝐾)𝑦))
4735, 36, 37, 45, 46syl31anc 1320 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾))) ∧ (𝑝𝐴𝑝(le‘𝐾)𝑥)) → ∃𝑞𝐴 (𝑝𝐶(𝑝 𝑞) ∧ (𝑝 𝑞)(le‘𝐾)𝑦))
48 simp11 1083 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ (𝑝 𝑞)(le‘𝐾)𝑦)) → 𝐾 ∈ HL)
49 hllat 33464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
5048, 49syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ (𝑝 𝑞)(le‘𝐾)𝑦)) → 𝐾 ∈ Lat)
51 simp3ll 1124 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ (𝑝 𝑞)(le‘𝐾)𝑦)) → 𝑝𝐴)
5251, 24syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ (𝑝 𝑞)(le‘𝐾)𝑦)) → 𝑝 ∈ (Base‘𝐾))
53 simp3lr 1125 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ (𝑝 𝑞)(le‘𝐾)𝑦)) → 𝑞𝐴)
541, 15atbase 33390 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑞𝐴𝑞 ∈ (Base‘𝐾))
5553, 54syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ (𝑝 𝑞)(le‘𝐾)𝑦)) → 𝑞 ∈ (Base‘𝐾))
561, 13latjcl 16820 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑝 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑞 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑝 𝑞) ∈ (Base‘𝐾))
5750, 52, 55, 56syl3anc 1317 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ (𝑝 𝑞)(le‘𝐾)𝑦)) → (𝑝 𝑞) ∈ (Base‘𝐾))
58 simp13 1085 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ (𝑝 𝑞)(le‘𝐾)𝑦)) → 𝑧 ∈ (Base‘𝐾))
59 simp3r 1082 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ (𝑝 𝑞)(le‘𝐾)𝑦)) → (𝑝 𝑞)(le‘𝐾)𝑦)
60 simp2l 1079 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ (𝑝 𝑞)(le‘𝐾)𝑦)) → 𝑦(lt‘𝐾)𝑧)
6148, 40syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ (𝑝 𝑞)(le‘𝐾)𝑦)) → 𝐾 ∈ Poset)
62 simp12 1084 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ (𝑝 𝑞)(le‘𝐾)𝑦)) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐾))
631, 12, 2plelttr 16741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐾 ∈ Poset ∧ ((𝑝 𝑞) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾))) → (((𝑝 𝑞)(le‘𝐾)𝑦𝑦(lt‘𝐾)𝑧) → (𝑝 𝑞)(lt‘𝐾)𝑧))
6461, 57, 62, 58, 63syl13anc 1319 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ (𝑝 𝑞)(le‘𝐾)𝑦)) → (((𝑝 𝑞)(le‘𝐾)𝑦𝑦(lt‘𝐾)𝑧) → (𝑝 𝑞)(lt‘𝐾)𝑧))
6559, 60, 64mp2and 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ (𝑝 𝑞)(le‘𝐾)𝑦)) → (𝑝 𝑞)(lt‘𝐾)𝑧)
661, 12, 2, 13, 14, 15hlrelat3 33512 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑝 𝑞) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑝 𝑞)(lt‘𝐾)𝑧) → ∃𝑟𝐴 ((𝑝 𝑞)𝐶((𝑝 𝑞) 𝑟) ∧ ((𝑝 𝑞) 𝑟)(le‘𝐾)𝑧))
6748, 57, 58, 65, 66syl31anc 1320 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ (𝑝 𝑞)(le‘𝐾)𝑦)) → ∃𝑟𝐴 ((𝑝 𝑞)𝐶((𝑝 𝑞) 𝑟) ∧ ((𝑝 𝑞) 𝑟)(le‘𝐾)𝑧))
68 simp1ll 1116 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ (𝑝 𝑞)(le‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑟𝐴 ∧ ((𝑝 𝑞) 𝑟)(le‘𝐾)𝑧)) → 𝐾 ∈ HL)
6968, 49syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ (𝑝 𝑞)(le‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑟𝐴 ∧ ((𝑝 𝑞) 𝑟)(le‘𝐾)𝑧)) → 𝐾 ∈ Lat)
70 simp2ll 1120 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ (𝑝 𝑞)(le‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑟𝐴 ∧ ((𝑝 𝑞) 𝑟)(le‘𝐾)𝑧)) → 𝑝𝐴)
7170, 24syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ (𝑝 𝑞)(le‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑟𝐴 ∧ ((𝑝 𝑞) 𝑟)(le‘𝐾)𝑧)) → 𝑝 ∈ (Base‘𝐾))
72 simp2lr 1121 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ (𝑝 𝑞)(le‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑟𝐴 ∧ ((𝑝 𝑞) 𝑟)(le‘𝐾)𝑧)) → 𝑞𝐴)
7372, 54syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ (𝑝 𝑞)(le‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑟𝐴 ∧ ((𝑝 𝑞) 𝑟)(le‘𝐾)𝑧)) → 𝑞 ∈ (Base‘𝐾))
7469, 71, 73, 56syl3anc 1317 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ (𝑝 𝑞)(le‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑟𝐴 ∧ ((𝑝 𝑞) 𝑟)(le‘𝐾)𝑧)) → (𝑝 𝑞) ∈ (Base‘𝐾))
75 simp3l 1081 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ (𝑝 𝑞)(le‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑟𝐴 ∧ ((𝑝 𝑞) 𝑟)(le‘𝐾)𝑧)) → 𝑟𝐴)
761, 15atbase 33390 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑟𝐴𝑟 ∈ (Base‘𝐾))
7775, 76syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ (𝑝 𝑞)(le‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑟𝐴 ∧ ((𝑝 𝑞) 𝑟)(le‘𝐾)𝑧)) → 𝑟 ∈ (Base‘𝐾))
781, 13latjcl 16820 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑝 𝑞) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑝 𝑞) 𝑟) ∈ (Base‘𝐾))
7969, 74, 77, 78syl3anc 1317 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ (𝑝 𝑞)(le‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑟𝐴 ∧ ((𝑝 𝑞) 𝑟)(le‘𝐾)𝑧)) → ((𝑝 𝑞) 𝑟) ∈ (Base‘𝐾))
801, 4op1cl 33286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝐾 ∈ OP → (1.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾))
8168, 7, 803syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ (𝑝 𝑞)(le‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑟𝐴 ∧ ((𝑝 𝑞) 𝑟)(le‘𝐾)𝑧)) → (1.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾))
82 simp3r 1082 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ (𝑝 𝑞)(le‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑟𝐴 ∧ ((𝑝 𝑞) 𝑟)(le‘𝐾)𝑧)) → ((𝑝 𝑞) 𝑟)(le‘𝐾)𝑧)
83 simp1r 1078 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ (𝑝 𝑞)(le‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑟𝐴 ∧ ((𝑝 𝑞) 𝑟)(le‘𝐾)𝑧)) → 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾))
8468, 40syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ (𝑝 𝑞)(le‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑟𝐴 ∧ ((𝑝 𝑞) 𝑟)(le‘𝐾)𝑧)) → 𝐾 ∈ Poset)
85 simp1lr 1117 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ (𝑝 𝑞)(le‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑟𝐴 ∧ ((𝑝 𝑞) 𝑟)(le‘𝐾)𝑧)) → 𝑧 ∈ (Base‘𝐾))
861, 12, 2plelttr 16741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (((𝑝 𝑞) 𝑟) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (1.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾))) → ((((𝑝 𝑞) 𝑟)(le‘𝐾)𝑧𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) → ((𝑝 𝑞) 𝑟)(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)))
8784, 79, 85, 81, 86syl13anc 1319 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ (𝑝 𝑞)(le‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑟𝐴 ∧ ((𝑝 𝑞) 𝑟)(le‘𝐾)𝑧)) → ((((𝑝 𝑞) 𝑟)(le‘𝐾)𝑧𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) → ((𝑝 𝑞) 𝑟)(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)))
8882, 83, 87mp2and 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ (𝑝 𝑞)(le‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑟𝐴 ∧ ((𝑝 𝑞) 𝑟)(le‘𝐾)𝑧)) → ((𝑝 𝑞) 𝑟)(lt‘𝐾)(1.‘𝐾))
891, 12, 2, 13, 14, 15hlrelat3 33512 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑝 𝑞) 𝑟) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (1.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾)) ∧ ((𝑝 𝑞) 𝑟)(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) → ∃𝑠𝐴 (((𝑝 𝑞) 𝑟)𝐶(((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠) ∧ (((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠)(le‘𝐾)(1.‘𝐾)))
9068, 79, 81, 88, 89syl31anc 1320 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ (𝑝 𝑞)(le‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑟𝐴 ∧ ((𝑝 𝑞) 𝑟)(le‘𝐾)𝑧)) → ∃𝑠𝐴 (((𝑝 𝑞) 𝑟)𝐶(((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠) ∧ (((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠)(le‘𝐾)(1.‘𝐾)))
91 simpl 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((𝑝 𝑞) 𝑟)𝐶(((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠) ∧ (((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠)(le‘𝐾)(1.‘𝐾)) → ((𝑝 𝑞) 𝑟)𝐶(((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠))
9291reximi 2993 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (∃𝑠𝐴 (((𝑝 𝑞) 𝑟)𝐶(((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠) ∧ (((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠)(le‘𝐾)(1.‘𝐾)) → ∃𝑠𝐴 ((𝑝 𝑞) 𝑟)𝐶(((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠))
9390, 92syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ (𝑝 𝑞)(le‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑟𝐴 ∧ ((𝑝 𝑞) 𝑟)(le‘𝐾)𝑧)) → ∃𝑠𝐴 ((𝑝 𝑞) 𝑟)𝐶(((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠))
94933exp 1255 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) → (((𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ (𝑝 𝑞)(le‘𝐾)𝑦) → ((𝑟𝐴 ∧ ((𝑝 𝑞) 𝑟)(le‘𝐾)𝑧) → ∃𝑠𝐴 ((𝑝 𝑞) 𝑟)𝐶(((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠))))
9594exp4a 630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) → (((𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ (𝑝 𝑞)(le‘𝐾)𝑦) → (𝑟𝐴 → (((𝑝 𝑞) 𝑟)(le‘𝐾)𝑧 → ∃𝑠𝐴 ((𝑝 𝑞) 𝑟)𝐶(((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠)))))
9695ex 448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾) → (((𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ (𝑝 𝑞)(le‘𝐾)𝑦) → (𝑟𝐴 → (((𝑝 𝑞) 𝑟)(le‘𝐾)𝑧 → ∃𝑠𝐴 ((𝑝 𝑞) 𝑟)𝐶(((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠))))))
97963adant2 1072 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾) → (((𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ (𝑝 𝑞)(le‘𝐾)𝑦) → (𝑟𝐴 → (((𝑝 𝑞) 𝑟)(le‘𝐾)𝑧 → ∃𝑠𝐴 ((𝑝 𝑞) 𝑟)𝐶(((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠))))))
98973imp 1248 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾) ∧ ((𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ (𝑝 𝑞)(le‘𝐾)𝑦)) → (𝑟𝐴 → (((𝑝 𝑞) 𝑟)(le‘𝐾)𝑧 → ∃𝑠𝐴 ((𝑝 𝑞) 𝑟)𝐶(((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠))))
99983adant2l 1311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ (𝑝 𝑞)(le‘𝐾)𝑦)) → (𝑟𝐴 → (((𝑝 𝑞) 𝑟)(le‘𝐾)𝑧 → ∃𝑠𝐴 ((𝑝 𝑞) 𝑟)𝐶(((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠))))
10099imp 443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ (𝑝 𝑞)(le‘𝐾)𝑦)) ∧ 𝑟𝐴) → (((𝑝 𝑞) 𝑟)(le‘𝐾)𝑧 → ∃𝑠𝐴 ((𝑝 𝑞) 𝑟)𝐶(((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠)))
101100anim2d 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ (𝑝 𝑞)(le‘𝐾)𝑦)) ∧ 𝑟𝐴) → (((𝑝 𝑞)𝐶((𝑝 𝑞) 𝑟) ∧ ((𝑝 𝑞) 𝑟)(le‘𝐾)𝑧) → ((𝑝 𝑞)𝐶((𝑝 𝑞) 𝑟) ∧ ∃𝑠𝐴 ((𝑝 𝑞) 𝑟)𝐶(((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠))))
102101reximdva 2999 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ (𝑝 𝑞)(le‘𝐾)𝑦)) → (∃𝑟𝐴 ((𝑝 𝑞)𝐶((𝑝 𝑞) 𝑟) ∧ ((𝑝 𝑞) 𝑟)(le‘𝐾)𝑧) → ∃𝑟𝐴 ((𝑝 𝑞)𝐶((𝑝 𝑞) 𝑟) ∧ ∃𝑠𝐴 ((𝑝 𝑞) 𝑟)𝐶(((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠))))
10367, 102mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ (𝑝 𝑞)(le‘𝐾)𝑦)) → ∃𝑟𝐴 ((𝑝 𝑞)𝐶((𝑝 𝑞) 𝑟) ∧ ∃𝑠𝐴 ((𝑝 𝑞) 𝑟)𝐶(((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠)))
1041033exp 1255 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑦(lt‘𝐾)𝑧𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) → (((𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ (𝑝 𝑞)(le‘𝐾)𝑦) → ∃𝑟𝐴 ((𝑝 𝑞)𝐶((𝑝 𝑞) 𝑟) ∧ ∃𝑠𝐴 ((𝑝 𝑞) 𝑟)𝐶(((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠)))))
105104exp4a 630 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑦(lt‘𝐾)𝑧𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) → ((𝑝𝐴𝑞𝐴) → ((𝑝 𝑞)(le‘𝐾)𝑦 → ∃𝑟𝐴 ((𝑝 𝑞)𝐶((𝑝 𝑞) 𝑟) ∧ ∃𝑠𝐴 ((𝑝 𝑞) 𝑟)𝐶(((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠))))))
106105exp4a 630 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑦(lt‘𝐾)𝑧𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) → (𝑝𝐴 → (𝑞𝐴 → ((𝑝 𝑞)(le‘𝐾)𝑦 → ∃𝑟𝐴 ((𝑝 𝑞)𝐶((𝑝 𝑞) 𝑟) ∧ ∃𝑠𝐴 ((𝑝 𝑞) 𝑟)𝐶(((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠)))))))
1071063adant2l 1311 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑦(lt‘𝐾)𝑧𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) → (𝑝𝐴 → (𝑞𝐴 → ((𝑝 𝑞)(le‘𝐾)𝑦 → ∃𝑟𝐴 ((𝑝 𝑞)𝐶((𝑝 𝑞) 𝑟) ∧ ∃𝑠𝐴 ((𝑝 𝑞) 𝑟)𝐶(((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠)))))))
1081073imp1 1271 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ 𝑝𝐴) ∧ 𝑞𝐴) → ((𝑝 𝑞)(le‘𝐾)𝑦 → ∃𝑟𝐴 ((𝑝 𝑞)𝐶((𝑝 𝑞) 𝑟) ∧ ∃𝑠𝐴 ((𝑝 𝑞) 𝑟)𝐶(((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠))))
109108anim2d 586 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ 𝑝𝐴) ∧ 𝑞𝐴) → ((𝑝𝐶(𝑝 𝑞) ∧ (𝑝 𝑞)(le‘𝐾)𝑦) → (𝑝𝐶(𝑝 𝑞) ∧ ∃𝑟𝐴 ((𝑝 𝑞)𝐶((𝑝 𝑞) 𝑟) ∧ ∃𝑠𝐴 ((𝑝 𝑞) 𝑟)𝐶(((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠)))))
110109reximdva 2999 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ 𝑝𝐴) → (∃𝑞𝐴 (𝑝𝐶(𝑝 𝑞) ∧ (𝑝 𝑞)(le‘𝐾)𝑦) → ∃𝑞𝐴 (𝑝𝐶(𝑝 𝑞) ∧ ∃𝑟𝐴 ((𝑝 𝑞)𝐶((𝑝 𝑞) 𝑟) ∧ ∃𝑠𝐴 ((𝑝 𝑞) 𝑟)𝐶(((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠)))))
1111103adant2l 1311 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾))) ∧ 𝑝𝐴) → (∃𝑞𝐴 (𝑝𝐶(𝑝 𝑞) ∧ (𝑝 𝑞)(le‘𝐾)𝑦) → ∃𝑞𝐴 (𝑝𝐶(𝑝 𝑞) ∧ ∃𝑟𝐴 ((𝑝 𝑞)𝐶((𝑝 𝑞) 𝑟) ∧ ∃𝑠𝐴 ((𝑝 𝑞) 𝑟)𝐶(((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠)))))
1121113adant3r 1314 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾))) ∧ (𝑝𝐴𝑝(le‘𝐾)𝑥)) → (∃𝑞𝐴 (𝑝𝐶(𝑝 𝑞) ∧ (𝑝 𝑞)(le‘𝐾)𝑦) → ∃𝑞𝐴 (𝑝𝐶(𝑝 𝑞) ∧ ∃𝑟𝐴 ((𝑝 𝑞)𝐶((𝑝 𝑞) 𝑟) ∧ ∃𝑠𝐴 ((𝑝 𝑞) 𝑟)𝐶(((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠)))))
11347, 112mpd 15 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾))) ∧ (𝑝𝐴𝑝(le‘𝐾)𝑥)) → ∃𝑞𝐴 (𝑝𝐶(𝑝 𝑞) ∧ ∃𝑟𝐴 ((𝑝 𝑞)𝐶((𝑝 𝑞) 𝑟) ∧ ∃𝑠𝐴 ((𝑝 𝑞) 𝑟)𝐶(((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠))))
1141133expia 1258 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)))) → ((𝑝𝐴𝑝(le‘𝐾)𝑥) → ∃𝑞𝐴 (𝑝𝐶(𝑝 𝑞) ∧ ∃𝑟𝐴 ((𝑝 𝑞)𝐶((𝑝 𝑞) 𝑟) ∧ ∃𝑠𝐴 ((𝑝 𝑞) 𝑟)𝐶(((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠)))))
115114expd 450 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)))) → (𝑝𝐴 → (𝑝(le‘𝐾)𝑥 → ∃𝑞𝐴 (𝑝𝐶(𝑝 𝑞) ∧ ∃𝑟𝐴 ((𝑝 𝑞)𝐶((𝑝 𝑞) 𝑟) ∧ ∃𝑠𝐴 ((𝑝 𝑞) 𝑟)𝐶(((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠))))))
116115reximdvai 2997 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)))) → (∃𝑝𝐴 𝑝(le‘𝐾)𝑥 → ∃𝑝𝐴𝑞𝐴 (𝑝𝐶(𝑝 𝑞) ∧ ∃𝑟𝐴 ((𝑝 𝑞)𝐶((𝑝 𝑞) 𝑟) ∧ ∃𝑠𝐴 ((𝑝 𝑞) 𝑟)𝐶(((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠)))))
11734, 116mpd 15 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)))) → ∃𝑝𝐴𝑞𝐴 (𝑝𝐶(𝑝 𝑞) ∧ ∃𝑟𝐴 ((𝑝 𝑞)𝐶((𝑝 𝑞) 𝑟) ∧ ∃𝑠𝐴 ((𝑝 𝑞) 𝑟)𝐶(((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠))))
1181173exp1 1274 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL → ((𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑧 ∈ (Base‘𝐾) → ((((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾))) → ∃𝑝𝐴𝑞𝐴 (𝑝𝐶(𝑝 𝑞) ∧ ∃𝑟𝐴 ((𝑝 𝑞)𝐶((𝑝 𝑞) 𝑟) ∧ ∃𝑠𝐴 ((𝑝 𝑞) 𝑟)𝐶(((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠)))))))
119118imp 443 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾))) → (𝑧 ∈ (Base‘𝐾) → ((((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾))) → ∃𝑝𝐴𝑞𝐴 (𝑝𝐶(𝑝 𝑞) ∧ ∃𝑟𝐴 ((𝑝 𝑞)𝐶((𝑝 𝑞) 𝑟) ∧ ∃𝑠𝐴 ((𝑝 𝑞) 𝑟)𝐶(((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠))))))
120119rexlimdv 3011 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾))) → (∃𝑧 ∈ (Base‘𝐾)(((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾))) → ∃𝑝𝐴𝑞𝐴 (𝑝𝐶(𝑝 𝑞) ∧ ∃𝑟𝐴 ((𝑝 𝑞)𝐶((𝑝 𝑞) 𝑟) ∧ ∃𝑠𝐴 ((𝑝 𝑞) 𝑟)𝐶(((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠)))))
121120rexlimdvva 3019 . 2 (𝐾 ∈ HL → (∃𝑥 ∈ (Base‘𝐾)∃𝑦 ∈ (Base‘𝐾)∃𝑧 ∈ (Base‘𝐾)(((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾))) → ∃𝑝𝐴𝑞𝐴 (𝑝𝐶(𝑝 𝑞) ∧ ∃𝑟𝐴 ((𝑝 𝑞)𝐶((𝑝 𝑞) 𝑟) ∧ ∃𝑠𝐴 ((𝑝 𝑞) 𝑟)𝐶(((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠)))))
1225, 121mpd 15 1 (𝐾 ∈ HL → ∃𝑝𝐴𝑞𝐴 (𝑝𝐶(𝑝 𝑞) ∧ ∃𝑟𝐴 ((𝑝 𝑞)𝐶((𝑝 𝑞) 𝑟) ∧ ∃𝑠𝐴 ((𝑝 𝑞) 𝑟)𝐶(((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1976  wrex 2896   class class class wbr 4577  cfv 5790  (class class class)co 6527  Basecbs 15641  lecple 15721  Posetcpo 16709  ltcplt 16710  joincjn 16713  0.cp0 16806  1.cp1 16807  Latclat 16814  OPcops 33273  OLcol 33275  ccvr 33363  Atomscatm 33364  HLchlt 33451
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-op 4131  df-uni 4367  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-id 4943  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-preset 16697  df-poset 16715  df-plt 16727  df-lub 16743  df-glb 16744  df-join 16745  df-meet 16746  df-p0 16808  df-p1 16809  df-lat 16815  df-clat 16877  df-oposet 33277  df-ol 33279  df-oml 33280  df-covers 33367  df-ats 33368  df-atl 33399  df-cvlat 33423  df-hlat 33452
This theorem is referenced by:  3dim0  33557
  Copyright terms: Public domain W3C validator