Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  atlle0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem atlle0 34910
Description: An element less than or equal to zero equals zero. (chle0 28430 analog.) (Contributed by NM, 21-Oct-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
atl0le.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
atl0le.l = (le‘𝐾)
atl0le.z 0 = (0.‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
atlle0 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋 0𝑋 = 0 ))

Proof of Theorem atlle0
StepHypRef Expression
1 atl0le.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 atl0le.l . . . 4 = (le‘𝐾)
3 atl0le.z . . . 4 0 = (0.‘𝐾)
41, 2, 3atl0le 34909 . . 3 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐵) → 0 𝑋)
54biantrud 527 . 2 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋 0 ↔ (𝑋 00 𝑋)))
6 atlpos 34906 . . . 4 (𝐾 ∈ AtLat → 𝐾 ∈ Poset)
76adantr 480 . . 3 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐵) → 𝐾 ∈ Poset)
8 simpr 476 . . 3 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐵) → 𝑋𝐵)
91, 3atl0cl 34908 . . . 4 (𝐾 ∈ AtLat → 0𝐵)
109adantr 480 . . 3 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐵) → 0𝐵)
111, 2posasymb 16999 . . 3 ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋𝐵0𝐵) → ((𝑋 00 𝑋) ↔ 𝑋 = 0 ))
127, 8, 10, 11syl3anc 1366 . 2 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐵) → ((𝑋 00 𝑋) ↔ 𝑋 = 0 ))
135, 12bitrd 268 1 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋 0𝑋 = 0 ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030   class class class wbr 4685  cfv 5926  Basecbs 15904  lecple 15995  Posetcpo 16987  0.cp0 17084  AtLatcal 34869
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-preset 16975  df-poset 16993  df-glb 17022  df-p0 17086  df-lat 17093  df-atl 34903
This theorem is referenced by:  dia0  36658
  Copyright terms: Public domain W3C validator