Theorem atlle0 34910

Description: An element less than or equal to zero equals zero. (chle0 28430 analog.) (Contributed by NM, 21-Oct-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
atl0le.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
atl0le.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
atl0le.z	⊢ 0 = (0.‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
atlle0	⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 ≤ 0 ↔ 𝑋 = 0 ))

Proof of Theorem atlle0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		atl0le.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		atl0le.l	. . . 4 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		atl0le.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0.‘𝐾)
4	1, 2, 3	atl0le 34909	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 0 ≤ 𝑋)
5	4	biantrud 527	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 ≤ 0 ↔ (𝑋 ≤ 0 ∧ 0 ≤ 𝑋)))
6		atlpos 34906	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ AtLat → 𝐾 ∈ Poset)
7	6	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ Poset)
8		simpr 476	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
9	1, 3	atl0cl 34908	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ AtLat → 0 ∈ 𝐵)
10	9	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 0 ∈ 𝐵)
11	1, 2	posasymb 16999	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝐵) → ((𝑋 ≤ 0 ∧ 0 ≤ 𝑋) ↔ 𝑋 = 0 ))
12	7, 8, 10, 11	syl3anc 1366	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑋 ≤ 0 ∧ 0 ≤ 𝑋) ↔ 𝑋 = 0 ))
13	5, 12	bitrd 268	1 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 ≤ 0 ↔ 𝑋 = 0 ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030   class class class wbr 4685  ‘cfv 5926  Basecbs 15904  lecple 15995  Posetcpo 16987  0.cp0 17084  AtLatcal 34869

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-preset 16975  df-poset 16993  df-glb 17022  df-p0 17086  df-lat 17093  df-atl 34903

This theorem is referenced by:  dia0  36658