Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  atltcvr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem atltcvr 35039
Description: An equivalence of less-than ordering and covers relation. (Contributed by NM, 7-Feb-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
atltcvr.s < = (lt‘𝐾)
atltcvr.j = (join‘𝐾)
atltcvr.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
atltcvr.c 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
atltcvr ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → (𝑃 < (𝑄 𝑅) ↔ 𝑃𝐶(𝑄 𝑅)))

Proof of Theorem atltcvr
StepHypRef Expression
1 oveq1 6697 . . . . . 6 (𝑄 = 𝑅 → (𝑄 𝑅) = (𝑅 𝑅))
2 simpr3 1089 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → 𝑅𝐴)
3 atltcvr.j . . . . . . . 8 = (join‘𝐾)
4 atltcvr.a . . . . . . . 8 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
53, 4hlatjidm 34973 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑅𝐴) → (𝑅 𝑅) = 𝑅)
62, 5syldan 486 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → (𝑅 𝑅) = 𝑅)
71, 6sylan9eqr 2707 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ 𝑄 = 𝑅) → (𝑄 𝑅) = 𝑅)
87breq2d 4697 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ 𝑄 = 𝑅) → (𝑃 < (𝑄 𝑅) ↔ 𝑃 < 𝑅))
9 hlatl 34965 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat)
109adantr 480 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → 𝐾 ∈ AtLat)
11 simpr1 1087 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → 𝑃𝐴)
12 atltcvr.s . . . . . . . 8 < = (lt‘𝐾)
1312, 4atnlt 34918 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃𝐴𝑅𝐴) → ¬ 𝑃 < 𝑅)
1410, 11, 2, 13syl3anc 1366 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → ¬ 𝑃 < 𝑅)
1514pm2.21d 118 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → (𝑃 < 𝑅𝑃𝐶(𝑄 𝑅)))
1615adantr 480 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ 𝑄 = 𝑅) → (𝑃 < 𝑅𝑃𝐶(𝑄 𝑅)))
178, 16sylbid 230 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ 𝑄 = 𝑅) → (𝑃 < (𝑄 𝑅) → 𝑃𝐶(𝑄 𝑅)))
18 simpl 472 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → 𝐾 ∈ HL)
19 hllat 34968 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
2019adantr 480 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → 𝐾 ∈ Lat)
21 simpr2 1088 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → 𝑄𝐴)
22 eqid 2651 . . . . . . . . 9 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
2322, 4atbase 34894 . . . . . . . 8 (𝑄𝐴𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
2421, 23syl 17 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → 𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
2522, 4atbase 34894 . . . . . . . 8 (𝑅𝐴𝑅 ∈ (Base‘𝐾))
262, 25syl 17 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → 𝑅 ∈ (Base‘𝐾))
2722, 3latjcl 17098 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑄 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑅 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑄 𝑅) ∈ (Base‘𝐾))
2820, 24, 26, 27syl3anc 1366 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → (𝑄 𝑅) ∈ (Base‘𝐾))
29 eqid 2651 . . . . . . 7 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
3029, 12pltle 17008 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴 ∧ (𝑄 𝑅) ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑃 < (𝑄 𝑅) → 𝑃(le‘𝐾)(𝑄 𝑅)))
3118, 11, 28, 30syl3anc 1366 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → (𝑃 < (𝑄 𝑅) → 𝑃(le‘𝐾)(𝑄 𝑅)))
3231adantr 480 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ 𝑄𝑅) → (𝑃 < (𝑄 𝑅) → 𝑃(le‘𝐾)(𝑄 𝑅)))
33 simpll 805 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ (𝑄𝑅𝑃(le‘𝐾)(𝑄 𝑅))) → 𝐾 ∈ HL)
34 simplr 807 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ (𝑄𝑅𝑃(le‘𝐾)(𝑄 𝑅))) → (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴))
35 simpr 476 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ (𝑄𝑅𝑃(le‘𝐾)(𝑄 𝑅))) → (𝑄𝑅𝑃(le‘𝐾)(𝑄 𝑅)))
3633, 34, 353jca 1261 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ (𝑄𝑅𝑃(le‘𝐾)(𝑄 𝑅))) → (𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑄𝑅𝑃(le‘𝐾)(𝑄 𝑅))))
3736anassrs 681 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ 𝑄𝑅) ∧ 𝑃(le‘𝐾)(𝑄 𝑅)) → (𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑄𝑅𝑃(le‘𝐾)(𝑄 𝑅))))
38 atltcvr.c . . . . . . 7 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
3929, 3, 38, 4atcvrj2 35037 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑄𝑅𝑃(le‘𝐾)(𝑄 𝑅))) → 𝑃𝐶(𝑄 𝑅))
4037, 39syl 17 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ 𝑄𝑅) ∧ 𝑃(le‘𝐾)(𝑄 𝑅)) → 𝑃𝐶(𝑄 𝑅))
4140ex 449 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ 𝑄𝑅) → (𝑃(le‘𝐾)(𝑄 𝑅) → 𝑃𝐶(𝑄 𝑅)))
4232, 41syld 47 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ 𝑄𝑅) → (𝑃 < (𝑄 𝑅) → 𝑃𝐶(𝑄 𝑅)))
4317, 42pm2.61dane 2910 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → (𝑃 < (𝑄 𝑅) → 𝑃𝐶(𝑄 𝑅)))
4422, 4atbase 34894 . . . 4 (𝑃𝐴𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
4511, 44syl 17 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
4622, 12, 38cvrlt 34875 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑄 𝑅) ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑃𝐶(𝑄 𝑅)) → 𝑃 < (𝑄 𝑅))
4746ex 449 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑄 𝑅) ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑃𝐶(𝑄 𝑅) → 𝑃 < (𝑄 𝑅)))
4818, 45, 28, 47syl3anc 1366 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → (𝑃𝐶(𝑄 𝑅) → 𝑃 < (𝑄 𝑅)))
4943, 48impbid 202 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → (𝑃 < (𝑄 𝑅) ↔ 𝑃𝐶(𝑄 𝑅)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823   class class class wbr 4685  cfv 5926  (class class class)co 6690  Basecbs 15904  lecple 15995  ltcplt 16988  joincjn 16991  Latclat 17092  ccvr 34867  Atomscatm 34868  AtLatcal 34869  HLchlt 34955
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-preset 16975  df-poset 16993  df-plt 17005  df-lub 17021  df-glb 17022  df-join 17023  df-meet 17024  df-p0 17086  df-lat 17093  df-clat 17155  df-oposet 34781  df-ol 34783  df-oml 34784  df-covers 34871  df-ats 34872  df-atl 34903  df-cvlat 34927  df-hlat 34956
This theorem is referenced by:  atlt  35041  2atlt  35043  atexchltN  35045
  Copyright terms: Public domain W3C validator