Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  atmod1i2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem atmod1i2 35648
Description: Version of modular law pmod1i 35637 that holds in a Hilbert lattice, when one element is an atom. (Contributed by NM, 14-May-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 10-May-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
atmod.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
atmod.l = (le‘𝐾)
atmod.j = (join‘𝐾)
atmod.m = (meet‘𝐾)
atmod.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
atmod1i2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 𝑌) → (𝑋 (𝑃 𝑌)) = ((𝑋 𝑃) 𝑌))

Proof of Theorem atmod1i2
StepHypRef Expression
1 simpl 474 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑋𝐵𝑌𝐵)) → 𝐾 ∈ HL)
2 simpr2 1236 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑋𝐵𝑌𝐵)) → 𝑋𝐵)
3 simpr1 1234 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑋𝐵𝑌𝐵)) → 𝑃𝐴)
4 atmod.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐾)
5 atmod.j . . . . . 6 = (join‘𝐾)
6 atmod.a . . . . . 6 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
7 eqid 2760 . . . . . 6 (pmap‘𝐾) = (pmap‘𝐾)
8 eqid 2760 . . . . . 6 (+𝑃𝐾) = (+𝑃𝐾)
94, 5, 6, 7, 8pmapjat1 35642 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) → ((pmap‘𝐾)‘(𝑋 𝑃)) = (((pmap‘𝐾)‘𝑋)(+𝑃𝐾)((pmap‘𝐾)‘𝑃)))
101, 2, 3, 9syl3anc 1477 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑋𝐵𝑌𝐵)) → ((pmap‘𝐾)‘(𝑋 𝑃)) = (((pmap‘𝐾)‘𝑋)(+𝑃𝐾)((pmap‘𝐾)‘𝑃)))
114, 6atbase 35079 . . . . . 6 (𝑃𝐴𝑃𝐵)
123, 11syl 17 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑋𝐵𝑌𝐵)) → 𝑃𝐵)
13 simpr3 1238 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑋𝐵𝑌𝐵)) → 𝑌𝐵)
14 atmod.l . . . . . 6 = (le‘𝐾)
15 atmod.m . . . . . 6 = (meet‘𝐾)
164, 14, 5, 15, 7, 8hlmod1i 35645 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐵𝑌𝐵)) → ((𝑋 𝑌 ∧ ((pmap‘𝐾)‘(𝑋 𝑃)) = (((pmap‘𝐾)‘𝑋)(+𝑃𝐾)((pmap‘𝐾)‘𝑃))) → ((𝑋 𝑃) 𝑌) = (𝑋 (𝑃 𝑌))))
171, 2, 12, 13, 16syl13anc 1479 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑋𝐵𝑌𝐵)) → ((𝑋 𝑌 ∧ ((pmap‘𝐾)‘(𝑋 𝑃)) = (((pmap‘𝐾)‘𝑋)(+𝑃𝐾)((pmap‘𝐾)‘𝑃))) → ((𝑋 𝑃) 𝑌) = (𝑋 (𝑃 𝑌))))
1810, 17mpan2d 712 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (𝑋 𝑌 → ((𝑋 𝑃) 𝑌) = (𝑋 (𝑃 𝑌))))
19183impia 1110 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 𝑌) → ((𝑋 𝑃) 𝑌) = (𝑋 (𝑃 𝑌)))
2019eqcomd 2766 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 𝑌) → (𝑋 (𝑃 𝑌)) = ((𝑋 𝑃) 𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139   class class class wbr 4804  cfv 6049  (class class class)co 6813  Basecbs 16059  lecple 16150  joincjn 17145  meetcmee 17146  Atomscatm 35053  HLchlt 35140  pmapcpmap 35286  +𝑃cpadd 35584
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-iin 4675  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-preset 17129  df-poset 17147  df-plt 17159  df-lub 17175  df-glb 17176  df-join 17177  df-meet 17178  df-p0 17240  df-lat 17247  df-clat 17309  df-oposet 34966  df-ol 34968  df-oml 34969  df-covers 35056  df-ats 35057  df-atl 35088  df-cvlat 35112  df-hlat 35141  df-psubsp 35292  df-pmap 35293  df-padd 35585
This theorem is referenced by:  atmod2i2  35651  atmod3i2  35654  atmod4i2  35656  lhpmod2i2  35827  dihmeetlem7N  37101  dihjatc1  37102
  Copyright terms: Public domain W3C validator