Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  atmod3i2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem atmod3i2 33969
Description: Version of modular law that holds in a Hilbert lattice, when one element is an atom. (Contributed by NM, 10-Jun-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 10-May-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
atmod.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
atmod.l = (le‘𝐾)
atmod.j = (join‘𝐾)
atmod.m = (meet‘𝐾)
atmod.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
atmod3i2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 𝑌) → (𝑋 (𝑌 𝑃)) = (𝑌 (𝑋 𝑃)))

Proof of Theorem atmod3i2
StepHypRef Expression
1 hllat 33468 . . . 4 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
213ad2ant1 1074 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 𝑌) → 𝐾 ∈ Lat)
3 simp23 1088 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 𝑌) → 𝑌𝐵)
4 simp22 1087 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 𝑌) → 𝑋𝐵)
5 simp21 1086 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 𝑌) → 𝑃𝐴)
6 atmod.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐾)
7 atmod.a . . . . . 6 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
86, 7atbase 33394 . . . . 5 (𝑃𝐴𝑃𝐵)
95, 8syl 17 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 𝑌) → 𝑃𝐵)
10 atmod.j . . . . 5 = (join‘𝐾)
116, 10latjcl 16817 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐵) → (𝑋 𝑃) ∈ 𝐵)
122, 4, 9, 11syl3anc 1317 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 𝑌) → (𝑋 𝑃) ∈ 𝐵)
13 atmod.m . . . 4 = (meet‘𝐾)
146, 13latmcom 16841 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑌𝐵 ∧ (𝑋 𝑃) ∈ 𝐵) → (𝑌 (𝑋 𝑃)) = ((𝑋 𝑃) 𝑌))
152, 3, 12, 14syl3anc 1317 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 𝑌) → (𝑌 (𝑋 𝑃)) = ((𝑋 𝑃) 𝑌))
16 atmod.l . . 3 = (le‘𝐾)
176, 16, 10, 13, 7atmod1i2 33963 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 𝑌) → (𝑋 (𝑃 𝑌)) = ((𝑋 𝑃) 𝑌))
186, 13latmcom 16841 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃𝐵𝑌𝐵) → (𝑃 𝑌) = (𝑌 𝑃))
192, 9, 3, 18syl3anc 1317 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 𝑌) → (𝑃 𝑌) = (𝑌 𝑃))
2019oveq2d 6540 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 𝑌) → (𝑋 (𝑃 𝑌)) = (𝑋 (𝑌 𝑃)))
2115, 17, 203eqtr2rd 2647 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 𝑌) → (𝑋 (𝑌 𝑃)) = (𝑌 (𝑋 𝑃)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1976   class class class wbr 4574  cfv 5787  (class class class)co 6524  Basecbs 15638  lecple 15718  joincjn 16710  meetcmee 16711  Latclat 16811  Atomscatm 33368  HLchlt 33455
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2229  ax-ext 2586  ax-rep 4690  ax-sep 4700  ax-nul 4709  ax-pow 4761  ax-pr 4825  ax-un 6821
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2458  df-mo 2459  df-clab 2593  df-cleq 2599  df-clel 2602  df-nfc 2736  df-ne 2778  df-ral 2897  df-rex 2898  df-reu 2899  df-rab 2901  df-v 3171  df-sbc 3399  df-csb 3496  df-dif 3539  df-un 3541  df-in 3543  df-ss 3550  df-nul 3871  df-if 4033  df-pw 4106  df-sn 4122  df-pr 4124  df-op 4128  df-uni 4364  df-iun 4448  df-iin 4449  df-br 4575  df-opab 4635  df-mpt 4636  df-id 4940  df-xp 5031  df-rel 5032  df-cnv 5033  df-co 5034  df-dm 5035  df-rn 5036  df-res 5037  df-ima 5038  df-iota 5751  df-fun 5789  df-fn 5790  df-f 5791  df-f1 5792  df-fo 5793  df-f1o 5794  df-fv 5795  df-riota 6486  df-ov 6527  df-oprab 6528  df-mpt2 6529  df-1st 7033  df-2nd 7034  df-preset 16694  df-poset 16712  df-plt 16724  df-lub 16740  df-glb 16741  df-join 16742  df-meet 16743  df-p0 16805  df-lat 16812  df-clat 16874  df-oposet 33281  df-ol 33283  df-oml 33284  df-covers 33371  df-ats 33372  df-atl 33403  df-cvlat 33427  df-hlat 33456  df-psubsp 33607  df-pmap 33608  df-padd 33900
This theorem is referenced by:  dalawlem3  33977
  Copyright terms: Public domain W3C validator