Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  atmod4i1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem atmod4i1 35673
Description: Version of modular law that holds in a Hilbert lattice, when one element is an atom. (Contributed by NM, 10-Jun-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 10-May-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
atmod.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
atmod.l = (le‘𝐾)
atmod.j = (join‘𝐾)
atmod.m = (meet‘𝐾)
atmod.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
atmod4i1 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑃 𝑌) → ((𝑋 𝑌) 𝑃) = ((𝑋 𝑃) 𝑌))

Proof of Theorem atmod4i1
StepHypRef Expression
1 hllat 35171 . . . 4 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
213ad2ant1 1128 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑃 𝑌) → 𝐾 ∈ Lat)
3 simp22 1250 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑃 𝑌) → 𝑋𝐵)
4 simp23 1251 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑃 𝑌) → 𝑌𝐵)
5 atmod.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐾)
6 atmod.m . . . . 5 = (meet‘𝐾)
75, 6latmcl 17273 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 𝑌) ∈ 𝐵)
82, 3, 4, 7syl3anc 1477 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑃 𝑌) → (𝑋 𝑌) ∈ 𝐵)
9 simp21 1249 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑃 𝑌) → 𝑃𝐴)
10 atmod.a . . . . 5 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
115, 10atbase 35097 . . . 4 (𝑃𝐴𝑃𝐵)
129, 11syl 17 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑃 𝑌) → 𝑃𝐵)
13 atmod.j . . . 4 = (join‘𝐾)
145, 13latjcom 17280 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐵𝑃𝐵) → ((𝑋 𝑌) 𝑃) = (𝑃 (𝑋 𝑌)))
152, 8, 12, 14syl3anc 1477 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑃 𝑌) → ((𝑋 𝑌) 𝑃) = (𝑃 (𝑋 𝑌)))
16 atmod.l . . 3 = (le‘𝐾)
175, 16, 13, 6, 10atmod1i1 35664 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑃 𝑌) → (𝑃 (𝑋 𝑌)) = ((𝑃 𝑋) 𝑌))
185, 13latjcom 17280 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃𝐵𝑋𝐵) → (𝑃 𝑋) = (𝑋 𝑃))
192, 12, 3, 18syl3anc 1477 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑃 𝑌) → (𝑃 𝑋) = (𝑋 𝑃))
2019oveq1d 6829 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑃 𝑌) → ((𝑃 𝑋) 𝑌) = ((𝑋 𝑃) 𝑌))
2115, 17, 203eqtrd 2798 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑃 𝑌) → ((𝑋 𝑌) 𝑃) = ((𝑋 𝑃) 𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139   class class class wbr 4804  cfv 6049  (class class class)co 6814  Basecbs 16079  lecple 16170  joincjn 17165  meetcmee 17166  Latclat 17266  Atomscatm 35071  HLchlt 35158
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-iin 4675  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-preset 17149  df-poset 17167  df-plt 17179  df-lub 17195  df-glb 17196  df-join 17197  df-meet 17198  df-p0 17260  df-lat 17267  df-clat 17329  df-oposet 34984  df-ol 34986  df-oml 34987  df-covers 35074  df-ats 35075  df-atl 35106  df-cvlat 35130  df-hlat 35159  df-psubsp 35310  df-pmap 35311  df-padd 35603
This theorem is referenced by:  dalawlem3  35680  dalawlem7  35684  dalawlem11  35688  cdleme9  36061  cdleme20aN  36117  cdleme22cN  36150  cdleme22d  36151  cdlemh1  36623  dia2dimlem1  36873  dia2dimlem2  36874  dia2dimlem3  36875
  Copyright terms: Public domain W3C validator