Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  atnem0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem atnem0 35104
Description: The meet of distinct atoms is zero. (atnemeq0 29541 analog.) (Contributed by NM, 5-Nov-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
atnem0.m = (meet‘𝐾)
atnem0.z 0 = (0.‘𝐾)
atnem0.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
atnem0 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → (𝑃𝑄 ↔ (𝑃 𝑄) = 0 ))

Proof of Theorem atnem0
StepHypRef Expression
1 eqid 2756 . . 3 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
2 atnem0.a . . 3 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
31, 2atncmp 35098 . 2 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → (¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑄𝑃𝑄))
4 eqid 2756 . . . 4 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
54, 2atbase 35075 . . 3 (𝑄𝐴𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
6 atnem0.m . . . 4 = (meet‘𝐾)
7 atnem0.z . . . 4 0 = (0.‘𝐾)
84, 1, 6, 7, 2atnle 35103 . . 3 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃𝐴𝑄 ∈ (Base‘𝐾)) → (¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑄 ↔ (𝑃 𝑄) = 0 ))
95, 8syl3an3 1170 . 2 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → (¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑄 ↔ (𝑃 𝑄) = 0 ))
103, 9bitr3d 270 1 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → (𝑃𝑄 ↔ (𝑃 𝑄) = 0 ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  w3a 1072   = wceq 1628  wcel 2135  wne 2928   class class class wbr 4800  cfv 6045  (class class class)co 6809  Basecbs 16055  lecple 16146  meetcmee 17142  0.cp0 17234  Atomscatm 35049  AtLatcal 35050
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1867  ax-4 1882  ax-5 1984  ax-6 2050  ax-7 2086  ax-8 2137  ax-9 2144  ax-10 2164  ax-11 2179  ax-12 2192  ax-13 2387  ax-ext 2736  ax-rep 4919  ax-sep 4929  ax-nul 4937  ax-pow 4988  ax-pr 5051  ax-un 7110
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1631  df-ex 1850  df-nf 1855  df-sb 2043  df-eu 2607  df-mo 2608  df-clab 2743  df-cleq 2749  df-clel 2752  df-nfc 2887  df-ne 2929  df-ral 3051  df-rex 3052  df-reu 3053  df-rab 3055  df-v 3338  df-sbc 3573  df-csb 3671  df-dif 3714  df-un 3716  df-in 3718  df-ss 3725  df-nul 4055  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-op 4324  df-uni 4585  df-iun 4670  df-br 4801  df-opab 4861  df-mpt 4878  df-id 5170  df-xp 5268  df-rel 5269  df-cnv 5270  df-co 5271  df-dm 5272  df-rn 5273  df-res 5274  df-ima 5275  df-iota 6008  df-fun 6047  df-fn 6048  df-f 6049  df-f1 6050  df-fo 6051  df-f1o 6052  df-fv 6053  df-riota 6770  df-ov 6812  df-oprab 6813  df-preset 17125  df-poset 17143  df-plt 17155  df-lub 17171  df-glb 17172  df-join 17173  df-meet 17174  df-p0 17236  df-lat 17243  df-covers 35052  df-ats 35053  df-atl 35084
This theorem is referenced by:  cvlatcvr1  35127  atcvrj1  35216  dalem24  35482  lhp2at0  35817  trlval3  35973  cdleme0e  36003  cdleme7c  36031
  Copyright terms: Public domain W3C validator