HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  atom1d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem atom1d 30057
Description: The 1-dimensional subspaces of Hilbert space are its atoms. Part of Remark 10.3.5 of [BeltramettiCassinelli] p. 107. (Contributed by NM, 4-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
atom1d (𝐴 ∈ HAtoms ↔ ∃𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ≠ 0𝐴 = (span‘{𝑥})))
Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem atom1d
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elat2 30044 . . . 4 (𝐴 ∈ HAtoms ↔ (𝐴C ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ ∀𝑦C (𝑦𝐴 → (𝑦 = 𝐴𝑦 = 0)))))
2 chne0 29198 . . . . . 6 (𝐴C → (𝐴 ≠ 0 ↔ ∃𝑥𝐴 𝑥 ≠ 0))
3 nfv 1906 . . . . . . 7 𝑥 𝐴C
4 nfv 1906 . . . . . . . 8 𝑥𝑦C (𝑦𝐴 → (𝑦 = 𝐴𝑦 = 0))
5 nfre1 3303 . . . . . . . 8 𝑥𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ≠ 0𝐴 = (⊥‘(⊥‘{𝑥})))
64, 5nfim 1888 . . . . . . 7 𝑥(∀𝑦C (𝑦𝐴 → (𝑦 = 𝐴𝑦 = 0)) → ∃𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ≠ 0𝐴 = (⊥‘(⊥‘{𝑥}))))
7 chel 28934 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴C𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ ℋ)
87adantrr 713 . . . . . . . . . 10 ((𝐴C ∧ (𝑥𝐴𝑥 ≠ 0)) → 𝑥 ∈ ℋ)
98adantrr 713 . . . . . . . . 9 ((𝐴C ∧ ((𝑥𝐴𝑥 ≠ 0) ∧ ∀𝑦C (𝑦𝐴 → (𝑦 = 𝐴𝑦 = 0)))) → 𝑥 ∈ ℋ)
10 simprlr 776 . . . . . . . . 9 ((𝐴C ∧ ((𝑥𝐴𝑥 ≠ 0) ∧ ∀𝑦C (𝑦𝐴 → (𝑦 = 𝐴𝑦 = 0)))) → 𝑥 ≠ 0)
11 h1dn0 29256 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ≠ 0) → (⊥‘(⊥‘{𝑥})) ≠ 0)
127, 11sylan 580 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴C𝑥𝐴) ∧ 𝑥 ≠ 0) → (⊥‘(⊥‘{𝑥})) ≠ 0)
1312anasss 467 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴C ∧ (𝑥𝐴𝑥 ≠ 0)) → (⊥‘(⊥‘{𝑥})) ≠ 0)
1413adantrr 713 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴C ∧ ((𝑥𝐴𝑥 ≠ 0) ∧ ∀𝑦C (𝑦𝐴 → (𝑦 = 𝐴𝑦 = 0)))) → (⊥‘(⊥‘{𝑥})) ≠ 0)
15 ch1dle 30056 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴C𝑥𝐴) → (⊥‘(⊥‘{𝑥})) ⊆ 𝐴)
16 snssi 4733 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ ℋ → {𝑥} ⊆ ℋ)
17 occl 29008 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ({𝑥} ⊆ ℋ → (⊥‘{𝑥}) ∈ C )
187, 16, 173syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴C𝑥𝐴) → (⊥‘{𝑥}) ∈ C )
19 choccl 29010 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((⊥‘{𝑥}) ∈ C → (⊥‘(⊥‘{𝑥})) ∈ C )
20 sseq1 3989 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 = (⊥‘(⊥‘{𝑥})) → (𝑦𝐴 ↔ (⊥‘(⊥‘{𝑥})) ⊆ 𝐴))
21 eqeq1 2822 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 = (⊥‘(⊥‘{𝑥})) → (𝑦 = 𝐴 ↔ (⊥‘(⊥‘{𝑥})) = 𝐴))
22 eqeq1 2822 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 = (⊥‘(⊥‘{𝑥})) → (𝑦 = 0 ↔ (⊥‘(⊥‘{𝑥})) = 0))
2321, 22orbi12d 912 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 = (⊥‘(⊥‘{𝑥})) → ((𝑦 = 𝐴𝑦 = 0) ↔ ((⊥‘(⊥‘{𝑥})) = 𝐴 ∨ (⊥‘(⊥‘{𝑥})) = 0)))
2420, 23imbi12d 346 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 = (⊥‘(⊥‘{𝑥})) → ((𝑦𝐴 → (𝑦 = 𝐴𝑦 = 0)) ↔ ((⊥‘(⊥‘{𝑥})) ⊆ 𝐴 → ((⊥‘(⊥‘{𝑥})) = 𝐴 ∨ (⊥‘(⊥‘{𝑥})) = 0))))
2524rspcv 3615 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((⊥‘(⊥‘{𝑥})) ∈ C → (∀𝑦C (𝑦𝐴 → (𝑦 = 𝐴𝑦 = 0)) → ((⊥‘(⊥‘{𝑥})) ⊆ 𝐴 → ((⊥‘(⊥‘{𝑥})) = 𝐴 ∨ (⊥‘(⊥‘{𝑥})) = 0))))
2618, 19, 253syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴C𝑥𝐴) → (∀𝑦C (𝑦𝐴 → (𝑦 = 𝐴𝑦 = 0)) → ((⊥‘(⊥‘{𝑥})) ⊆ 𝐴 → ((⊥‘(⊥‘{𝑥})) = 𝐴 ∨ (⊥‘(⊥‘{𝑥})) = 0))))
2715, 26mpid 44 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴C𝑥𝐴) → (∀𝑦C (𝑦𝐴 → (𝑦 = 𝐴𝑦 = 0)) → ((⊥‘(⊥‘{𝑥})) = 𝐴 ∨ (⊥‘(⊥‘{𝑥})) = 0)))
2827impr 455 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴C ∧ (𝑥𝐴 ∧ ∀𝑦C (𝑦𝐴 → (𝑦 = 𝐴𝑦 = 0)))) → ((⊥‘(⊥‘{𝑥})) = 𝐴 ∨ (⊥‘(⊥‘{𝑥})) = 0))
2928adantrlr 719 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴C ∧ ((𝑥𝐴𝑥 ≠ 0) ∧ ∀𝑦C (𝑦𝐴 → (𝑦 = 𝐴𝑦 = 0)))) → ((⊥‘(⊥‘{𝑥})) = 𝐴 ∨ (⊥‘(⊥‘{𝑥})) = 0))
3029ord 858 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴C ∧ ((𝑥𝐴𝑥 ≠ 0) ∧ ∀𝑦C (𝑦𝐴 → (𝑦 = 𝐴𝑦 = 0)))) → (¬ (⊥‘(⊥‘{𝑥})) = 𝐴 → (⊥‘(⊥‘{𝑥})) = 0))
31 nne 3017 . . . . . . . . . . . 12 (¬ (⊥‘(⊥‘{𝑥})) ≠ 0 ↔ (⊥‘(⊥‘{𝑥})) = 0)
3230, 31syl6ibr 253 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴C ∧ ((𝑥𝐴𝑥 ≠ 0) ∧ ∀𝑦C (𝑦𝐴 → (𝑦 = 𝐴𝑦 = 0)))) → (¬ (⊥‘(⊥‘{𝑥})) = 𝐴 → ¬ (⊥‘(⊥‘{𝑥})) ≠ 0))
3314, 32mt4d 117 . . . . . . . . . 10 ((𝐴C ∧ ((𝑥𝐴𝑥 ≠ 0) ∧ ∀𝑦C (𝑦𝐴 → (𝑦 = 𝐴𝑦 = 0)))) → (⊥‘(⊥‘{𝑥})) = 𝐴)
3433eqcomd 2824 . . . . . . . . 9 ((𝐴C ∧ ((𝑥𝐴𝑥 ≠ 0) ∧ ∀𝑦C (𝑦𝐴 → (𝑦 = 𝐴𝑦 = 0)))) → 𝐴 = (⊥‘(⊥‘{𝑥})))
35 rspe 3301 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (𝑥 ≠ 0𝐴 = (⊥‘(⊥‘{𝑥})))) → ∃𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ≠ 0𝐴 = (⊥‘(⊥‘{𝑥}))))
369, 10, 34, 35syl12anc 832 . . . . . . . 8 ((𝐴C ∧ ((𝑥𝐴𝑥 ≠ 0) ∧ ∀𝑦C (𝑦𝐴 → (𝑦 = 𝐴𝑦 = 0)))) → ∃𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ≠ 0𝐴 = (⊥‘(⊥‘{𝑥}))))
3736exp44 438 . . . . . . 7 (𝐴C → (𝑥𝐴 → (𝑥 ≠ 0 → (∀𝑦C (𝑦𝐴 → (𝑦 = 𝐴𝑦 = 0)) → ∃𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ≠ 0𝐴 = (⊥‘(⊥‘{𝑥})))))))
383, 6, 37rexlimd 3314 . . . . . 6 (𝐴C → (∃𝑥𝐴 𝑥 ≠ 0 → (∀𝑦C (𝑦𝐴 → (𝑦 = 𝐴𝑦 = 0)) → ∃𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ≠ 0𝐴 = (⊥‘(⊥‘{𝑥}))))))
392, 38sylbid 241 . . . . 5 (𝐴C → (𝐴 ≠ 0 → (∀𝑦C (𝑦𝐴 → (𝑦 = 𝐴𝑦 = 0)) → ∃𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ≠ 0𝐴 = (⊥‘(⊥‘{𝑥}))))))
4039imp32 419 . . . 4 ((𝐴C ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ ∀𝑦C (𝑦𝐴 → (𝑦 = 𝐴𝑦 = 0)))) → ∃𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ≠ 0𝐴 = (⊥‘(⊥‘{𝑥}))))
411, 40sylbi 218 . . 3 (𝐴 ∈ HAtoms → ∃𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ≠ 0𝐴 = (⊥‘(⊥‘{𝑥}))))
42 h1da 30053 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ≠ 0) → (⊥‘(⊥‘{𝑥})) ∈ HAtoms)
43 eleq1 2897 . . . . . . 7 (𝐴 = (⊥‘(⊥‘{𝑥})) → (𝐴 ∈ HAtoms ↔ (⊥‘(⊥‘{𝑥})) ∈ HAtoms))
4442, 43syl5ibr 247 . . . . . 6 (𝐴 = (⊥‘(⊥‘{𝑥})) → ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ≠ 0) → 𝐴 ∈ HAtoms))
4544expdcom 415 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℋ → (𝑥 ≠ 0 → (𝐴 = (⊥‘(⊥‘{𝑥})) → 𝐴 ∈ HAtoms)))
4645impd 411 . . . 4 (𝑥 ∈ ℋ → ((𝑥 ≠ 0𝐴 = (⊥‘(⊥‘{𝑥}))) → 𝐴 ∈ HAtoms))
4746rexlimiv 3277 . . 3 (∃𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ≠ 0𝐴 = (⊥‘(⊥‘{𝑥}))) → 𝐴 ∈ HAtoms)
4841, 47impbii 210 . 2 (𝐴 ∈ HAtoms ↔ ∃𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ≠ 0𝐴 = (⊥‘(⊥‘{𝑥}))))
49 spansn 29263 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℋ → (span‘{𝑥}) = (⊥‘(⊥‘{𝑥})))
5049eqeq2d 2829 . . . 4 (𝑥 ∈ ℋ → (𝐴 = (span‘{𝑥}) ↔ 𝐴 = (⊥‘(⊥‘{𝑥}))))
5150anbi2d 628 . . 3 (𝑥 ∈ ℋ → ((𝑥 ≠ 0𝐴 = (span‘{𝑥})) ↔ (𝑥 ≠ 0𝐴 = (⊥‘(⊥‘{𝑥})))))
5251rexbiia 3243 . 2 (∃𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ≠ 0𝐴 = (span‘{𝑥})) ↔ ∃𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ≠ 0𝐴 = (⊥‘(⊥‘{𝑥}))))
5348, 52bitr4i 279 1 (𝐴 ∈ HAtoms ↔ ∃𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ≠ 0𝐴 = (span‘{𝑥})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396  wo 841   = wceq 1528  wcel 2105  wne 3013  wral 3135  wrex 3136  wss 3933  {csn 4557  cfv 6348  chba 28623  0c0v 28628   C cch 28633  cort 28634  spancspn 28636  0c0h 28639  HAtomscat 28669
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-inf2 9092  ax-cc 9845  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603  ax-addf 10604  ax-mulf 10605  ax-hilex 28703  ax-hfvadd 28704  ax-hvcom 28705  ax-hvass 28706  ax-hv0cl 28707  ax-hvaddid 28708  ax-hfvmul 28709  ax-hvmulid 28710  ax-hvmulass 28711  ax-hvdistr1 28712  ax-hvdistr2 28713  ax-hvmul0 28714  ax-hfi 28783  ax-his1 28786  ax-his2 28787  ax-his3 28788  ax-his4 28789  ax-hcompl 28906
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-fal 1541  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-iin 4913  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-of 7398  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-supp 7820  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-2o 8092  df-oadd 8095  df-omul 8096  df-er 8278  df-map 8397  df-pm 8398  df-ixp 8450  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-fsupp 8822  df-fi 8863  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-card 9356  df-acn 9359  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-xneg 12495  df-xadd 12496  df-xmul 12497  df-ioo 12730  df-ico 12732  df-icc 12733  df-fz 12881  df-fzo 13022  df-fl 13150  df-seq 13358  df-exp 13418  df-hash 13679  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-sqrt 14582  df-abs 14583  df-clim 14833  df-rlim 14834  df-sum 15031  df-struct 16473  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-sets 16478  df-ress 16479  df-plusg 16566  df-mulr 16567  df-starv 16568  df-sca 16569  df-vsca 16570  df-ip 16571  df-tset 16572  df-ple 16573  df-ds 16575  df-unif 16576  df-hom 16577  df-cco 16578  df-rest 16684  df-topn 16685  df-0g 16703  df-gsum 16704  df-topgen 16705  df-pt 16706  df-prds 16709  df-xrs 16763  df-qtop 16768  df-imas 16769  df-xps 16771  df-mre 16845  df-mrc 16846  df-acs 16848  df-mgm 17840  df-sgrp 17889  df-mnd 17900  df-submnd 17945  df-mulg 18163  df-cntz 18385  df-cmn 18837  df-psmet 20465  df-xmet 20466  df-met 20467  df-bl 20468  df-mopn 20469  df-fbas 20470  df-fg 20471  df-cnfld 20474  df-top 21430  df-topon 21447  df-topsp 21469  df-bases 21482  df-cld 21555  df-ntr 21556  df-cls 21557  df-nei 21634  df-cn 21763  df-cnp 21764  df-lm 21765  df-haus 21851  df-tx 22098  df-hmeo 22291  df-fil 22382  df-fm 22474  df-flim 22475  df-flf 22476  df-xms 22857  df-ms 22858  df-tms 22859  df-cfil 23785  df-cau 23786  df-cmet 23787  df-grpo 28197  df-gid 28198  df-ginv 28199  df-gdiv 28200  df-ablo 28249  df-vc 28263  df-nv 28296  df-va 28299  df-ba 28300  df-sm 28301  df-0v 28302  df-vs 28303  df-nmcv 28304  df-ims 28305  df-dip 28405  df-ssp 28426  df-ph 28517  df-cbn 28567  df-hnorm 28672  df-hba 28673  df-hvsub 28675  df-hlim 28676  df-hcau 28677  df-sh 28911  df-ch 28925  df-oc 28956  df-ch0 28957  df-span 29013  df-cv 29983  df-at 30042
This theorem is referenced by:  superpos  30058  chcv1  30059  chjatom  30061
  Copyright terms: Public domain W3C validator