Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  av-clwwlkextfrlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem av-clwwlkextfrlem1 41506
Description: Lemma for av-numclwwlk2lem1 41529. (Contributed by Alexander van der Vekens, 3-Oct-2018.) (Revised by AV, 27-May-2021.)
Assertion
Ref Expression
av-clwwlkextfrlem1 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑍 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑊 ∈ (𝑁 WWalkSN 𝐺) ∧ ( lastS ‘𝑊) ≠ (𝑊‘0))) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0) = (𝑊‘0) ∧ ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑁) ≠ (𝑊‘0)))

Proof of Theorem av-clwwlkextfrlem1
StepHypRef Expression
1 wwlknbp2 41060 . . . 4 (𝑊 ∈ (𝑁 WWalkSN 𝐺) → (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)))
2 simpll 785 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (( lastS ‘𝑊) ≠ (𝑊‘0) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝑍 ∈ (Vtx‘𝐺)))) → 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
3 s1cl 13176 . . . . . . . . . 10 (𝑍 ∈ (Vtx‘𝐺) → ⟨“𝑍”⟩ ∈ Word (Vtx‘𝐺))
43adantl 480 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑍 ∈ (Vtx‘𝐺)) → ⟨“𝑍”⟩ ∈ Word (Vtx‘𝐺))
54adantl 480 . . . . . . . 8 ((( lastS ‘𝑊) ≠ (𝑊‘0) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝑍 ∈ (Vtx‘𝐺))) → ⟨“𝑍”⟩ ∈ Word (Vtx‘𝐺))
65adantl 480 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (( lastS ‘𝑊) ≠ (𝑊‘0) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝑍 ∈ (Vtx‘𝐺)))) → ⟨“𝑍”⟩ ∈ Word (Vtx‘𝐺))
7 nn0p1gt0 11164 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 < (𝑁 + 1))
87adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑍 ∈ (Vtx‘𝐺)) → 0 < (𝑁 + 1))
98adantl 480 . . . . . . . . 9 ((( lastS ‘𝑊) ≠ (𝑊‘0) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝑍 ∈ (Vtx‘𝐺))) → 0 < (𝑁 + 1))
109adantl 480 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (( lastS ‘𝑊) ≠ (𝑊‘0) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝑍 ∈ (Vtx‘𝐺)))) → 0 < (𝑁 + 1))
11 breq2 4576 . . . . . . . . . 10 ((#‘𝑊) = (𝑁 + 1) → (0 < (#‘𝑊) ↔ 0 < (𝑁 + 1)))
1211adantl 480 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)) → (0 < (#‘𝑊) ↔ 0 < (𝑁 + 1)))
1312adantr 479 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (( lastS ‘𝑊) ≠ (𝑊‘0) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝑍 ∈ (Vtx‘𝐺)))) → (0 < (#‘𝑊) ↔ 0 < (𝑁 + 1)))
1410, 13mpbird 245 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (( lastS ‘𝑊) ≠ (𝑊‘0) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝑍 ∈ (Vtx‘𝐺)))) → 0 < (#‘𝑊))
15 ccatfv0 13161 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ⟨“𝑍”⟩ ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 0 < (#‘𝑊)) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0) = (𝑊‘0))
162, 6, 14, 15syl3anc 1317 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (( lastS ‘𝑊) ≠ (𝑊‘0) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝑍 ∈ (Vtx‘𝐺)))) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0) = (𝑊‘0))
17 oveq1 6529 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((#‘𝑊) = (𝑁 + 1) → ((#‘𝑊) − 1) = ((𝑁 + 1) − 1))
1817adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)) → ((#‘𝑊) − 1) = ((𝑁 + 1) − 1))
1918adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝑍 ∈ (Vtx‘𝐺))) → ((#‘𝑊) − 1) = ((𝑁 + 1) − 1))
20 nn0cn 11144 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℂ)
21 pncan1 10300 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ ℂ → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
2220, 21syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
2322adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑍 ∈ (Vtx‘𝐺)) → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
2423adantl 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝑍 ∈ (Vtx‘𝐺))) → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
2519, 24eqtr2d 2639 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝑍 ∈ (Vtx‘𝐺))) → 𝑁 = ((#‘𝑊) − 1))
2625fveq2d 6087 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝑍 ∈ (Vtx‘𝐺))) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑁) = ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘((#‘𝑊) − 1)))
27 simpll 785 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝑍 ∈ (Vtx‘𝐺))) → 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
284adantl 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝑍 ∈ (Vtx‘𝐺))) → ⟨“𝑍”⟩ ∈ Word (Vtx‘𝐺))
298adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝑍 ∈ (Vtx‘𝐺))) → 0 < (𝑁 + 1))
3012adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝑍 ∈ (Vtx‘𝐺))) → (0 < (#‘𝑊) ↔ 0 < (𝑁 + 1)))
3129, 30mpbird 245 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝑍 ∈ (Vtx‘𝐺))) → 0 < (#‘𝑊))
32 hashneq0 12963 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (0 < (#‘𝑊) ↔ 𝑊 ≠ ∅))
3332bicomd 211 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (𝑊 ≠ ∅ ↔ 0 < (#‘𝑊)))
3433adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)) → (𝑊 ≠ ∅ ↔ 0 < (#‘𝑊)))
3534adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝑍 ∈ (Vtx‘𝐺))) → (𝑊 ≠ ∅ ↔ 0 < (#‘𝑊)))
3631, 35mpbird 245 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝑍 ∈ (Vtx‘𝐺))) → 𝑊 ≠ ∅)
37 ccatval1lsw 13162 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ⟨“𝑍”⟩ ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘((#‘𝑊) − 1)) = ( lastS ‘𝑊))
3827, 28, 36, 37syl3anc 1317 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝑍 ∈ (Vtx‘𝐺))) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘((#‘𝑊) − 1)) = ( lastS ‘𝑊))
3926, 38eqtr2d 2639 . . . . . . . . . . 11 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝑍 ∈ (Vtx‘𝐺))) → ( lastS ‘𝑊) = ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑁))
4039neeq1d 2835 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝑍 ∈ (Vtx‘𝐺))) → (( lastS ‘𝑊) ≠ (𝑊‘0) ↔ ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑁) ≠ (𝑊‘0)))
4140biimpd 217 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝑍 ∈ (Vtx‘𝐺))) → (( lastS ‘𝑊) ≠ (𝑊‘0) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑁) ≠ (𝑊‘0)))
4241ex 448 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)) → ((𝑁 ∈ ℕ0𝑍 ∈ (Vtx‘𝐺)) → (( lastS ‘𝑊) ≠ (𝑊‘0) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑁) ≠ (𝑊‘0))))
4342com23 83 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)) → (( lastS ‘𝑊) ≠ (𝑊‘0) → ((𝑁 ∈ ℕ0𝑍 ∈ (Vtx‘𝐺)) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑁) ≠ (𝑊‘0))))
4443imp32 447 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (( lastS ‘𝑊) ≠ (𝑊‘0) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝑍 ∈ (Vtx‘𝐺)))) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑁) ≠ (𝑊‘0))
4516, 44jca 552 . . . . 5 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (( lastS ‘𝑊) ≠ (𝑊‘0) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝑍 ∈ (Vtx‘𝐺)))) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0) = (𝑊‘0) ∧ ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑁) ≠ (𝑊‘0)))
4645exp32 628 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)) → (( lastS ‘𝑊) ≠ (𝑊‘0) → ((𝑁 ∈ ℕ0𝑍 ∈ (Vtx‘𝐺)) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0) = (𝑊‘0) ∧ ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑁) ≠ (𝑊‘0)))))
471, 46syl 17 . . 3 (𝑊 ∈ (𝑁 WWalkSN 𝐺) → (( lastS ‘𝑊) ≠ (𝑊‘0) → ((𝑁 ∈ ℕ0𝑍 ∈ (Vtx‘𝐺)) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0) = (𝑊‘0) ∧ ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑁) ≠ (𝑊‘0)))))
4847imp 443 . 2 ((𝑊 ∈ (𝑁 WWalkSN 𝐺) ∧ ( lastS ‘𝑊) ≠ (𝑊‘0)) → ((𝑁 ∈ ℕ0𝑍 ∈ (Vtx‘𝐺)) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0) = (𝑊‘0) ∧ ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑁) ≠ (𝑊‘0))))
4948impcom 444 1 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑍 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑊 ∈ (𝑁 WWalkSN 𝐺) ∧ ( lastS ‘𝑊) ≠ (𝑊‘0))) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0) = (𝑊‘0) ∧ ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑁) ≠ (𝑊‘0)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194  wa 382   = wceq 1474  wcel 1975  wne 2774  c0 3868   class class class wbr 4572  cfv 5785  (class class class)co 6522  cc 9785  0cc0 9787  1c1 9788   + caddc 9790   < clt 9925  cmin 10112  0cn0 11134  #chash 12929  Word cword 13087   lastS clsw 13088   ++ cconcat 13089  ⟨“cs1 13090  Vtxcvtx 40226   WWalkSN cwwlksn 41026
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1711  ax-4 1726  ax-5 1825  ax-6 1873  ax-7 1920  ax-8 1977  ax-9 1984  ax-10 2004  ax-11 2019  ax-12 2031  ax-13 2227  ax-ext 2584  ax-rep 4688  ax-sep 4698  ax-nul 4707  ax-pow 4759  ax-pr 4823  ax-un 6819  ax-cnex 9843  ax-resscn 9844  ax-1cn 9845  ax-icn 9846  ax-addcl 9847  ax-addrcl 9848  ax-mulcl 9849  ax-mulrcl 9850  ax-mulcom 9851  ax-addass 9852  ax-mulass 9853  ax-distr 9854  ax-i2m1 9855  ax-1ne0 9856  ax-1rid 9857  ax-rnegex 9858  ax-rrecex 9859  ax-cnre 9860  ax-pre-lttri 9861  ax-pre-lttrn 9862  ax-pre-ltadd 9863  ax-pre-mulgt0 9864
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1866  df-eu 2456  df-mo 2457  df-clab 2591  df-cleq 2597  df-clel 2600  df-nfc 2734  df-ne 2776  df-nel 2777  df-ral 2895  df-rex 2896  df-reu 2897  df-rab 2899  df-v 3169  df-sbc 3397  df-csb 3494  df-dif 3537  df-un 3539  df-in 3541  df-ss 3548  df-pss 3550  df-nul 3869  df-if 4031  df-pw 4104  df-sn 4120  df-pr 4122  df-tp 4124  df-op 4126  df-uni 4362  df-int 4400  df-iun 4446  df-br 4573  df-opab 4633  df-mpt 4634  df-tr 4670  df-eprel 4934  df-id 4938  df-po 4944  df-so 4945  df-fr 4982  df-we 4984  df-xp 5029  df-rel 5030  df-cnv 5031  df-co 5032  df-dm 5033  df-rn 5034  df-res 5035  df-ima 5036  df-pred 5578  df-ord 5624  df-on 5625  df-lim 5626  df-suc 5627  df-iota 5749  df-fun 5787  df-fn 5788  df-f 5789  df-f1 5790  df-fo 5791  df-f1o 5792  df-fv 5793  df-riota 6484  df-ov 6525  df-oprab 6526  df-mpt2 6527  df-om 6930  df-1st 7031  df-2nd 7032  df-wrecs 7266  df-recs 7327  df-rdg 7365  df-1o 7419  df-oadd 7423  df-er 7601  df-map 7718  df-pm 7719  df-en 7814  df-dom 7815  df-sdom 7816  df-fin 7817  df-card 8620  df-pnf 9927  df-mnf 9928  df-xr 9929  df-ltxr 9930  df-le 9931  df-sub 10114  df-neg 10115  df-nn 10863  df-n0 11135  df-z 11206  df-uz 11515  df-fz 12148  df-fzo 12285  df-hash 12930  df-word 13095  df-lsw 13096  df-concat 13097  df-s1 13098  df-wwlks 41030  df-wwlksn 41031
This theorem is referenced by:  av-numclwwlk2lem1  41529
  Copyright terms: Public domain W3C validator