Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  av-extwwlkfablem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem av-extwwlkfablem1 41510
Description: Lemma 1 for av-extwwlkfab 41522. (Contributed by Alexander van der Vekens, 15-Sep-2018.) (Revised by AV, 27-May-2021.)
Assertion
Ref Expression
av-extwwlkfablem1 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalkSN 𝐺) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = (𝑊‘0)) → (𝑊‘(𝑁 − 1)) ∈ (𝐺 NeighbVtx (𝑊‘0)))

Proof of Theorem av-extwwlkfablem1
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1e2m1 10983 . . . . . . . . . . 11 1 = (2 − 1)
21oveq2i 6538 . . . . . . . . . 10 (𝑁 − 1) = (𝑁 − (2 − 1))
3 eluzelcn 11531 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 𝑁 ∈ ℂ)
4 2cnd 10940 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 2 ∈ ℂ)
5 1cnd 9912 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 1 ∈ ℂ)
63, 4, 5subsubd 10271 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 − (2 − 1)) = ((𝑁 − 2) + 1))
72, 6syl5req 2656 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((𝑁 − 2) + 1) = (𝑁 − 1))
87fveq2d 6092 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑊‘((𝑁 − 2) + 1)) = (𝑊‘(𝑁 − 1)))
98preq2d 4218 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → {(𝑊‘(𝑁 − 2)), (𝑊‘((𝑁 − 2) + 1))} = {(𝑊‘(𝑁 − 2)), (𝑊‘(𝑁 − 1))})
109adantl 480 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → {(𝑊‘(𝑁 − 2)), (𝑊‘((𝑁 − 2) + 1))} = {(𝑊‘(𝑁 − 2)), (𝑊‘(𝑁 − 1))})
1110adantr 479 . . . . 5 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalkSN 𝐺)) → {(𝑊‘(𝑁 − 2)), (𝑊‘((𝑁 − 2) + 1))} = {(𝑊‘(𝑁 − 2)), (𝑊‘(𝑁 − 1))})
12 ige2m2fzo 12353 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 − 2) ∈ (0..^(𝑁 − 1)))
1312adantl 480 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑁 − 2) ∈ (0..^(𝑁 − 1)))
14 eqid 2609 . . . . . . . 8 (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
15 eqid 2609 . . . . . . . 8 (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
1614, 15clwwlknp 41197 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalkSN 𝐺) → ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {( lastS ‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)))
1716simp2d 1066 . . . . . 6 (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalkSN 𝐺) → ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))
18 fveq2 6088 . . . . . . . . 9 (𝑖 = (𝑁 − 2) → (𝑊𝑖) = (𝑊‘(𝑁 − 2)))
19 oveq1 6534 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = (𝑁 − 2) → (𝑖 + 1) = ((𝑁 − 2) + 1))
2019fveq2d 6092 . . . . . . . . 9 (𝑖 = (𝑁 − 2) → (𝑊‘(𝑖 + 1)) = (𝑊‘((𝑁 − 2) + 1)))
2118, 20preq12d 4219 . . . . . . . 8 (𝑖 = (𝑁 − 2) → {(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} = {(𝑊‘(𝑁 − 2)), (𝑊‘((𝑁 − 2) + 1))})
2221eleq1d 2671 . . . . . . 7 (𝑖 = (𝑁 − 2) → ({(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {(𝑊‘(𝑁 − 2)), (𝑊‘((𝑁 − 2) + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
2322rspcva 3279 . . . . . 6 (((𝑁 − 2) ∈ (0..^(𝑁 − 1)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) → {(𝑊‘(𝑁 − 2)), (𝑊‘((𝑁 − 2) + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))
2413, 17, 23syl2an 492 . . . . 5 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalkSN 𝐺)) → {(𝑊‘(𝑁 − 2)), (𝑊‘((𝑁 − 2) + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))
2511, 24eqeltrrd 2688 . . . 4 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalkSN 𝐺)) → {(𝑊‘(𝑁 − 2)), (𝑊‘(𝑁 − 1))} ∈ (Edg‘𝐺))
26253adant3 1073 . . 3 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalkSN 𝐺) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = (𝑊‘0)) → {(𝑊‘(𝑁 − 2)), (𝑊‘(𝑁 − 1))} ∈ (Edg‘𝐺))
27 preq2 4212 . . . . . . 7 ((𝑊‘0) = (𝑊‘(𝑁 − 2)) → {(𝑊‘(𝑁 − 1)), (𝑊‘0)} = {(𝑊‘(𝑁 − 1)), (𝑊‘(𝑁 − 2))})
2827eqcoms 2617 . . . . . 6 ((𝑊‘(𝑁 − 2)) = (𝑊‘0) → {(𝑊‘(𝑁 − 1)), (𝑊‘0)} = {(𝑊‘(𝑁 − 1)), (𝑊‘(𝑁 − 2))})
29 prcom 4210 . . . . . 6 {(𝑊‘(𝑁 − 1)), (𝑊‘(𝑁 − 2))} = {(𝑊‘(𝑁 − 2)), (𝑊‘(𝑁 − 1))}
3028, 29syl6eq 2659 . . . . 5 ((𝑊‘(𝑁 − 2)) = (𝑊‘0) → {(𝑊‘(𝑁 − 1)), (𝑊‘0)} = {(𝑊‘(𝑁 − 2)), (𝑊‘(𝑁 − 1))})
3130eleq1d 2671 . . . 4 ((𝑊‘(𝑁 − 2)) = (𝑊‘0) → ({(𝑊‘(𝑁 − 1)), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {(𝑊‘(𝑁 − 2)), (𝑊‘(𝑁 − 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
32313ad2ant3 1076 . . 3 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalkSN 𝐺) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = (𝑊‘0)) → ({(𝑊‘(𝑁 − 1)), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {(𝑊‘(𝑁 − 2)), (𝑊‘(𝑁 − 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
3326, 32mpbird 245 . 2 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalkSN 𝐺) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = (𝑊‘0)) → {(𝑊‘(𝑁 − 1)), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))
3415nbusgreledg 40577 . . . 4 (𝐺 ∈ USGraph → ((𝑊‘(𝑁 − 1)) ∈ (𝐺 NeighbVtx (𝑊‘0)) ↔ {(𝑊‘(𝑁 − 1)), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)))
3534adantr 479 . . 3 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → ((𝑊‘(𝑁 − 1)) ∈ (𝐺 NeighbVtx (𝑊‘0)) ↔ {(𝑊‘(𝑁 − 1)), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)))
36353ad2ant1 1074 . 2 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalkSN 𝐺) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = (𝑊‘0)) → ((𝑊‘(𝑁 − 1)) ∈ (𝐺 NeighbVtx (𝑊‘0)) ↔ {(𝑊‘(𝑁 − 1)), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)))
3733, 36mpbird 245 1 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalkSN 𝐺) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = (𝑊‘0)) → (𝑊‘(𝑁 − 1)) ∈ (𝐺 NeighbVtx (𝑊‘0)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1976  wral 2895  {cpr 4126  cfv 5790  (class class class)co 6527  0cc0 9792  1c1 9793   + caddc 9795  cmin 10117  2c2 10917  cuz 11519  ..^cfzo 12289  #chash 12934  Word cword 13092   lastS clsw 13093  Vtxcvtx 40231  Edgcedga 40353   USGraph cusgr 40381   NeighbVtx cnbgr 40552   ClWWalkSN cclwwlksn 41186
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2232  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-1o 7424  df-2o 7425  df-oadd 7428  df-er 7606  df-map 7723  df-pm 7724  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-fin 7822  df-card 8625  df-cda 8850  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-nn 10868  df-2 10926  df-n0 11140  df-z 11211  df-uz 11520  df-fz 12153  df-fzo 12290  df-hash 12935  df-word 13100  df-upgr 40310  df-umgr 40311  df-edga 40354  df-usgr 40383  df-nbgr 40556  df-clwwlks 41187  df-clwwlksn 41188
This theorem is referenced by:  av-extwwlkfab  41522
  Copyright terms: Public domain W3C validator