Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  av-frgrareg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem av-frgrareg 41540
Description: If a finite nonempty friendship graph is 𝐾-regular, then 𝐾 must be 2 (or 0). (Contributed by Alexander van der Vekens, 9-Oct-2018.) (Revised by AV, 3-Jun-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
av-frgrareggt1.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
av-frgrareg ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)))

Proof of Theorem av-frgrareg
Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ancom 465 . . . . . . . . 9 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ↔ (𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝑉 ∈ Fin))
2 ancom 465 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) ↔ (𝐺 RegUSGraph 𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ))
31, 2anbi12i 729 . . . . . . . 8 (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾)) ↔ ((𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝐺 RegUSGraph 𝐾𝐺 ∈ FriendGraph )))
43biimpi 205 . . . . . . 7 (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾)) → ((𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝐺 RegUSGraph 𝐾𝐺 ∈ FriendGraph )))
54ancomd 466 . . . . . 6 (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾)) → ((𝐺 RegUSGraph 𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ) ∧ (𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝑉 ∈ Fin)))
6 av-frgrareggt1.v . . . . . . 7 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
76av-numclwwlk7lem 41535 . . . . . 6 (((𝐺 RegUSGraph 𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ) ∧ (𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝑉 ∈ Fin)) → 𝐾 ∈ ℕ0)
85, 7syl 17 . . . . 5 (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾)) → 𝐾 ∈ ℕ0)
9 neanior 2874 . . . . . . . 8 ((𝐾 ≠ 0 ∧ 𝐾 ≠ 2) ↔ ¬ (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2))
10 nn0re 11151 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐾 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℝ)
11 1re 9896 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ ℝ
12 lenlt 9968 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝐾 ≤ 1 ↔ ¬ 1 < 𝐾))
1310, 11, 12sylancl 693 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝐾 ≤ 1 ↔ ¬ 1 < 𝐾))
1413adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ≠ 0 ∧ 𝐾 ≠ 2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐾 ≤ 1 ↔ ¬ 1 < 𝐾))
15 elnnne0 11156 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐾 ∈ ℕ ↔ (𝐾 ∈ ℕ0𝐾 ≠ 0))
16 nnle1eq1 10898 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐾 ∈ ℕ → (𝐾 ≤ 1 ↔ 𝐾 = 1))
1716biimpd 218 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐾 ∈ ℕ → (𝐾 ≤ 1 → 𝐾 = 1))
1815, 17sylbir 224 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐾 ∈ ℕ0𝐾 ≠ 0) → (𝐾 ≤ 1 → 𝐾 = 1))
1918a1d 25 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ ℕ0𝐾 ≠ 0) → (𝐾 ≠ 2 → (𝐾 ≤ 1 → 𝐾 = 1)))
2019expimpd 627 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐾 ∈ ℕ0 → ((𝐾 ≠ 0 ∧ 𝐾 ≠ 2) → (𝐾 ≤ 1 → 𝐾 = 1)))
2120impcom 445 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ≠ 0 ∧ 𝐾 ≠ 2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐾 ≤ 1 → 𝐾 = 1))
2214, 21sylbird 249 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ≠ 0 ∧ 𝐾 ≠ 2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (¬ 1 < 𝐾𝐾 = 1))
236fveq2i 6091 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (#‘𝑉) = (#‘(Vtx‘𝐺))
2423eqeq1i 2615 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((#‘𝑉) = 1 ↔ (#‘(Vtx‘𝐺)) = 1)
2524biimpi 205 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((#‘𝑉) = 1 → (#‘(Vtx‘𝐺)) = 1)
26 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) → 𝐺 RegUSGraph 𝐾)
2726adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾)) → 𝐺 RegUSGraph 𝐾)
28 rusgr1vtx 40780 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((#‘(Vtx‘𝐺)) = 1 ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) → 𝐾 = 0)
2925, 27, 28syl2an 493 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((#‘𝑉) = 1 ∧ ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾))) → 𝐾 = 0)
3029orcd 406 . . . . . . . . . . . . . 14 (((#‘𝑉) = 1 ∧ ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾))) → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2))
3130ex 449 . . . . . . . . . . . . 13 ((#‘𝑉) = 1 → (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾)) → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)))
3231a1d 25 . . . . . . . . . . . 12 ((#‘𝑉) = 1 → (𝐾 = 1 → (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾)) → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2))))
33 eqid 2610 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (VtxDeg‘𝐺) = (VtxDeg‘𝐺)
346, 33rusgrprop0 40759 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐺 RegUSGraph 𝐾 → (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐾 ∈ ℕ0* ∧ ∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾))
35 simp2 1055 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((¬ (#‘𝑉) = 1 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅)) → 𝐺 ∈ FriendGraph )
36 hashnncl 12973 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑉 ∈ Fin → ((#‘𝑉) ∈ ℕ ↔ 𝑉 ≠ ∅))
37 df-ne 2782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((#‘𝑉) ≠ 1 ↔ ¬ (#‘𝑉) = 1)
38 nngt1ne1 10897 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((#‘𝑉) ∈ ℕ → (1 < (#‘𝑉) ↔ (#‘𝑉) ≠ 1))
3938biimprd 237 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((#‘𝑉) ∈ ℕ → ((#‘𝑉) ≠ 1 → 1 < (#‘𝑉)))
4037, 39syl5bir 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((#‘𝑉) ∈ ℕ → (¬ (#‘𝑉) = 1 → 1 < (#‘𝑉)))
4136, 40syl6bir 243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑉 ∈ Fin → (𝑉 ≠ ∅ → (¬ (#‘𝑉) = 1 → 1 < (#‘𝑉))))
4241imp 444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (¬ (#‘𝑉) = 1 → 1 < (#‘𝑉)))
4342impcom 445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((¬ (#‘𝑉) = 1 ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅)) → 1 < (#‘𝑉))
446vdgn1frgrv3 41459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 1 < (#‘𝑉)) → ∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) ≠ 1)
4535, 43, 443imp3i2an 1270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((¬ (#‘𝑉) = 1 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅)) → ∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) ≠ 1)
46 r19.26 3046 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (∀𝑣𝑉 (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) ≠ 1 ∧ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾) ↔ (∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) ≠ 1 ∧ ∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾))
47 r19.2z 4012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑉 ≠ ∅ ∧ ∀𝑣𝑉 (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) ≠ 1 ∧ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾)) → ∃𝑣𝑉 (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) ≠ 1 ∧ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾))
48 neeq1 2844 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾 → (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) ≠ 1 ↔ 𝐾 ≠ 1))
4948biimpd 218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾 → (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) ≠ 1 → 𝐾 ≠ 1))
5049impcom 445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) ≠ 1 ∧ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾) → 𝐾 ≠ 1)
51 eqneqall 2793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝐾 = 1 → (𝐾 ≠ 1 → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)))
5251com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝐾 ≠ 1 → (𝐾 = 1 → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)))
5350, 52syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) ≠ 1 ∧ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾) → (𝐾 = 1 → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)))
5453rexlimivw 3011 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (∃𝑣𝑉 (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) ≠ 1 ∧ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾) → (𝐾 = 1 → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)))
5547, 54syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑉 ≠ ∅ ∧ ∀𝑣𝑉 (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) ≠ 1 ∧ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾)) → (𝐾 = 1 → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)))
5655ex 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑉 ≠ ∅ → (∀𝑣𝑉 (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) ≠ 1 ∧ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾) → (𝐾 = 1 → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2))))
5746, 56syl5bir 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑉 ≠ ∅ → ((∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) ≠ 1 ∧ ∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾) → (𝐾 = 1 → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2))))
5857expd 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑉 ≠ ∅ → (∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) ≠ 1 → (∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾 → (𝐾 = 1 → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)))))
5958com34 89 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑉 ≠ ∅ → (∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) ≠ 1 → (𝐾 = 1 → (∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾 → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)))))
6059adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) ≠ 1 → (𝐾 = 1 → (∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾 → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)))))
61603ad2ant3 1077 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((¬ (#‘𝑉) = 1 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅)) → (∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) ≠ 1 → (𝐾 = 1 → (∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾 → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)))))
6245, 61mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((¬ (#‘𝑉) = 1 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅)) → (𝐾 = 1 → (∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾 → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2))))
63623exp 1256 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (¬ (#‘𝑉) = 1 → (𝐺 ∈ FriendGraph → ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (𝐾 = 1 → (∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾 → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2))))))
6463com15 99 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾 → (𝐺 ∈ FriendGraph → ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (𝐾 = 1 → (¬ (#‘𝑉) = 1 → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2))))))
65643ad2ant3 1077 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐾 ∈ ℕ0* ∧ ∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾) → (𝐺 ∈ FriendGraph → ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (𝐾 = 1 → (¬ (#‘𝑉) = 1 → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2))))))
6634, 65syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐺 RegUSGraph 𝐾 → (𝐺 ∈ FriendGraph → ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (𝐾 = 1 → (¬ (#‘𝑉) = 1 → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2))))))
6766impcom 445 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) → ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (𝐾 = 1 → (¬ (#‘𝑉) = 1 → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)))))
6867impcom 445 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾)) → (𝐾 = 1 → (¬ (#‘𝑉) = 1 → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2))))
6968com13 86 . . . . . . . . . . . 12 (¬ (#‘𝑉) = 1 → (𝐾 = 1 → (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾)) → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2))))
7032, 69pm2.61i 175 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 = 1 → (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾)) → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)))
7122, 70syl6 34 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ≠ 0 ∧ 𝐾 ≠ 2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (¬ 1 < 𝐾 → (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾)) → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2))))
7271ex 449 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ≠ 0 ∧ 𝐾 ≠ 2) → (𝐾 ∈ ℕ0 → (¬ 1 < 𝐾 → (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾)) → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)))))
7372com23 84 . . . . . . . 8 ((𝐾 ≠ 0 ∧ 𝐾 ≠ 2) → (¬ 1 < 𝐾 → (𝐾 ∈ ℕ0 → (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾)) → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)))))
749, 73sylbir 224 . . . . . . 7 (¬ (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2) → (¬ 1 < 𝐾 → (𝐾 ∈ ℕ0 → (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾)) → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)))))
7574impcom 445 . . . . . 6 ((¬ 1 < 𝐾 ∧ ¬ (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)) → (𝐾 ∈ ℕ0 → (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾)) → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2))))
7675com13 86 . . . . 5 (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾)) → (𝐾 ∈ ℕ0 → ((¬ 1 < 𝐾 ∧ ¬ (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)) → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2))))
778, 76mpd 15 . . . 4 (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾)) → ((¬ 1 < 𝐾 ∧ ¬ (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)) → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)))
7877com12 32 . . 3 ((¬ 1 < 𝐾 ∧ ¬ (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)) → (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾)) → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)))
7978exp4b 630 . 2 (¬ 1 < 𝐾 → (¬ (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2) → ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)))))
80 simprl 790 . . . . 5 (((1 < 𝐾 ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅)) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾)) → 𝐺 ∈ FriendGraph )
81 simpl 472 . . . . . 6 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → 𝑉 ∈ Fin)
8281ad2antlr 759 . . . . 5 (((1 < 𝐾 ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅)) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾)) → 𝑉 ∈ Fin)
83 simpr 476 . . . . . 6 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → 𝑉 ≠ ∅)
8483ad2antlr 759 . . . . 5 (((1 < 𝐾 ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅)) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾)) → 𝑉 ≠ ∅)
85 simpl 472 . . . . . 6 ((1 < 𝐾 ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅)) → 1 < 𝐾)
8685, 26anim12ci 589 . . . . 5 (((1 < 𝐾 ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅)) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾)) → (𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 1 < 𝐾))
876av-frgrareggt1 41539 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 1 < 𝐾) → 𝐾 = 2))
8887imp 444 . . . . 5 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ (𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 1 < 𝐾)) → 𝐾 = 2)
8980, 82, 84, 86, 88syl31anc 1321 . . . 4 (((1 < 𝐾 ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅)) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾)) → 𝐾 = 2)
9089olcd 407 . . 3 (((1 < 𝐾 ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅)) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾)) → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2))
9190exp31 628 . 2 (1 < 𝐾 → ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2))))
92 2a1 28 . 2 ((𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2) → ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2))))
9379, 91, 92pm2.61ii 176 1 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 195  wo 382  wa 383  w3a 1031   = wceq 1475  wcel 1977  wne 2780  wral 2896  wrex 2897  c0 3874   class class class wbr 4578  cfv 5790  Fincfn 7819  cr 9792  0cc0 9793  1c1 9794   < clt 9931  cle 9932  cn 10870  2c2 10920  0cn0 11142  #chash 12937  0*cxnn0 40189  Vtxcvtx 40221   USGraph cusgr 40371  VtxDegcvtxdg 40673   RegUSGraph crusgr 40748   FriendGraph cfrgr 41420
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4694  ax-sep 4704  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6825  ax-inf2 8399  ax-ac2 9146  ax-cnex 9849  ax-resscn 9850  ax-1cn 9851  ax-icn 9852  ax-addcl 9853  ax-addrcl 9854  ax-mulcl 9855  ax-mulrcl 9856  ax-mulcom 9857  ax-addass 9858  ax-mulass 9859  ax-distr 9860  ax-i2m1 9861  ax-1ne0 9862  ax-1rid 9863  ax-rnegex 9864  ax-rrecex 9865  ax-cnre 9866  ax-pre-lttri 9867  ax-pre-lttrn 9868  ax-pre-ltadd 9869  ax-pre-mulgt0 9870  ax-pre-sup 9871
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-ifp 1007  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4368  df-int 4406  df-iun 4452  df-disj 4549  df-br 4579  df-opab 4639  df-mpt 4640  df-tr 4676  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-se 4988  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-isom 5799  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6936  df-1st 7037  df-2nd 7038  df-wrecs 7272  df-recs 7333  df-rdg 7371  df-1o 7425  df-2o 7426  df-oadd 7429  df-er 7607  df-ec 7609  df-qs 7613  df-map 7724  df-pm 7725  df-en 7820  df-dom 7821  df-sdom 7822  df-fin 7823  df-sup 8209  df-inf 8210  df-oi 8276  df-card 8626  df-ac 8800  df-cda 8851  df-pnf 9933  df-mnf 9934  df-xr 9935  df-ltxr 9936  df-le 9937  df-sub 10120  df-neg 10121  df-div 10537  df-nn 10871  df-2 10929  df-3 10930  df-n0 11143  df-z 11214  df-uz 11523  df-rp 11668  df-xadd 11782  df-ico 12011  df-fz 12156  df-fzo 12293  df-fl 12413  df-mod 12489  df-seq 12622  df-exp 12681  df-hash 12938  df-word 13103  df-lsw 13104  df-concat 13105  df-s1 13106  df-substr 13107  df-reps 13110  df-csh 13335  df-s2 13393  df-s3 13394  df-cj 13636  df-re 13637  df-im 13638  df-sqrt 13772  df-abs 13773  df-clim 14016  df-sum 14214  df-dvds 14771  df-gcd 15004  df-prm 15173  df-phi 15258  df-xnn0 40190  df-vtx 40223  df-iedg 40224  df-uhgr 40272  df-ushgr 40273  df-upgr 40300  df-umgr 40301  df-edga 40344  df-uspgr 40372  df-usgr 40373  df-fusgr 40528  df-nbgr 40546  df-vtxdg 40674  df-rgr 40749  df-rusgr 40750  df-1wlks 40792  df-wlks 40793  df-wlkson 40794  df-trls 40893  df-trlson 40894  df-pths 40915  df-spths 40916  df-pthson 40917  df-spthson 40918  df-wwlks 41025  df-wwlksn 41026  df-wwlksnon 41027  df-wspthsn 41028  df-wspthsnon 41029  df-clwwlks 41177  df-clwwlksn 41178  df-frgr 41421
This theorem is referenced by:  av-frgraregord013  41541
  Copyright terms: Public domain W3C validator