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Theorem av-frgraregord013 41571
Description: If a finite friendship graph is 𝐾-regular, then it must have order 0, 1 or 3. (Contributed by Alexander van der Vekens, 9-Oct-2018.) (Revised by AV, 4-Jun-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
av-frgrareggt1.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
av-frgraregord013 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) → ((#‘𝑉) = 0 ∨ (#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3))

Proof of Theorem av-frgraregord013
Dummy variables 𝑣 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hashcl 12964 . . 3 (𝑉 ∈ Fin → (#‘𝑉) ∈ ℕ0)
2 ax-1 6 . . . . 5 (((#‘𝑉) = 0 ∨ (#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3) → ((((#‘𝑉) ∈ ℕ0𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ) ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) → ((#‘𝑉) = 0 ∨ (#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3)))
3 3ioran 1048 . . . . . 6 (¬ ((#‘𝑉) = 0 ∨ (#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3) ↔ (¬ (#‘𝑉) = 0 ∧ ¬ (#‘𝑉) = 1 ∧ ¬ (#‘𝑉) = 3))
4 df-ne 2781 . . . . . . . . . . . . 13 ((#‘𝑉) ≠ 0 ↔ ¬ (#‘𝑉) = 0)
5 hasheq0 12970 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑉 ∈ Fin → ((#‘𝑉) = 0 ↔ 𝑉 = ∅))
65necon3bid 2825 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑉 ∈ Fin → ((#‘𝑉) ≠ 0 ↔ 𝑉 ≠ ∅))
76biimpa 499 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑉 ∈ Fin ∧ (#‘𝑉) ≠ 0) → 𝑉 ≠ ∅)
8 elnnne0 11156 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((#‘𝑉) ∈ ℕ ↔ ((#‘𝑉) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑉) ≠ 0))
9 df-ne 2781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((#‘𝑉) ≠ 1 ↔ ¬ (#‘𝑉) = 1)
10 eluz2b3 11597 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((#‘𝑉) ∈ (ℤ‘2) ↔ ((#‘𝑉) ∈ ℕ ∧ (#‘𝑉) ≠ 1))
11 hash2prde 13064 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑉 ∈ Fin ∧ (#‘𝑉) = 2) → ∃𝑎𝑏(𝑎𝑏𝑉 = {𝑎, 𝑏}))
12 vex 3175 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 𝑎 ∈ V
1312a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (𝑎𝑏𝑎 ∈ V)
14 vex 3175 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 𝑏 ∈ V
1514a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (𝑎𝑏𝑏 ∈ V)
16 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (𝑎𝑏𝑎𝑏)
1713, 15, 163jca 1234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝑎𝑏 → (𝑎 ∈ V ∧ 𝑏 ∈ V ∧ 𝑎𝑏))
18 av-frgrareggt1.v . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
1918eqeq1i 2614 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (𝑉 = {𝑎, 𝑏} ↔ (Vtx‘𝐺) = {𝑎, 𝑏})
2019biimpi 204 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝑉 = {𝑎, 𝑏} → (Vtx‘𝐺) = {𝑎, 𝑏})
21 nfrgr2v 41464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (((𝑎 ∈ V ∧ 𝑏 ∈ V ∧ 𝑎𝑏) ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝑎, 𝑏}) → 𝐺 ∉ FriendGraph )
2217, 20, 21syl2an 492 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝑎𝑏𝑉 = {𝑎, 𝑏}) → 𝐺 ∉ FriendGraph )
23 df-nel 2782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝐺 ∉ FriendGraph ↔ ¬ 𝐺 ∈ FriendGraph )
2422, 23sylib 206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝑎𝑏𝑉 = {𝑎, 𝑏}) → ¬ 𝐺 ∈ FriendGraph )
2524pm2.21d 116 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝑎𝑏𝑉 = {𝑎, 𝑏}) → (𝐺 ∈ FriendGraph → (𝑉 ≠ ∅ → (¬ (#‘𝑉) = 3 → (𝐺 RegUSGraph 𝐾 → ((#‘𝑉) = 0 ∨ (#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3))))))
2625com23 83 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝑎𝑏𝑉 = {𝑎, 𝑏}) → (𝑉 ≠ ∅ → (𝐺 ∈ FriendGraph → (¬ (#‘𝑉) = 3 → (𝐺 RegUSGraph 𝐾 → ((#‘𝑉) = 0 ∨ (#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3))))))
2726exlimivv 1846 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (∃𝑎𝑏(𝑎𝑏𝑉 = {𝑎, 𝑏}) → (𝑉 ≠ ∅ → (𝐺 ∈ FriendGraph → (¬ (#‘𝑉) = 3 → (𝐺 RegUSGraph 𝐾 → ((#‘𝑉) = 0 ∨ (#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3))))))
2811, 27syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝑉 ∈ Fin ∧ (#‘𝑉) = 2) → (𝑉 ≠ ∅ → (𝐺 ∈ FriendGraph → (¬ (#‘𝑉) = 3 → (𝐺 RegUSGraph 𝐾 → ((#‘𝑉) = 0 ∨ (#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3))))))
2928ex 448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑉 ∈ Fin → ((#‘𝑉) = 2 → (𝑉 ≠ ∅ → (𝐺 ∈ FriendGraph → (¬ (#‘𝑉) = 3 → (𝐺 RegUSGraph 𝐾 → ((#‘𝑉) = 0 ∨ (#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3)))))))
3029com23 83 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑉 ∈ Fin → (𝑉 ≠ ∅ → ((#‘𝑉) = 2 → (𝐺 ∈ FriendGraph → (¬ (#‘𝑉) = 3 → (𝐺 RegUSGraph 𝐾 → ((#‘𝑉) = 0 ∨ (#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3)))))))
3130com14 93 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝐺 ∈ FriendGraph → (𝑉 ≠ ∅ → ((#‘𝑉) = 2 → (𝑉 ∈ Fin → (¬ (#‘𝑉) = 3 → (𝐺 RegUSGraph 𝐾 → ((#‘𝑉) = 0 ∨ (#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3)))))))
3231a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((#‘𝑉) ∈ (ℤ‘2) → (𝐺 ∈ FriendGraph → (𝑉 ≠ ∅ → ((#‘𝑉) = 2 → (𝑉 ∈ Fin → (¬ (#‘𝑉) = 3 → (𝐺 RegUSGraph 𝐾 → ((#‘𝑉) = 0 ∨ (#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3))))))))
33323imp 1248 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((#‘𝑉) ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ≠ ∅) → ((#‘𝑉) = 2 → (𝑉 ∈ Fin → (¬ (#‘𝑉) = 3 → (𝐺 RegUSGraph 𝐾 → ((#‘𝑉) = 0 ∨ (#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3))))))
3433com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((#‘𝑉) = 2 → (((#‘𝑉) ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (𝑉 ∈ Fin → (¬ (#‘𝑉) = 3 → (𝐺 RegUSGraph 𝐾 → ((#‘𝑉) = 0 ∨ (#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3))))))
35 eqid 2609 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (VtxDeg‘𝐺) = (VtxDeg‘𝐺)
3618, 35rusgrprop0 40789 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (𝐺 RegUSGraph 𝐾 → (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐾 ∈ ℕ0* ∧ ∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾))
37 eluz2gt1 11595 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 ((#‘𝑉) ∈ (ℤ‘2) → 1 < (#‘𝑉))
3837anim2i 590 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (#‘𝑉) ∈ (ℤ‘2)) → (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 1 < (#‘𝑉)))
3938ancoms 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 (((#‘𝑉) ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ) → (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 1 < (#‘𝑉)))
4018vdgn0frgrv2 41487 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑣𝑉) → (1 < (#‘𝑉) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) ≠ 0))
4140impancom 454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 1 < (#‘𝑉)) → (𝑣𝑉 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) ≠ 0))
4241ralrimiv 2947 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 1 < (#‘𝑉)) → ∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) ≠ 0)
43 eqeq2 2620 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 (𝐾 = 0 → (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾 ↔ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 0))
4443ralbidv 2968 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 (𝐾 = 0 → (∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾 ↔ ∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 0))
45 r19.26 3045 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 (∀𝑣𝑉 (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 0 ∧ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) ≠ 0) ↔ (∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 0 ∧ ∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) ≠ 0))
46 nne 2785 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 (¬ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) ≠ 0 ↔ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 0)
4746bicomi 212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 0 ↔ ¬ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) ≠ 0)
4847anbi1i 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 ((((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 0 ∧ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) ≠ 0) ↔ (¬ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) ≠ 0 ∧ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) ≠ 0))
49 ancom 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 ((¬ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) ≠ 0 ∧ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) ≠ 0) ↔ (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) ≠ 0 ∧ ¬ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) ≠ 0))
50 pm3.24 921 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 ¬ (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) ≠ 0 ∧ ¬ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) ≠ 0)
5150bifal 1487 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 ((((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) ≠ 0 ∧ ¬ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) ≠ 0) ↔ ⊥)
5248, 49, 513bitri 284 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 ((((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 0 ∧ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) ≠ 0) ↔ ⊥)
5352ralbii 2962 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 (∀𝑣𝑉 (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 0 ∧ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) ≠ 0) ↔ ∀𝑣𝑉 ⊥)
54 r19.3rzv 4015 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 (𝑉 ≠ ∅ → (⊥ ↔ ∀𝑣𝑉 ⊥))
55 falim 1488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 (⊥ → ((#‘𝑉) = 0 ∨ (#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3))
5654, 55syl6bir 242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 (𝑉 ≠ ∅ → (∀𝑣𝑉 ⊥ → ((#‘𝑉) = 0 ∨ (#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3)))
5756adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (∀𝑣𝑉 ⊥ → ((#‘𝑉) = 0 ∨ (#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3)))
5857com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 (∀𝑣𝑉 ⊥ → ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → ((#‘𝑉) = 0 ∨ (#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3)))
5953, 58sylbi 205 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 (∀𝑣𝑉 (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 0 ∧ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) ≠ 0) → ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → ((#‘𝑉) = 0 ∨ (#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3)))
6045, 59sylbir 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 ((∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 0 ∧ ∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) ≠ 0) → ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → ((#‘𝑉) = 0 ∨ (#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3)))
6160ex 448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 (∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 0 → (∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) ≠ 0 → ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → ((#‘𝑉) = 0 ∨ (#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3))))
6244, 61syl6bi 241 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 (𝐾 = 0 → (∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾 → (∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) ≠ 0 → ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → ((#‘𝑉) = 0 ∨ (#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3)))))
6362com4t 90 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 (∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) ≠ 0 → ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (𝐾 = 0 → (∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾 → ((#‘𝑉) = 0 ∨ (#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3)))))
6439, 42, 633syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 (((#‘𝑉) ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ) → ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (𝐾 = 0 → (∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾 → ((#‘𝑉) = 0 ∨ (#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3)))))
6564ex 448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ((#‘𝑉) ∈ (ℤ‘2) → (𝐺 ∈ FriendGraph → ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (𝐾 = 0 → (∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾 → ((#‘𝑉) = 0 ∨ (#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3))))))
6665com25 96 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ((#‘𝑉) ∈ (ℤ‘2) → (∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾 → ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (𝐾 = 0 → (𝐺 ∈ FriendGraph → ((#‘𝑉) = 0 ∨ (#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3))))))
6766adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 (((¬ (#‘𝑉) = 3 ∧ ¬ (#‘𝑉) = 2) ∧ (#‘𝑉) ∈ (ℤ‘2)) → (∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾 → ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (𝐾 = 0 → (𝐺 ∈ FriendGraph → ((#‘𝑉) = 0 ∨ (#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3))))))
6867com15 98 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 (𝐺 ∈ FriendGraph → (∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾 → ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (𝐾 = 0 → (((¬ (#‘𝑉) = 3 ∧ ¬ (#‘𝑉) = 2) ∧ (#‘𝑉) ∈ (ℤ‘2)) → ((#‘𝑉) = 0 ∨ (#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3))))))
6968com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾 → (𝐺 ∈ FriendGraph → ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (𝐾 = 0 → (((¬ (#‘𝑉) = 3 ∧ ¬ (#‘𝑉) = 2) ∧ (#‘𝑉) ∈ (ℤ‘2)) → ((#‘𝑉) = 0 ∨ (#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3))))))
70693ad2ant3 1076 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐾 ∈ ℕ0* ∧ ∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾) → (𝐺 ∈ FriendGraph → ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (𝐾 = 0 → (((¬ (#‘𝑉) = 3 ∧ ¬ (#‘𝑉) = 2) ∧ (#‘𝑉) ∈ (ℤ‘2)) → ((#‘𝑉) = 0 ∨ (#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3))))))
7136, 70syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (𝐺 RegUSGraph 𝐾 → (𝐺 ∈ FriendGraph → ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (𝐾 = 0 → (((¬ (#‘𝑉) = 3 ∧ ¬ (#‘𝑉) = 2) ∧ (#‘𝑉) ∈ (ℤ‘2)) → ((#‘𝑉) = 0 ∨ (#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3))))))
7271impcom 444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) → ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (𝐾 = 0 → (((¬ (#‘𝑉) = 3 ∧ ¬ (#‘𝑉) = 2) ∧ (#‘𝑉) ∈ (ℤ‘2)) → ((#‘𝑉) = 0 ∨ (#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3)))))
7372impcom 444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾)) → (𝐾 = 0 → (((¬ (#‘𝑉) = 3 ∧ ¬ (#‘𝑉) = 2) ∧ (#‘𝑉) ∈ (ℤ‘2)) → ((#‘𝑉) = 0 ∨ (#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3))))
7418frrusgrord 41526 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) → (#‘𝑉) = ((𝐾 · (𝐾 − 1)) + 1)))
7574imp 443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾)) → (#‘𝑉) = ((𝐾 · (𝐾 − 1)) + 1))
76 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 (𝐾 = 2 → 𝐾 = 2)
77 oveq1 6534 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 (𝐾 = 2 → (𝐾 − 1) = (2 − 1))
7876, 77oveq12d 6545 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 (𝐾 = 2 → (𝐾 · (𝐾 − 1)) = (2 · (2 − 1)))
7978oveq1d 6542 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (𝐾 = 2 → ((𝐾 · (𝐾 − 1)) + 1) = ((2 · (2 − 1)) + 1))
80 2m1e1 10985 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 (2 − 1) = 1
8180oveq2i 6538 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 (2 · (2 − 1)) = (2 · 1)
82 2t1e2 11026 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 (2 · 1) = 2
8381, 82eqtri 2631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 (2 · (2 − 1)) = 2
8483oveq1i 6537 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ((2 · (2 − 1)) + 1) = (2 + 1)
85 2p1e3 11001 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 (2 + 1) = 3
8684, 85eqtri 2631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ((2 · (2 − 1)) + 1) = 3
8779, 86syl6eq 2659 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (𝐾 = 2 → ((𝐾 · (𝐾 − 1)) + 1) = 3)
8887eqeq2d 2619 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (𝐾 = 2 → ((#‘𝑉) = ((𝐾 · (𝐾 − 1)) + 1) ↔ (#‘𝑉) = 3))
89 pm2.21 118 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (¬ (#‘𝑉) = 3 → ((#‘𝑉) = 3 → ((#‘𝑉) = 0 ∨ (#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3)))
9089ad2antrr 757 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (((¬ (#‘𝑉) = 3 ∧ ¬ (#‘𝑉) = 2) ∧ (#‘𝑉) ∈ (ℤ‘2)) → ((#‘𝑉) = 3 → ((#‘𝑉) = 0 ∨ (#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3)))
9190com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ((#‘𝑉) = 3 → (((¬ (#‘𝑉) = 3 ∧ ¬ (#‘𝑉) = 2) ∧ (#‘𝑉) ∈ (ℤ‘2)) → ((#‘𝑉) = 0 ∨ (#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3)))
9288, 91syl6bi 241 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (𝐾 = 2 → ((#‘𝑉) = ((𝐾 · (𝐾 − 1)) + 1) → (((¬ (#‘𝑉) = 3 ∧ ¬ (#‘𝑉) = 2) ∧ (#‘𝑉) ∈ (ℤ‘2)) → ((#‘𝑉) = 0 ∨ (#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3))))
9375, 92syl5com 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾)) → (𝐾 = 2 → (((¬ (#‘𝑉) = 3 ∧ ¬ (#‘𝑉) = 2) ∧ (#‘𝑉) ∈ (ℤ‘2)) → ((#‘𝑉) = 0 ∨ (#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3))))
9418av-frgrareg 41570 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)))
9594imp 443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾)) → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2))
9673, 93, 95mpjaod 394 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾)) → (((¬ (#‘𝑉) = 3 ∧ ¬ (#‘𝑉) = 2) ∧ (#‘𝑉) ∈ (ℤ‘2)) → ((#‘𝑉) = 0 ∨ (#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3)))
9796exp32 628 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (𝐺 ∈ FriendGraph → (𝐺 RegUSGraph 𝐾 → (((¬ (#‘𝑉) = 3 ∧ ¬ (#‘𝑉) = 2) ∧ (#‘𝑉) ∈ (ℤ‘2)) → ((#‘𝑉) = 0 ∨ (#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3)))))
9897com34 88 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (𝐺 ∈ FriendGraph → (((¬ (#‘𝑉) = 3 ∧ ¬ (#‘𝑉) = 2) ∧ (#‘𝑉) ∈ (ℤ‘2)) → (𝐺 RegUSGraph 𝐾 → ((#‘𝑉) = 0 ∨ (#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3)))))
9998com23 83 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (((¬ (#‘𝑉) = 3 ∧ ¬ (#‘𝑉) = 2) ∧ (#‘𝑉) ∈ (ℤ‘2)) → (𝐺 ∈ FriendGraph → (𝐺 RegUSGraph 𝐾 → ((#‘𝑉) = 0 ∨ (#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3)))))
10099exp4c 633 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (¬ (#‘𝑉) = 3 → (¬ (#‘𝑉) = 2 → ((#‘𝑉) ∈ (ℤ‘2) → (𝐺 ∈ FriendGraph → (𝐺 RegUSGraph 𝐾 → ((#‘𝑉) = 0 ∨ (#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3)))))))
101100com34 88 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (¬ (#‘𝑉) = 3 → ((#‘𝑉) ∈ (ℤ‘2) → (¬ (#‘𝑉) = 2 → (𝐺 ∈ FriendGraph → (𝐺 RegUSGraph 𝐾 → ((#‘𝑉) = 0 ∨ (#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3)))))))
102101com25 96 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (𝐺 ∈ FriendGraph → ((#‘𝑉) ∈ (ℤ‘2) → (¬ (#‘𝑉) = 2 → (¬ (#‘𝑉) = 3 → (𝐺 RegUSGraph 𝐾 → ((#‘𝑉) = 0 ∨ (#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3)))))))
103102ex 448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑉 ∈ Fin → (𝑉 ≠ ∅ → (𝐺 ∈ FriendGraph → ((#‘𝑉) ∈ (ℤ‘2) → (¬ (#‘𝑉) = 2 → (¬ (#‘𝑉) = 3 → (𝐺 RegUSGraph 𝐾 → ((#‘𝑉) = 0 ∨ (#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3))))))))
104103com23 83 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑉 ∈ Fin → (𝐺 ∈ FriendGraph → (𝑉 ≠ ∅ → ((#‘𝑉) ∈ (ℤ‘2) → (¬ (#‘𝑉) = 2 → (¬ (#‘𝑉) = 3 → (𝐺 RegUSGraph 𝐾 → ((#‘𝑉) = 0 ∨ (#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3))))))))
105104com14 93 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((#‘𝑉) ∈ (ℤ‘2) → (𝐺 ∈ FriendGraph → (𝑉 ≠ ∅ → (𝑉 ∈ Fin → (¬ (#‘𝑉) = 2 → (¬ (#‘𝑉) = 3 → (𝐺 RegUSGraph 𝐾 → ((#‘𝑉) = 0 ∨ (#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3))))))))
1061053imp 1248 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((#‘𝑉) ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (𝑉 ∈ Fin → (¬ (#‘𝑉) = 2 → (¬ (#‘𝑉) = 3 → (𝐺 RegUSGraph 𝐾 → ((#‘𝑉) = 0 ∨ (#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3))))))
107106com3r 84 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (¬ (#‘𝑉) = 2 → (((#‘𝑉) ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (𝑉 ∈ Fin → (¬ (#‘𝑉) = 3 → (𝐺 RegUSGraph 𝐾 → ((#‘𝑉) = 0 ∨ (#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3))))))
10834, 107pm2.61i 174 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((#‘𝑉) ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (𝑉 ∈ Fin → (¬ (#‘𝑉) = 3 → (𝐺 RegUSGraph 𝐾 → ((#‘𝑉) = 0 ∨ (#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3)))))
1091083exp 1255 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((#‘𝑉) ∈ (ℤ‘2) → (𝐺 ∈ FriendGraph → (𝑉 ≠ ∅ → (𝑉 ∈ Fin → (¬ (#‘𝑉) = 3 → (𝐺 RegUSGraph 𝐾 → ((#‘𝑉) = 0 ∨ (#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3)))))))
11010, 109sylbir 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((#‘𝑉) ∈ ℕ ∧ (#‘𝑉) ≠ 1) → (𝐺 ∈ FriendGraph → (𝑉 ≠ ∅ → (𝑉 ∈ Fin → (¬ (#‘𝑉) = 3 → (𝐺 RegUSGraph 𝐾 → ((#‘𝑉) = 0 ∨ (#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3)))))))
111110ex 448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((#‘𝑉) ∈ ℕ → ((#‘𝑉) ≠ 1 → (𝐺 ∈ FriendGraph → (𝑉 ≠ ∅ → (𝑉 ∈ Fin → (¬ (#‘𝑉) = 3 → (𝐺 RegUSGraph 𝐾 → ((#‘𝑉) = 0 ∨ (#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3))))))))
1129, 111syl5bir 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((#‘𝑉) ∈ ℕ → (¬ (#‘𝑉) = 1 → (𝐺 ∈ FriendGraph → (𝑉 ≠ ∅ → (𝑉 ∈ Fin → (¬ (#‘𝑉) = 3 → (𝐺 RegUSGraph 𝐾 → ((#‘𝑉) = 0 ∨ (#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3))))))))
113112com25 96 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((#‘𝑉) ∈ ℕ → (𝑉 ∈ Fin → (𝐺 ∈ FriendGraph → (𝑉 ≠ ∅ → (¬ (#‘𝑉) = 1 → (¬ (#‘𝑉) = 3 → (𝐺 RegUSGraph 𝐾 → ((#‘𝑉) = 0 ∨ (#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3))))))))
1148, 113sylbir 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((#‘𝑉) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑉) ≠ 0) → (𝑉 ∈ Fin → (𝐺 ∈ FriendGraph → (𝑉 ≠ ∅ → (¬ (#‘𝑉) = 1 → (¬ (#‘𝑉) = 3 → (𝐺 RegUSGraph 𝐾 → ((#‘𝑉) = 0 ∨ (#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3))))))))
115114ex 448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((#‘𝑉) ∈ ℕ0 → ((#‘𝑉) ≠ 0 → (𝑉 ∈ Fin → (𝐺 ∈ FriendGraph → (𝑉 ≠ ∅ → (¬ (#‘𝑉) = 1 → (¬ (#‘𝑉) = 3 → (𝐺 RegUSGraph 𝐾 → ((#‘𝑉) = 0 ∨ (#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3)))))))))
116115com23 83 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((#‘𝑉) ∈ ℕ0 → (𝑉 ∈ Fin → ((#‘𝑉) ≠ 0 → (𝐺 ∈ FriendGraph → (𝑉 ≠ ∅ → (¬ (#‘𝑉) = 1 → (¬ (#‘𝑉) = 3 → (𝐺 RegUSGraph 𝐾 → ((#‘𝑉) = 0 ∨ (#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3)))))))))
117116impd 445 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((#‘𝑉) ∈ ℕ0 → ((𝑉 ∈ Fin ∧ (#‘𝑉) ≠ 0) → (𝐺 ∈ FriendGraph → (𝑉 ≠ ∅ → (¬ (#‘𝑉) = 1 → (¬ (#‘𝑉) = 3 → (𝐺 RegUSGraph 𝐾 → ((#‘𝑉) = 0 ∨ (#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3))))))))
118117com14 93 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑉 ≠ ∅ → ((𝑉 ∈ Fin ∧ (#‘𝑉) ≠ 0) → (𝐺 ∈ FriendGraph → ((#‘𝑉) ∈ ℕ0 → (¬ (#‘𝑉) = 1 → (¬ (#‘𝑉) = 3 → (𝐺 RegUSGraph 𝐾 → ((#‘𝑉) = 0 ∨ (#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3))))))))
1197, 118mpcom 37 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑉 ∈ Fin ∧ (#‘𝑉) ≠ 0) → (𝐺 ∈ FriendGraph → ((#‘𝑉) ∈ ℕ0 → (¬ (#‘𝑉) = 1 → (¬ (#‘𝑉) = 3 → (𝐺 RegUSGraph 𝐾 → ((#‘𝑉) = 0 ∨ (#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3)))))))
120119ex 448 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑉 ∈ Fin → ((#‘𝑉) ≠ 0 → (𝐺 ∈ FriendGraph → ((#‘𝑉) ∈ ℕ0 → (¬ (#‘𝑉) = 1 → (¬ (#‘𝑉) = 3 → (𝐺 RegUSGraph 𝐾 → ((#‘𝑉) = 0 ∨ (#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3))))))))
121120com14 93 . . . . . . . . . . . . 13 ((#‘𝑉) ∈ ℕ0 → ((#‘𝑉) ≠ 0 → (𝐺 ∈ FriendGraph → (𝑉 ∈ Fin → (¬ (#‘𝑉) = 1 → (¬ (#‘𝑉) = 3 → (𝐺 RegUSGraph 𝐾 → ((#‘𝑉) = 0 ∨ (#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3))))))))
1224, 121syl5bir 231 . . . . . . . . . . . 12 ((#‘𝑉) ∈ ℕ0 → (¬ (#‘𝑉) = 0 → (𝐺 ∈ FriendGraph → (𝑉 ∈ Fin → (¬ (#‘𝑉) = 1 → (¬ (#‘𝑉) = 3 → (𝐺 RegUSGraph 𝐾 → ((#‘𝑉) = 0 ∨ (#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3))))))))
123122com24 92 . . . . . . . . . . 11 ((#‘𝑉) ∈ ℕ0 → (𝑉 ∈ Fin → (𝐺 ∈ FriendGraph → (¬ (#‘𝑉) = 0 → (¬ (#‘𝑉) = 1 → (¬ (#‘𝑉) = 3 → (𝐺 RegUSGraph 𝐾 → ((#‘𝑉) = 0 ∨ (#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3))))))))
1241233imp 1248 . . . . . . . . . 10 (((#‘𝑉) ∈ ℕ0𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ) → (¬ (#‘𝑉) = 0 → (¬ (#‘𝑉) = 1 → (¬ (#‘𝑉) = 3 → (𝐺 RegUSGraph 𝐾 → ((#‘𝑉) = 0 ∨ (#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3))))))
125124com25 96 . . . . . . . . 9 (((#‘𝑉) ∈ ℕ0𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ) → (𝐺 RegUSGraph 𝐾 → (¬ (#‘𝑉) = 1 → (¬ (#‘𝑉) = 3 → (¬ (#‘𝑉) = 0 → ((#‘𝑉) = 0 ∨ (#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3))))))
126125imp 443 . . . . . . . 8 ((((#‘𝑉) ∈ ℕ0𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ) ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) → (¬ (#‘𝑉) = 1 → (¬ (#‘𝑉) = 3 → (¬ (#‘𝑉) = 0 → ((#‘𝑉) = 0 ∨ (#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3)))))
127126com14 93 . . . . . . 7 (¬ (#‘𝑉) = 0 → (¬ (#‘𝑉) = 1 → (¬ (#‘𝑉) = 3 → ((((#‘𝑉) ∈ ℕ0𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ) ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) → ((#‘𝑉) = 0 ∨ (#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3)))))
1281273imp 1248 . . . . . 6 ((¬ (#‘𝑉) = 0 ∧ ¬ (#‘𝑉) = 1 ∧ ¬ (#‘𝑉) = 3) → ((((#‘𝑉) ∈ ℕ0𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ) ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) → ((#‘𝑉) = 0 ∨ (#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3)))
1293, 128sylbi 205 . . . . 5 (¬ ((#‘𝑉) = 0 ∨ (#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3) → ((((#‘𝑉) ∈ ℕ0𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ) ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) → ((#‘𝑉) = 0 ∨ (#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3)))
1302, 129pm2.61i 174 . . . 4 ((((#‘𝑉) ∈ ℕ0𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ) ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) → ((#‘𝑉) = 0 ∨ (#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3))
1311303exp1 1274 . . 3 ((#‘𝑉) ∈ ℕ0 → (𝑉 ∈ Fin → (𝐺 ∈ FriendGraph → (𝐺 RegUSGraph 𝐾 → ((#‘𝑉) = 0 ∨ (#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3)))))
1321, 131mpcom 37 . 2 (𝑉 ∈ Fin → (𝐺 ∈ FriendGraph → (𝐺 RegUSGraph 𝐾 → ((#‘𝑉) = 0 ∨ (#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3))))
1331323imp21 1268 1 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) → ((#‘𝑉) = 0 ∨ (#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wo 381  wa 382  w3o 1029  w3a 1030   = wceq 1474  wfal 1479  wex 1694  wcel 1976  wne 2779  wnel 2780  wral 2895  Vcvv 3172  c0 3873  {cpr 4126   class class class wbr 4577  cfv 5790  (class class class)co 6527  Fincfn 7819  0cc0 9793  1c1 9794   + caddc 9796   · cmul 9798   < clt 9931  cmin 10118  cn 10870  2c2 10920  3c3 10921  0cn0 11142  cuz 11522  #chash 12937  0*cxnn0 40219  Vtxcvtx 40251   USGraph cusgr 40401  VtxDegcvtxdg 40703   RegUSGraph crusgr 40778   FriendGraph cfrgr 41450
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6825  ax-inf2 8399  ax-ac2 9146  ax-cnex 9849  ax-resscn 9850  ax-1cn 9851  ax-icn 9852  ax-addcl 9853  ax-addrcl 9854  ax-mulcl 9855  ax-mulrcl 9856  ax-mulcom 9857  ax-addass 9858  ax-mulass 9859  ax-distr 9860  ax-i2m1 9861  ax-1ne0 9862  ax-1rid 9863  ax-rnegex 9864  ax-rrecex 9865  ax-cnre 9866  ax-pre-lttri 9867  ax-pre-lttrn 9868  ax-pre-ltadd 9869  ax-pre-mulgt0 9870  ax-pre-sup 9871
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-ifp 1006  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-disj 4548  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-se 4988  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-isom 5799  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6936  df-1st 7037  df-2nd 7038  df-wrecs 7272  df-recs 7333  df-rdg 7371  df-1o 7425  df-2o 7426  df-oadd 7429  df-er 7607  df-ec 7609  df-qs 7613  df-map 7724  df-pm 7725  df-en 7820  df-dom 7821  df-sdom 7822  df-fin 7823  df-sup 8209  df-inf 8210  df-oi 8276  df-card 8626  df-ac 8800  df-cda 8851  df-pnf 9933  df-mnf 9934  df-xr 9935  df-ltxr 9936  df-le 9937  df-sub 10120  df-neg 10121  df-div 10537  df-nn 10871  df-2 10929  df-3 10930  df-n0 11143  df-z 11214  df-uz 11523  df-rp 11668  df-xadd 11782  df-ico 12011  df-fz 12156  df-fzo 12293  df-fl 12413  df-mod 12489  df-seq 12622  df-exp 12681  df-hash 12938  df-word 13103  df-lsw 13104  df-concat 13105  df-s1 13106  df-substr 13107  df-reps 13110  df-csh 13335  df-s2 13393  df-s3 13394  df-cj 13636  df-re 13637  df-im 13638  df-sqrt 13772  df-abs 13773  df-clim 14016  df-sum 14214  df-dvds 14771  df-gcd 15004  df-prm 15173  df-phi 15258  df-xnn0 40220  df-vtx 40253  df-iedg 40254  df-uhgr 40302  df-ushgr 40303  df-upgr 40330  df-umgr 40331  df-edga 40374  df-uspgr 40402  df-usgr 40403  df-fusgr 40558  df-nbgr 40576  df-vtxdg 40704  df-rgr 40779  df-rusgr 40780  df-1wlks 40822  df-wlks 40823  df-wlkson 40824  df-trls 40923  df-trlson 40924  df-pths 40945  df-spths 40946  df-pthson 40947  df-spthson 40948  df-wwlks 41055  df-wwlksn 41056  df-wwlksnon 41057  df-wspthsn 41058  df-wspthsnon 41059  df-clwwlks 41207  df-clwwlksn 41208  df-conngr 41376  df-frgr 41451
This theorem is referenced by:  av-frgraregord13  41572
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