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Theorem av-numclwlk1lem2f1 41522
Description: 𝑇 is a 1-1 function. (Contributed by AV, 26-Sep-2018.) (Revised by AV, 29-May-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
av-extwwlkfab.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
av-extwwlkfab.f 𝐹 = (𝑣𝑉, 𝑛 ∈ ℕ ↦ {𝑤 ∈ (𝑛 ClWWalkSN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑣})
av-extwwlkfab.c 𝐶 = (𝑣𝑉, 𝑛 ∈ (ℤ‘2) ↦ {𝑤 ∈ (𝑛 ClWWalkSN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑣 ∧ (𝑤‘(𝑛 − 2)) = (𝑤‘0))})
av-numclwwlk.t 𝑇 = (𝑤 ∈ (𝑋𝐶𝑁) ↦ ⟨(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩), (𝑤‘(𝑁 − 1))⟩)
Assertion
Ref Expression
av-numclwlk1lem2f1 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → 𝑇:(𝑋𝐶𝑁)–1-1→((𝑋𝐹(𝑁 − 2)) × (𝐺 NeighbVtx 𝑋)))
Distinct variable groups:   𝑛,𝐺,𝑣,𝑤   𝑛,𝑁,𝑣,𝑤   𝑛,𝑉,𝑣,𝑤   𝑛,𝑋,𝑣,𝑤   𝑤,𝐹   𝑤,𝐶
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑣,𝑛)   𝑇(𝑤,𝑣,𝑛)   𝐹(𝑣,𝑛)

Proof of Theorem av-numclwlk1lem2f1
Dummy variables 𝑢 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 av-extwwlkfab.v . . 3 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2 av-extwwlkfab.f . . 3 𝐹 = (𝑣𝑉, 𝑛 ∈ ℕ ↦ {𝑤 ∈ (𝑛 ClWWalkSN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑣})
3 av-extwwlkfab.c . . 3 𝐶 = (𝑣𝑉, 𝑛 ∈ (ℤ‘2) ↦ {𝑤 ∈ (𝑛 ClWWalkSN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑣 ∧ (𝑤‘(𝑛 − 2)) = (𝑤‘0))})
4 av-numclwwlk.t . . 3 𝑇 = (𝑤 ∈ (𝑋𝐶𝑁) ↦ ⟨(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩), (𝑤‘(𝑁 − 1))⟩)
51, 2, 3, 4av-numclwlk1lem2f 41520 . 2 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → 𝑇:(𝑋𝐶𝑁)⟶((𝑋𝐹(𝑁 − 2)) × (𝐺 NeighbVtx 𝑋)))
61, 2, 3, 4av-numclwlk1lem2fv 41521 . . . . . 6 (𝑝 ∈ (𝑋𝐶𝑁) → (𝑇𝑝) = ⟨(𝑝 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩), (𝑝‘(𝑁 − 1))⟩)
76ad2antrl 759 . . . . 5 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑋𝐶𝑁) ∧ 𝑢 ∈ (𝑋𝐶𝑁))) → (𝑇𝑝) = ⟨(𝑝 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩), (𝑝‘(𝑁 − 1))⟩)
81, 2, 3, 4av-numclwlk1lem2fv 41521 . . . . . 6 (𝑢 ∈ (𝑋𝐶𝑁) → (𝑇𝑢) = ⟨(𝑢 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩), (𝑢‘(𝑁 − 1))⟩)
98ad2antll 760 . . . . 5 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑋𝐶𝑁) ∧ 𝑢 ∈ (𝑋𝐶𝑁))) → (𝑇𝑢) = ⟨(𝑢 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩), (𝑢‘(𝑁 − 1))⟩)
107, 9eqeq12d 2620 . . . 4 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑋𝐶𝑁) ∧ 𝑢 ∈ (𝑋𝐶𝑁))) → ((𝑇𝑝) = (𝑇𝑢) ↔ ⟨(𝑝 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩), (𝑝‘(𝑁 − 1))⟩ = ⟨(𝑢 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩), (𝑢‘(𝑁 − 1))⟩))
11 ovex 6551 . . . . . 6 (𝑝 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ V
12 fvex 6094 . . . . . 6 (𝑝‘(𝑁 − 1)) ∈ V
1311, 12opth 4861 . . . . 5 (⟨(𝑝 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩), (𝑝‘(𝑁 − 1))⟩ = ⟨(𝑢 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩), (𝑢‘(𝑁 − 1))⟩ ↔ ((𝑝 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) = (𝑢 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 1)) = (𝑢‘(𝑁 − 1))))
14 uzuzle23 11557 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → 𝑁 ∈ (ℤ‘2))
153av-numclwwlkovgel 41517 . . . . . . . . . 10 ((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑝 ∈ (𝑋𝐶𝑁) ↔ (𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalkSN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋 ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = (𝑝‘0))))
1614, 15sylan2 489 . . . . . . . . 9 ((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (𝑝 ∈ (𝑋𝐶𝑁) ↔ (𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalkSN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋 ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = (𝑝‘0))))
171clwwlknbp 41191 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalkSN 𝐺) → (𝑝 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑝) = 𝑁))
18173ad2ant1 1074 . . . . . . . . . 10 ((𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalkSN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋 ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = (𝑝‘0)) → (𝑝 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑝) = 𝑁))
19 3simpc 1052 . . . . . . . . . 10 ((𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalkSN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋 ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = (𝑝‘0)) → ((𝑝‘0) = 𝑋 ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = (𝑝‘0)))
2018, 19jca 552 . . . . . . . . 9 ((𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalkSN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋 ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = (𝑝‘0)) → ((𝑝 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑝) = 𝑁) ∧ ((𝑝‘0) = 𝑋 ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = (𝑝‘0))))
2116, 20syl6bi 241 . . . . . . . 8 ((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (𝑝 ∈ (𝑋𝐶𝑁) → ((𝑝 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑝) = 𝑁) ∧ ((𝑝‘0) = 𝑋 ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = (𝑝‘0)))))
22213adant1 1071 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (𝑝 ∈ (𝑋𝐶𝑁) → ((𝑝 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑝) = 𝑁) ∧ ((𝑝‘0) = 𝑋 ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = (𝑝‘0)))))
233av-numclwwlkovgel 41517 . . . . . . . . . 10 ((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑢 ∈ (𝑋𝐶𝑁) ↔ (𝑢 ∈ (𝑁 ClWWalkSN 𝐺) ∧ (𝑢‘0) = 𝑋 ∧ (𝑢‘(𝑁 − 2)) = (𝑢‘0))))
2414, 23sylan2 489 . . . . . . . . 9 ((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (𝑢 ∈ (𝑋𝐶𝑁) ↔ (𝑢 ∈ (𝑁 ClWWalkSN 𝐺) ∧ (𝑢‘0) = 𝑋 ∧ (𝑢‘(𝑁 − 2)) = (𝑢‘0))))
251clwwlknbp 41191 . . . . . . . . . . 11 (𝑢 ∈ (𝑁 ClWWalkSN 𝐺) → (𝑢 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑢) = 𝑁))
26253ad2ant1 1074 . . . . . . . . . 10 ((𝑢 ∈ (𝑁 ClWWalkSN 𝐺) ∧ (𝑢‘0) = 𝑋 ∧ (𝑢‘(𝑁 − 2)) = (𝑢‘0)) → (𝑢 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑢) = 𝑁))
27 3simpc 1052 . . . . . . . . . 10 ((𝑢 ∈ (𝑁 ClWWalkSN 𝐺) ∧ (𝑢‘0) = 𝑋 ∧ (𝑢‘(𝑁 − 2)) = (𝑢‘0)) → ((𝑢‘0) = 𝑋 ∧ (𝑢‘(𝑁 − 2)) = (𝑢‘0)))
2826, 27jca 552 . . . . . . . . 9 ((𝑢 ∈ (𝑁 ClWWalkSN 𝐺) ∧ (𝑢‘0) = 𝑋 ∧ (𝑢‘(𝑁 − 2)) = (𝑢‘0)) → ((𝑢 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑢) = 𝑁) ∧ ((𝑢‘0) = 𝑋 ∧ (𝑢‘(𝑁 − 2)) = (𝑢‘0))))
2924, 28syl6bi 241 . . . . . . . 8 ((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (𝑢 ∈ (𝑋𝐶𝑁) → ((𝑢 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑢) = 𝑁) ∧ ((𝑢‘0) = 𝑋 ∧ (𝑢‘(𝑁 − 2)) = (𝑢‘0)))))
30293adant1 1071 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (𝑢 ∈ (𝑋𝐶𝑁) → ((𝑢 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑢) = 𝑁) ∧ ((𝑢‘0) = 𝑋 ∧ (𝑢‘(𝑁 − 2)) = (𝑢‘0)))))
31 simpll 785 . . . . . . . . . . 11 (((𝑝 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑝) = 𝑁) ∧ ((𝑝‘0) = 𝑋 ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = (𝑝‘0))) → 𝑝 ∈ Word 𝑉)
3231ad2antrl 759 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ (((𝑝 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑝) = 𝑁) ∧ ((𝑝‘0) = 𝑋 ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = (𝑝‘0))) ∧ ((𝑢 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑢) = 𝑁) ∧ ((𝑢‘0) = 𝑋 ∧ (𝑢‘(𝑁 − 2)) = (𝑢‘0))))) → 𝑝 ∈ Word 𝑉)
33 simprll 797 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑝 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑝) = 𝑁) ∧ ((𝑝‘0) = 𝑋 ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = (𝑝‘0))) ∧ ((𝑢 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑢) = 𝑁) ∧ ((𝑢‘0) = 𝑋 ∧ (𝑢‘(𝑁 − 2)) = (𝑢‘0)))) → 𝑢 ∈ Word 𝑉)
3433adantl 480 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ (((𝑝 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑝) = 𝑁) ∧ ((𝑝‘0) = 𝑋 ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = (𝑝‘0))) ∧ ((𝑢 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑢) = 𝑁) ∧ ((𝑢‘0) = 𝑋 ∧ (𝑢‘(𝑁 − 2)) = (𝑢‘0))))) → 𝑢 ∈ Word 𝑉)
35 eleq1 2671 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 = (#‘𝑝) → (𝑁 ∈ (ℤ‘3) ↔ (#‘𝑝) ∈ (ℤ‘3)))
3635eqcoms 2613 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((#‘𝑝) = 𝑁 → (𝑁 ∈ (ℤ‘3) ↔ (#‘𝑝) ∈ (ℤ‘3)))
37 eluz2 11521 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((#‘𝑝) ∈ (ℤ‘3) ↔ (3 ∈ ℤ ∧ (#‘𝑝) ∈ ℤ ∧ 3 ≤ (#‘𝑝)))
38 1red 9907 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((#‘𝑝) ∈ ℤ → 1 ∈ ℝ)
39 3re 10937 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 3 ∈ ℝ
4039a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((#‘𝑝) ∈ ℤ → 3 ∈ ℝ)
41 zre 11210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((#‘𝑝) ∈ ℤ → (#‘𝑝) ∈ ℝ)
4238, 40, 413jca 1234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((#‘𝑝) ∈ ℤ → (1 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ ∧ (#‘𝑝) ∈ ℝ))
43 1lt3 11039 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1 < 3
44 ltletr 9976 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((1 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ ∧ (#‘𝑝) ∈ ℝ) → ((1 < 3 ∧ 3 ≤ (#‘𝑝)) → 1 < (#‘𝑝)))
4544expd 450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((1 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ ∧ (#‘𝑝) ∈ ℝ) → (1 < 3 → (3 ≤ (#‘𝑝) → 1 < (#‘𝑝))))
4642, 43, 45mpisyl 21 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((#‘𝑝) ∈ ℤ → (3 ≤ (#‘𝑝) → 1 < (#‘𝑝)))
4746imp 443 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((#‘𝑝) ∈ ℤ ∧ 3 ≤ (#‘𝑝)) → 1 < (#‘𝑝))
48473adant1 1071 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((3 ∈ ℤ ∧ (#‘𝑝) ∈ ℤ ∧ 3 ≤ (#‘𝑝)) → 1 < (#‘𝑝))
4937, 48sylbi 205 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((#‘𝑝) ∈ (ℤ‘3) → 1 < (#‘𝑝))
5036, 49syl6bi 241 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((#‘𝑝) = 𝑁 → (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → 1 < (#‘𝑝)))
5150com12 32 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → ((#‘𝑝) = 𝑁 → 1 < (#‘𝑝)))
52513ad2ant3 1076 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → ((#‘𝑝) = 𝑁 → 1 < (#‘𝑝)))
5352com12 32 . . . . . . . . . . . 12 ((#‘𝑝) = 𝑁 → ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → 1 < (#‘𝑝)))
5453ad3antlr 762 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑝 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑝) = 𝑁) ∧ ((𝑝‘0) = 𝑋 ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = (𝑝‘0))) ∧ ((𝑢 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑢) = 𝑁) ∧ ((𝑢‘0) = 𝑋 ∧ (𝑢‘(𝑁 − 2)) = (𝑢‘0)))) → ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → 1 < (#‘𝑝)))
5554impcom 444 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ (((𝑝 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑝) = 𝑁) ∧ ((𝑝‘0) = 𝑋 ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = (𝑝‘0))) ∧ ((𝑢 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑢) = 𝑁) ∧ ((𝑢‘0) = 𝑋 ∧ (𝑢‘(𝑁 − 2)) = (𝑢‘0))))) → 1 < (#‘𝑝))
56 2swrd2eqwrdeq 13486 . . . . . . . . . 10 ((𝑝 ∈ Word 𝑉𝑢 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 < (#‘𝑝)) → (𝑝 = 𝑢 ↔ ((#‘𝑝) = (#‘𝑢) ∧ ((𝑝 substr ⟨0, ((#‘𝑝) − 2)⟩) = (𝑢 substr ⟨0, ((#‘𝑝) − 2)⟩) ∧ (𝑝‘((#‘𝑝) − 2)) = (𝑢‘((#‘𝑝) − 2)) ∧ ( lastS ‘𝑝) = ( lastS ‘𝑢)))))
5732, 34, 55, 56syl3anc 1317 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ (((𝑝 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑝) = 𝑁) ∧ ((𝑝‘0) = 𝑋 ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = (𝑝‘0))) ∧ ((𝑢 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑢) = 𝑁) ∧ ((𝑢‘0) = 𝑋 ∧ (𝑢‘(𝑁 − 2)) = (𝑢‘0))))) → (𝑝 = 𝑢 ↔ ((#‘𝑝) = (#‘𝑢) ∧ ((𝑝 substr ⟨0, ((#‘𝑝) − 2)⟩) = (𝑢 substr ⟨0, ((#‘𝑝) − 2)⟩) ∧ (𝑝‘((#‘𝑝) − 2)) = (𝑢‘((#‘𝑝) − 2)) ∧ ( lastS ‘𝑝) = ( lastS ‘𝑢)))))
58 eqtr3 2626 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((#‘𝑝) = 𝑁 ∧ (#‘𝑢) = 𝑁) → (#‘𝑝) = (#‘𝑢))
5958expcom 449 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((#‘𝑢) = 𝑁 → ((#‘𝑝) = 𝑁 → (#‘𝑝) = (#‘𝑢)))
6059ad2antlr 758 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑢 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑢) = 𝑁) ∧ ((𝑢‘0) = 𝑋 ∧ (𝑢‘(𝑁 − 2)) = (𝑢‘0))) → ((#‘𝑝) = 𝑁 → (#‘𝑝) = (#‘𝑢)))
6160com12 32 . . . . . . . . . . . . 13 ((#‘𝑝) = 𝑁 → (((𝑢 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑢) = 𝑁) ∧ ((𝑢‘0) = 𝑋 ∧ (𝑢‘(𝑁 − 2)) = (𝑢‘0))) → (#‘𝑝) = (#‘𝑢)))
6261ad2antlr 758 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑝 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑝) = 𝑁) ∧ ((𝑝‘0) = 𝑋 ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = (𝑝‘0))) → (((𝑢 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑢) = 𝑁) ∧ ((𝑢‘0) = 𝑋 ∧ (𝑢‘(𝑁 − 2)) = (𝑢‘0))) → (#‘𝑝) = (#‘𝑢)))
6362imp 443 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑝 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑝) = 𝑁) ∧ ((𝑝‘0) = 𝑋 ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = (𝑝‘0))) ∧ ((𝑢 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑢) = 𝑁) ∧ ((𝑢‘0) = 𝑋 ∧ (𝑢‘(𝑁 − 2)) = (𝑢‘0)))) → (#‘𝑝) = (#‘𝑢))
6463adantl 480 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ (((𝑝 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑝) = 𝑁) ∧ ((𝑝‘0) = 𝑋 ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = (𝑝‘0))) ∧ ((𝑢 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑢) = 𝑁) ∧ ((𝑢‘0) = 𝑋 ∧ (𝑢‘(𝑁 − 2)) = (𝑢‘0))))) → (#‘𝑝) = (#‘𝑢))
6564biantrurd 527 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ (((𝑝 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑝) = 𝑁) ∧ ((𝑝‘0) = 𝑋 ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = (𝑝‘0))) ∧ ((𝑢 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑢) = 𝑁) ∧ ((𝑢‘0) = 𝑋 ∧ (𝑢‘(𝑁 − 2)) = (𝑢‘0))))) → (((𝑝 substr ⟨0, ((#‘𝑝) − 2)⟩) = (𝑢 substr ⟨0, ((#‘𝑝) − 2)⟩) ∧ (𝑝‘((#‘𝑝) − 2)) = (𝑢‘((#‘𝑝) − 2)) ∧ ( lastS ‘𝑝) = ( lastS ‘𝑢)) ↔ ((#‘𝑝) = (#‘𝑢) ∧ ((𝑝 substr ⟨0, ((#‘𝑝) − 2)⟩) = (𝑢 substr ⟨0, ((#‘𝑝) − 2)⟩) ∧ (𝑝‘((#‘𝑝) − 2)) = (𝑢‘((#‘𝑝) − 2)) ∧ ( lastS ‘𝑝) = ( lastS ‘𝑢)))))
66 3anan12 1043 . . . . . . . . . . 11 (((𝑝 substr ⟨0, ((#‘𝑝) − 2)⟩) = (𝑢 substr ⟨0, ((#‘𝑝) − 2)⟩) ∧ (𝑝‘((#‘𝑝) − 2)) = (𝑢‘((#‘𝑝) − 2)) ∧ ( lastS ‘𝑝) = ( lastS ‘𝑢)) ↔ ((𝑝‘((#‘𝑝) − 2)) = (𝑢‘((#‘𝑝) − 2)) ∧ ((𝑝 substr ⟨0, ((#‘𝑝) − 2)⟩) = (𝑢 substr ⟨0, ((#‘𝑝) − 2)⟩) ∧ ( lastS ‘𝑝) = ( lastS ‘𝑢))))
6766a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ (((𝑝 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑝) = 𝑁) ∧ ((𝑝‘0) = 𝑋 ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = (𝑝‘0))) ∧ ((𝑢 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑢) = 𝑁) ∧ ((𝑢‘0) = 𝑋 ∧ (𝑢‘(𝑁 − 2)) = (𝑢‘0))))) → (((𝑝 substr ⟨0, ((#‘𝑝) − 2)⟩) = (𝑢 substr ⟨0, ((#‘𝑝) − 2)⟩) ∧ (𝑝‘((#‘𝑝) − 2)) = (𝑢‘((#‘𝑝) − 2)) ∧ ( lastS ‘𝑝) = ( lastS ‘𝑢)) ↔ ((𝑝‘((#‘𝑝) − 2)) = (𝑢‘((#‘𝑝) − 2)) ∧ ((𝑝 substr ⟨0, ((#‘𝑝) − 2)⟩) = (𝑢 substr ⟨0, ((#‘𝑝) − 2)⟩) ∧ ( lastS ‘𝑝) = ( lastS ‘𝑢)))))
68 eqeq2 2616 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑝‘0) = 𝑋 → ((𝑝‘(𝑁 − 2)) = (𝑝‘0) ↔ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = 𝑋))
69 oveq1 6530 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑁 = (#‘𝑝) → (𝑁 − 2) = ((#‘𝑝) − 2))
7069eqcoms 2613 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((#‘𝑝) = 𝑁 → (𝑁 − 2) = ((#‘𝑝) − 2))
7170fveq2d 6088 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((#‘𝑝) = 𝑁 → (𝑝‘(𝑁 − 2)) = (𝑝‘((#‘𝑝) − 2)))
7271eqeq1d 2607 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((#‘𝑝) = 𝑁 → ((𝑝‘(𝑁 − 2)) = 𝑋 ↔ (𝑝‘((#‘𝑝) − 2)) = 𝑋))
7372biimpcd 237 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑝‘(𝑁 − 2)) = 𝑋 → ((#‘𝑝) = 𝑁 → (𝑝‘((#‘𝑝) − 2)) = 𝑋))
7468, 73syl6bi 241 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑝‘0) = 𝑋 → ((𝑝‘(𝑁 − 2)) = (𝑝‘0) → ((#‘𝑝) = 𝑁 → (𝑝‘((#‘𝑝) − 2)) = 𝑋)))
7574imp 443 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑝‘0) = 𝑋 ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = (𝑝‘0)) → ((#‘𝑝) = 𝑁 → (𝑝‘((#‘𝑝) − 2)) = 𝑋))
7675com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((#‘𝑝) = 𝑁 → (((𝑝‘0) = 𝑋 ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = (𝑝‘0)) → (𝑝‘((#‘𝑝) − 2)) = 𝑋))
7776adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑝 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑝) = 𝑁) → (((𝑝‘0) = 𝑋 ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = (𝑝‘0)) → (𝑝‘((#‘𝑝) − 2)) = 𝑋))
7877imp 443 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑝 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑝) = 𝑁) ∧ ((𝑝‘0) = 𝑋 ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = (𝑝‘0))) → (𝑝‘((#‘𝑝) − 2)) = 𝑋)
7978adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑝 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑝) = 𝑁) ∧ ((𝑝‘0) = 𝑋 ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = (𝑝‘0))) ∧ ((𝑢 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑢) = 𝑁) ∧ ((𝑢‘0) = 𝑋 ∧ (𝑢‘(𝑁 − 2)) = (𝑢‘0)))) → (𝑝‘((#‘𝑝) − 2)) = 𝑋)
80 oveq1 6530 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((#‘𝑝) = 𝑁 → ((#‘𝑝) − 2) = (𝑁 − 2))
8180fveq2d 6088 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((#‘𝑝) = 𝑁 → (𝑢‘((#‘𝑝) − 2)) = (𝑢‘(𝑁 − 2)))
82 eqeq1 2609 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑢‘0) = (𝑢‘(𝑁 − 2)) → ((𝑢‘0) = 𝑋 ↔ (𝑢‘(𝑁 − 2)) = 𝑋))
8382eqcoms 2613 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑢‘(𝑁 − 2)) = (𝑢‘0) → ((𝑢‘0) = 𝑋 ↔ (𝑢‘(𝑁 − 2)) = 𝑋))
8483biimpac 501 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑢‘0) = 𝑋 ∧ (𝑢‘(𝑁 − 2)) = (𝑢‘0)) → (𝑢‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)
8584adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑢 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑢) = 𝑁) ∧ ((𝑢‘0) = 𝑋 ∧ (𝑢‘(𝑁 − 2)) = (𝑢‘0))) → (𝑢‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)
8681, 85sylan9eq 2659 . . . . . . . . . . . . . 14 (((#‘𝑝) = 𝑁 ∧ ((𝑢 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑢) = 𝑁) ∧ ((𝑢‘0) = 𝑋 ∧ (𝑢‘(𝑁 − 2)) = (𝑢‘0)))) → (𝑢‘((#‘𝑝) − 2)) = 𝑋)
8786ad4ant24 1289 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑝 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑝) = 𝑁) ∧ ((𝑝‘0) = 𝑋 ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = (𝑝‘0))) ∧ ((𝑢 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑢) = 𝑁) ∧ ((𝑢‘0) = 𝑋 ∧ (𝑢‘(𝑁 − 2)) = (𝑢‘0)))) → (𝑢‘((#‘𝑝) − 2)) = 𝑋)
8879, 87eqtr4d 2642 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑝 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑝) = 𝑁) ∧ ((𝑝‘0) = 𝑋 ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = (𝑝‘0))) ∧ ((𝑢 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑢) = 𝑁) ∧ ((𝑢‘0) = 𝑋 ∧ (𝑢‘(𝑁 − 2)) = (𝑢‘0)))) → (𝑝‘((#‘𝑝) − 2)) = (𝑢‘((#‘𝑝) − 2)))
8988adantl 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ (((𝑝 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑝) = 𝑁) ∧ ((𝑝‘0) = 𝑋 ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = (𝑝‘0))) ∧ ((𝑢 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑢) = 𝑁) ∧ ((𝑢‘0) = 𝑋 ∧ (𝑢‘(𝑁 − 2)) = (𝑢‘0))))) → (𝑝‘((#‘𝑝) − 2)) = (𝑢‘((#‘𝑝) − 2)))
9089biantrurd 527 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ (((𝑝 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑝) = 𝑁) ∧ ((𝑝‘0) = 𝑋 ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = (𝑝‘0))) ∧ ((𝑢 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑢) = 𝑁) ∧ ((𝑢‘0) = 𝑋 ∧ (𝑢‘(𝑁 − 2)) = (𝑢‘0))))) → (((𝑝 substr ⟨0, ((#‘𝑝) − 2)⟩) = (𝑢 substr ⟨0, ((#‘𝑝) − 2)⟩) ∧ ( lastS ‘𝑝) = ( lastS ‘𝑢)) ↔ ((𝑝‘((#‘𝑝) − 2)) = (𝑢‘((#‘𝑝) − 2)) ∧ ((𝑝 substr ⟨0, ((#‘𝑝) − 2)⟩) = (𝑢 substr ⟨0, ((#‘𝑝) − 2)⟩) ∧ ( lastS ‘𝑝) = ( lastS ‘𝑢)))))
9180opeq2d 4337 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((#‘𝑝) = 𝑁 → ⟨0, ((#‘𝑝) − 2)⟩ = ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)
9291oveq2d 6539 . . . . . . . . . . . . . 14 ((#‘𝑝) = 𝑁 → (𝑝 substr ⟨0, ((#‘𝑝) − 2)⟩) = (𝑝 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩))
9391oveq2d 6539 . . . . . . . . . . . . . 14 ((#‘𝑝) = 𝑁 → (𝑢 substr ⟨0, ((#‘𝑝) − 2)⟩) = (𝑢 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩))
9492, 93eqeq12d 2620 . . . . . . . . . . . . 13 ((#‘𝑝) = 𝑁 → ((𝑝 substr ⟨0, ((#‘𝑝) − 2)⟩) = (𝑢 substr ⟨0, ((#‘𝑝) − 2)⟩) ↔ (𝑝 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) = (𝑢 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)))
9594ad3antlr 762 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑝 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑝) = 𝑁) ∧ ((𝑝‘0) = 𝑋 ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = (𝑝‘0))) ∧ ((𝑢 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑢) = 𝑁) ∧ ((𝑢‘0) = 𝑋 ∧ (𝑢‘(𝑁 − 2)) = (𝑢‘0)))) → ((𝑝 substr ⟨0, ((#‘𝑝) − 2)⟩) = (𝑢 substr ⟨0, ((#‘𝑝) − 2)⟩) ↔ (𝑝 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) = (𝑢 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)))
9695adantl 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ (((𝑝 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑝) = 𝑁) ∧ ((𝑝‘0) = 𝑋 ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = (𝑝‘0))) ∧ ((𝑢 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑢) = 𝑁) ∧ ((𝑢‘0) = 𝑋 ∧ (𝑢‘(𝑁 − 2)) = (𝑢‘0))))) → ((𝑝 substr ⟨0, ((#‘𝑝) − 2)⟩) = (𝑢 substr ⟨0, ((#‘𝑝) − 2)⟩) ↔ (𝑝 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) = (𝑢 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)))
97 lsw 13146 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑝 ∈ Word 𝑉 → ( lastS ‘𝑝) = (𝑝‘((#‘𝑝) − 1)))
98 oveq1 6530 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((#‘𝑝) = 𝑁 → ((#‘𝑝) − 1) = (𝑁 − 1))
9998fveq2d 6088 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((#‘𝑝) = 𝑁 → (𝑝‘((#‘𝑝) − 1)) = (𝑝‘(𝑁 − 1)))
10097, 99sylan9eq 2659 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑝 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑝) = 𝑁) → ( lastS ‘𝑝) = (𝑝‘(𝑁 − 1)))
101100adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑝 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑝) = 𝑁) ∧ ((𝑝‘0) = 𝑋 ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = (𝑝‘0))) → ( lastS ‘𝑝) = (𝑝‘(𝑁 − 1)))
102 lsw 13146 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑢 ∈ Word 𝑉 → ( lastS ‘𝑢) = (𝑢‘((#‘𝑢) − 1)))
103102adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑢 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑢) = 𝑁) → ( lastS ‘𝑢) = (𝑢‘((#‘𝑢) − 1)))
104 oveq1 6530 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 = (#‘𝑢) → (𝑁 − 1) = ((#‘𝑢) − 1))
105104eqcoms 2613 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((#‘𝑢) = 𝑁 → (𝑁 − 1) = ((#‘𝑢) − 1))
106105fveq2d 6088 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((#‘𝑢) = 𝑁 → (𝑢‘(𝑁 − 1)) = (𝑢‘((#‘𝑢) − 1)))
107106eqeq2d 2615 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((#‘𝑢) = 𝑁 → (( lastS ‘𝑢) = (𝑢‘(𝑁 − 1)) ↔ ( lastS ‘𝑢) = (𝑢‘((#‘𝑢) − 1))))
108107adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑢 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑢) = 𝑁) → (( lastS ‘𝑢) = (𝑢‘(𝑁 − 1)) ↔ ( lastS ‘𝑢) = (𝑢‘((#‘𝑢) − 1))))
109103, 108mpbird 245 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑢 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑢) = 𝑁) → ( lastS ‘𝑢) = (𝑢‘(𝑁 − 1)))
110109adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑢 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑢) = 𝑁) ∧ ((𝑢‘0) = 𝑋 ∧ (𝑢‘(𝑁 − 2)) = (𝑢‘0))) → ( lastS ‘𝑢) = (𝑢‘(𝑁 − 1)))
111101, 110eqeqan12d 2621 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑝 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑝) = 𝑁) ∧ ((𝑝‘0) = 𝑋 ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = (𝑝‘0))) ∧ ((𝑢 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑢) = 𝑁) ∧ ((𝑢‘0) = 𝑋 ∧ (𝑢‘(𝑁 − 2)) = (𝑢‘0)))) → (( lastS ‘𝑝) = ( lastS ‘𝑢) ↔ (𝑝‘(𝑁 − 1)) = (𝑢‘(𝑁 − 1))))
112111adantl 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ (((𝑝 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑝) = 𝑁) ∧ ((𝑝‘0) = 𝑋 ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = (𝑝‘0))) ∧ ((𝑢 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑢) = 𝑁) ∧ ((𝑢‘0) = 𝑋 ∧ (𝑢‘(𝑁 − 2)) = (𝑢‘0))))) → (( lastS ‘𝑝) = ( lastS ‘𝑢) ↔ (𝑝‘(𝑁 − 1)) = (𝑢‘(𝑁 − 1))))
11396, 112anbi12d 742 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ (((𝑝 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑝) = 𝑁) ∧ ((𝑝‘0) = 𝑋 ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = (𝑝‘0))) ∧ ((𝑢 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑢) = 𝑁) ∧ ((𝑢‘0) = 𝑋 ∧ (𝑢‘(𝑁 − 2)) = (𝑢‘0))))) → (((𝑝 substr ⟨0, ((#‘𝑝) − 2)⟩) = (𝑢 substr ⟨0, ((#‘𝑝) − 2)⟩) ∧ ( lastS ‘𝑝) = ( lastS ‘𝑢)) ↔ ((𝑝 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) = (𝑢 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 1)) = (𝑢‘(𝑁 − 1)))))
11467, 90, 1133bitr2d 294 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ (((𝑝 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑝) = 𝑁) ∧ ((𝑝‘0) = 𝑋 ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = (𝑝‘0))) ∧ ((𝑢 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑢) = 𝑁) ∧ ((𝑢‘0) = 𝑋 ∧ (𝑢‘(𝑁 − 2)) = (𝑢‘0))))) → (((𝑝 substr ⟨0, ((#‘𝑝) − 2)⟩) = (𝑢 substr ⟨0, ((#‘𝑝) − 2)⟩) ∧ (𝑝‘((#‘𝑝) − 2)) = (𝑢‘((#‘𝑝) − 2)) ∧ ( lastS ‘𝑝) = ( lastS ‘𝑢)) ↔ ((𝑝 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) = (𝑢 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 1)) = (𝑢‘(𝑁 − 1)))))
11557, 65, 1143bitr2d 294 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ (((𝑝 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑝) = 𝑁) ∧ ((𝑝‘0) = 𝑋 ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = (𝑝‘0))) ∧ ((𝑢 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑢) = 𝑁) ∧ ((𝑢‘0) = 𝑋 ∧ (𝑢‘(𝑁 − 2)) = (𝑢‘0))))) → (𝑝 = 𝑢 ↔ ((𝑝 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) = (𝑢 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 1)) = (𝑢‘(𝑁 − 1)))))
116115exbiri 649 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → ((((𝑝 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑝) = 𝑁) ∧ ((𝑝‘0) = 𝑋 ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = (𝑝‘0))) ∧ ((𝑢 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑢) = 𝑁) ∧ ((𝑢‘0) = 𝑋 ∧ (𝑢‘(𝑁 − 2)) = (𝑢‘0)))) → (((𝑝 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) = (𝑢 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 1)) = (𝑢‘(𝑁 − 1))) → 𝑝 = 𝑢)))
11722, 30, 116syl2and 498 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → ((𝑝 ∈ (𝑋𝐶𝑁) ∧ 𝑢 ∈ (𝑋𝐶𝑁)) → (((𝑝 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) = (𝑢 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 1)) = (𝑢‘(𝑁 − 1))) → 𝑝 = 𝑢)))
118117imp 443 . . . . 5 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑋𝐶𝑁) ∧ 𝑢 ∈ (𝑋𝐶𝑁))) → (((𝑝 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) = (𝑢 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 1)) = (𝑢‘(𝑁 − 1))) → 𝑝 = 𝑢))
11913, 118syl5bi 230 . . . 4 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑋𝐶𝑁) ∧ 𝑢 ∈ (𝑋𝐶𝑁))) → (⟨(𝑝 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩), (𝑝‘(𝑁 − 1))⟩ = ⟨(𝑢 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩), (𝑢‘(𝑁 − 1))⟩ → 𝑝 = 𝑢))
12010, 119sylbid 228 . . 3 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑋𝐶𝑁) ∧ 𝑢 ∈ (𝑋𝐶𝑁))) → ((𝑇𝑝) = (𝑇𝑢) → 𝑝 = 𝑢))
121120ralrimivva 2949 . 2 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → ∀𝑝 ∈ (𝑋𝐶𝑁)∀𝑢 ∈ (𝑋𝐶𝑁)((𝑇𝑝) = (𝑇𝑢) → 𝑝 = 𝑢))
122 dff13 6390 . 2 (𝑇:(𝑋𝐶𝑁)–1-1→((𝑋𝐹(𝑁 − 2)) × (𝐺 NeighbVtx 𝑋)) ↔ (𝑇:(𝑋𝐶𝑁)⟶((𝑋𝐹(𝑁 − 2)) × (𝐺 NeighbVtx 𝑋)) ∧ ∀𝑝 ∈ (𝑋𝐶𝑁)∀𝑢 ∈ (𝑋𝐶𝑁)((𝑇𝑝) = (𝑇𝑢) → 𝑝 = 𝑢)))
1235, 121, 122sylanbrc 694 1 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → 𝑇:(𝑋𝐶𝑁)–1-1→((𝑋𝐹(𝑁 − 2)) × (𝐺 NeighbVtx 𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1975  wral 2891  {crab 2895  cop 4126   class class class wbr 4573  cmpt 4633   × cxp 5022  wf 5782  1-1wf1 5783  cfv 5786  (class class class)co 6523  cmpt2 6525  cr 9787  0cc0 9788  1c1 9789   < clt 9926  cle 9927  cmin 10113  cn 10863  2c2 10913  3c3 10914  cz 11206  cuz 11515  #chash 12930  Word cword 13088   lastS clsw 13089   substr csubstr 13092  Vtxcvtx 40227   USGraph cusgr 40377   NeighbVtx cnbgr 40548   ClWWalkSN cclwwlksn 41182
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1711  ax-4 1726  ax-5 1825  ax-6 1873  ax-7 1920  ax-8 1977  ax-9 1984  ax-10 2004  ax-11 2019  ax-12 2031  ax-13 2228  ax-ext 2585  ax-rep 4689  ax-sep 4699  ax-nul 4708  ax-pow 4760  ax-pr 4824  ax-un 6820  ax-cnex 9844  ax-resscn 9845  ax-1cn 9846  ax-icn 9847  ax-addcl 9848  ax-addrcl 9849  ax-mulcl 9850  ax-mulrcl 9851  ax-mulcom 9852  ax-addass 9853  ax-mulass 9854  ax-distr 9855  ax-i2m1 9856  ax-1ne0 9857  ax-1rid 9858  ax-rnegex 9859  ax-rrecex 9860  ax-cnre 9861  ax-pre-lttri 9862  ax-pre-lttrn 9863  ax-pre-ltadd 9864  ax-pre-mulgt0 9865
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1866  df-eu 2457  df-mo 2458  df-clab 2592  df-cleq 2598  df-clel 2601  df-nfc 2735  df-ne 2777  df-nel 2778  df-ral 2896  df-rex 2897  df-reu 2898  df-rmo 2899  df-rab 2900  df-v 3170  df-sbc 3398  df-csb 3495  df-dif 3538  df-un 3540  df-in 3542  df-ss 3549  df-pss 3551  df-nul 3870  df-if 4032  df-pw 4105  df-sn 4121  df-pr 4123  df-tp 4125  df-op 4127  df-uni 4363  df-int 4401  df-iun 4447  df-br 4574  df-opab 4634  df-mpt 4635  df-tr 4671  df-eprel 4935  df-id 4939  df-po 4945  df-so 4946  df-fr 4983  df-we 4985  df-xp 5030  df-rel 5031  df-cnv 5032  df-co 5033  df-dm 5034  df-rn 5035  df-res 5036  df-ima 5037  df-pred 5579  df-ord 5625  df-on 5626  df-lim 5627  df-suc 5628  df-iota 5750  df-fun 5788  df-fn 5789  df-f 5790  df-f1 5791  df-fo 5792  df-f1o 5793  df-fv 5794  df-riota 6485  df-ov 6526  df-oprab 6527  df-mpt2 6528  df-om 6931  df-1st 7032  df-2nd 7033  df-wrecs 7267  df-recs 7328  df-rdg 7366  df-1o 7420  df-2o 7421  df-oadd 7424  df-er 7602  df-map 7719  df-pm 7720  df-en 7815  df-dom 7816  df-sdom 7817  df-fin 7818  df-card 8621  df-cda 8846  df-pnf 9928  df-mnf 9929  df-xr 9930  df-ltxr 9931  df-le 9932  df-sub 10115  df-neg 10116  df-nn 10864  df-2 10922  df-3 10923  df-n0 11136  df-z 11207  df-uz 11516  df-fz 12149  df-fzo 12286  df-hash 12931  df-word 13096  df-lsw 13097  df-concat 13098  df-s1 13099  df-substr 13100  df-s2 13386  df-upgr 40306  df-umgr 40307  df-edga 40350  df-usgr 40379  df-nbgr 40552  df-clwwlks 41183  df-clwwlksn 41184
This theorem is referenced by:  av-numclwlk1lem2f1o  41524
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