Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  av-numclwwlk3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem av-numclwwlk3 41538
Description: Statement 12 in [Huneke] p. 2: "Thus f(n) = (k - 1)f(n - 2) + k^(n-2)." - the number of the closed walks v(0) ... v(n-2) v(n-1) v(n) is the sum of the number of the closed walks v(0) ... v(n-2) v(n-1) v(n) with v(n-2) = v(n) (see numclwwlk1 26388) and with v(n-2) =/= v(n) ( see av-numclwwlk2 41536): f(n) = kf(n-2) + k^(n-2) - f(n-2) = (k - 1)f(n - 2) + k^(n-2). (Contributed by Alexander van der Vekens, 26-Aug-2018.) (Revised by AV, 1-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
av-numclwwlk.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
av-numclwwlk.q 𝑄 = (𝑣𝑉, 𝑛 ∈ ℕ ↦ {𝑤 ∈ (𝑛 WWalkSN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑣 ∧ ( lastS ‘𝑤) ≠ 𝑣)})
av-numclwwlk.f 𝐹 = (𝑣𝑉, 𝑛 ∈ ℕ ↦ {𝑤 ∈ (𝑛 ClWWalkSN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑣})
av-numclwwlk.h 𝐻 = (𝑣𝑉, 𝑛 ∈ ℕ ↦ {𝑤 ∈ (𝑛 ClWWalkSN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑣 ∧ (𝑤‘(𝑛 − 2)) ≠ (𝑤‘0))})
av-numclwwlk.c 𝐶 = (𝑣𝑉, 𝑛 ∈ (ℤ‘2) ↦ {𝑤 ∈ (𝑛 ClWWalkSN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑣 ∧ (𝑤‘(𝑛 − 2)) = (𝑤‘0))})
Assertion
Ref Expression
av-numclwwlk3 (((𝐺 RegUSGraph 𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → (#‘(𝑋𝐹𝑁)) = (((𝐾 − 1) · (#‘(𝑋𝐹(𝑁 − 2)))) + (𝐾↑(𝑁 − 2))))
Distinct variable groups:   𝑛,𝐺,𝑣,𝑤   𝑛,𝑁,𝑣,𝑤   𝑛,𝑉,𝑣   𝑛,𝑋,𝑣,𝑤   𝑤,𝐾   𝑤,𝑉   𝑣,𝐻   𝑤,𝐶   𝑤,𝐹
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑣,𝑛)   𝑄(𝑤,𝑣,𝑛)   𝐹(𝑣,𝑛)   𝐻(𝑤,𝑛)   𝐾(𝑣,𝑛)

Proof of Theorem av-numclwwlk3
StepHypRef Expression
1 simpl 471 . . . 4 ((𝐺 RegUSGraph 𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ) → 𝐺 RegUSGraph 𝐾)
2 simp1 1053 . . . 4 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → 𝑉 ∈ Fin)
3 av-numclwwlk.v . . . . 5 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
43finrusgrfusgr 40764 . . . 4 ((𝐺 RegUSGraph 𝐾𝑉 ∈ Fin) → 𝐺 ∈ FinUSGraph )
51, 2, 4syl2an 492 . . 3 (((𝐺 RegUSGraph 𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → 𝐺 ∈ FinUSGraph )
6 simpr2 1060 . . 3 (((𝐺 RegUSGraph 𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → 𝑋𝑉)
7 uzuzle23 11558 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → 𝑁 ∈ (ℤ‘2))
873ad2ant3 1076 . . . 4 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → 𝑁 ∈ (ℤ‘2))
98adantl 480 . . 3 (((𝐺 RegUSGraph 𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → 𝑁 ∈ (ℤ‘2))
10 av-numclwwlk.q . . . 4 𝑄 = (𝑣𝑉, 𝑛 ∈ ℕ ↦ {𝑤 ∈ (𝑛 WWalkSN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑣 ∧ ( lastS ‘𝑤) ≠ 𝑣)})
11 av-numclwwlk.f . . . 4 𝐹 = (𝑣𝑉, 𝑛 ∈ ℕ ↦ {𝑤 ∈ (𝑛 ClWWalkSN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑣})
12 av-numclwwlk.h . . . 4 𝐻 = (𝑣𝑉, 𝑛 ∈ ℕ ↦ {𝑤 ∈ (𝑛 ClWWalkSN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑣 ∧ (𝑤‘(𝑛 − 2)) ≠ (𝑤‘0))})
13 av-numclwwlk.c . . . 4 𝐶 = (𝑣𝑉, 𝑛 ∈ (ℤ‘2) ↦ {𝑤 ∈ (𝑛 ClWWalkSN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑣 ∧ (𝑤‘(𝑛 − 2)) = (𝑤‘0))})
143, 10, 11, 12, 13av-numclwwlk3lem 41537 . . 3 (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑋𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (#‘(𝑋𝐹𝑁)) = ((#‘(𝑋𝐻𝑁)) + (#‘(𝑋𝐶𝑁))))
155, 6, 9, 14syl21anc 1316 . 2 (((𝐺 RegUSGraph 𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → (#‘(𝑋𝐹𝑁)) = ((#‘(𝑋𝐻𝑁)) + (#‘(𝑋𝐶𝑁))))
163, 10, 11, 12av-numclwwlk2 41536 . . 3 (((𝐺 RegUSGraph 𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → (#‘(𝑋𝐻𝑁)) = ((𝐾↑(𝑁 − 2)) − (#‘(𝑋𝐹(𝑁 − 2)))))
171, 2anim12ci 588 . . . 4 (((𝐺 RegUSGraph 𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾))
18 3simpc 1052 . . . . 5 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)))
1918adantl 480 . . . 4 (((𝐺 RegUSGraph 𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)))
203, 11, 13av-numclwwlk1 41527 . . . 4 (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → (#‘(𝑋𝐶𝑁)) = (𝐾 · (#‘(𝑋𝐹(𝑁 − 2)))))
2117, 19, 20syl2anc 690 . . 3 (((𝐺 RegUSGraph 𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → (#‘(𝑋𝐶𝑁)) = (𝐾 · (#‘(𝑋𝐹(𝑁 − 2)))))
2216, 21oveq12d 6542 . 2 (((𝐺 RegUSGraph 𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → ((#‘(𝑋𝐻𝑁)) + (#‘(𝑋𝐶𝑁))) = (((𝐾↑(𝑁 − 2)) − (#‘(𝑋𝐹(𝑁 − 2)))) + (𝐾 · (#‘(𝑋𝐹(𝑁 − 2))))))
23 simpll 785 . . . . 5 (((𝐺 RegUSGraph 𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → 𝐺 RegUSGraph 𝐾)
24 ne0i 3876 . . . . . . 7 (𝑋𝑉𝑉 ≠ ∅)
25243ad2ant2 1075 . . . . . 6 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → 𝑉 ≠ ∅)
2625adantl 480 . . . . 5 (((𝐺 RegUSGraph 𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → 𝑉 ≠ ∅)
273frusgrnn0 40770 . . . . 5 ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾𝑉 ≠ ∅) → 𝐾 ∈ ℕ0)
285, 23, 26, 27syl3anc 1317 . . . 4 (((𝐺 RegUSGraph 𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → 𝐾 ∈ ℕ0)
2928nn0cnd 11197 . . 3 (((𝐺 RegUSGraph 𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → 𝐾 ∈ ℂ)
30 uz3m2nn 11560 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → (𝑁 − 2) ∈ ℕ)
31303anim3i 1242 . . . . 5 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑋𝑉 ∧ (𝑁 − 2) ∈ ℕ))
3231adantl 480 . . . 4 (((𝐺 RegUSGraph 𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑋𝑉 ∧ (𝑁 − 2) ∈ ℕ))
3311, 3av-numclwwlkffin 41511 . . . 4 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑋𝑉 ∧ (𝑁 − 2) ∈ ℕ) → (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ∈ Fin)
34 hashcl 12958 . . . . 5 ((𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ∈ Fin → (#‘(𝑋𝐹(𝑁 − 2))) ∈ ℕ0)
3534nn0cnd 11197 . . . 4 ((𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ∈ Fin → (#‘(𝑋𝐹(𝑁 − 2))) ∈ ℂ)
3632, 33, 353syl 18 . . 3 (((𝐺 RegUSGraph 𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → (#‘(𝑋𝐹(𝑁 − 2))) ∈ ℂ)
37 av-numclwlk3lem3 41505 . . 3 ((𝐾 ∈ ℂ ∧ (#‘(𝑋𝐹(𝑁 − 2))) ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (((𝐾↑(𝑁 − 2)) − (#‘(𝑋𝐹(𝑁 − 2)))) + (𝐾 · (#‘(𝑋𝐹(𝑁 − 2))))) = (((𝐾 − 1) · (#‘(𝑋𝐹(𝑁 − 2)))) + (𝐾↑(𝑁 − 2))))
3829, 36, 9, 37syl3anc 1317 . 2 (((𝐺 RegUSGraph 𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → (((𝐾↑(𝑁 − 2)) − (#‘(𝑋𝐹(𝑁 − 2)))) + (𝐾 · (#‘(𝑋𝐹(𝑁 − 2))))) = (((𝐾 − 1) · (#‘(𝑋𝐹(𝑁 − 2)))) + (𝐾↑(𝑁 − 2))))
3915, 22, 383eqtrd 2644 1 (((𝐺 RegUSGraph 𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → (#‘(𝑋𝐹𝑁)) = (((𝐾 − 1) · (#‘(𝑋𝐹(𝑁 − 2)))) + (𝐾↑(𝑁 − 2))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1976  wne 2776  {crab 2896  c0 3870   class class class wbr 4574  cfv 5787  (class class class)co 6524  cmpt2 6526  Fincfn 7815  cc 9787  0cc0 9789  1c1 9790   + caddc 9792   · cmul 9794  cmin 10114  cn 10864  2c2 10914  3c3 10915  0cn0 11136  cuz 11516  cexp 12674  #chash 12931   lastS clsw 13090  Vtxcvtx 40228   FinUSGraph cfusgr 40534   RegUSGraph crusgr 40755   WWalkSN cwwlksn 41028   ClWWalkSN cclwwlksn 41183   FriendGraph cfrgr 41427
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2229  ax-ext 2586  ax-rep 4690  ax-sep 4700  ax-nul 4709  ax-pow 4761  ax-pr 4825  ax-un 6821  ax-inf2 8395  ax-cnex 9845  ax-resscn 9846  ax-1cn 9847  ax-icn 9848  ax-addcl 9849  ax-addrcl 9850  ax-mulcl 9851  ax-mulrcl 9852  ax-mulcom 9853  ax-addass 9854  ax-mulass 9855  ax-distr 9856  ax-i2m1 9857  ax-1ne0 9858  ax-1rid 9859  ax-rnegex 9860  ax-rrecex 9861  ax-cnre 9862  ax-pre-lttri 9863  ax-pre-lttrn 9864  ax-pre-ltadd 9865  ax-pre-mulgt0 9866  ax-pre-sup 9867
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2458  df-mo 2459  df-clab 2593  df-cleq 2599  df-clel 2602  df-nfc 2736  df-ne 2778  df-nel 2779  df-ral 2897  df-rex 2898  df-reu 2899  df-rmo 2900  df-rab 2901  df-v 3171  df-sbc 3399  df-csb 3496  df-dif 3539  df-un 3541  df-in 3543  df-ss 3550  df-pss 3552  df-nul 3871  df-if 4033  df-pw 4106  df-sn 4122  df-pr 4124  df-tp 4126  df-op 4128  df-uni 4364  df-int 4402  df-iun 4448  df-disj 4545  df-br 4575  df-opab 4635  df-mpt 4636  df-tr 4672  df-eprel 4936  df-id 4940  df-po 4946  df-so 4947  df-fr 4984  df-se 4985  df-we 4986  df-xp 5031  df-rel 5032  df-cnv 5033  df-co 5034  df-dm 5035  df-rn 5036  df-res 5037  df-ima 5038  df-pred 5580  df-ord 5626  df-on 5627  df-lim 5628  df-suc 5629  df-iota 5751  df-fun 5789  df-fn 5790  df-f 5791  df-f1 5792  df-fo 5793  df-f1o 5794  df-fv 5795  df-isom 5796  df-riota 6486  df-ov 6527  df-oprab 6528  df-mpt2 6529  df-om 6932  df-1st 7033  df-2nd 7034  df-wrecs 7268  df-recs 7329  df-rdg 7367  df-1o 7421  df-2o 7422  df-oadd 7425  df-er 7603  df-map 7720  df-pm 7721  df-en 7816  df-dom 7817  df-sdom 7818  df-fin 7819  df-sup 8205  df-oi 8272  df-card 8622  df-cda 8847  df-pnf 9929  df-mnf 9930  df-xr 9931  df-ltxr 9932  df-le 9933  df-sub 10116  df-neg 10117  df-div 10531  df-nn 10865  df-2 10923  df-3 10924  df-n0 11137  df-z 11208  df-uz 11517  df-rp 11662  df-xadd 11776  df-fz 12150  df-fzo 12287  df-seq 12616  df-exp 12675  df-hash 12932  df-word 13097  df-lsw 13098  df-concat 13099  df-s1 13100  df-substr 13101  df-s2 13387  df-cj 13630  df-re 13631  df-im 13632  df-sqrt 13766  df-abs 13767  df-clim 14010  df-sum 14208  df-xnn0 40197  df-vtx 40230  df-iedg 40231  df-uhgr 40279  df-ushgr 40280  df-upgr 40307  df-umgr 40308  df-edga 40351  df-uspgr 40379  df-usgr 40380  df-fusgr 40535  df-nbgr 40553  df-vtxdg 40681  df-rgr 40756  df-rusgr 40757  df-wwlks 41032  df-wwlksn 41033  df-clwwlks 41184  df-clwwlksn 41185  df-frgr 41428
This theorem is referenced by:  av-numclwwlk5  41541
  Copyright terms: Public domain W3C validator