Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  av-numclwwlk4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem av-numclwwlk4 41538
Description: The total number of closed walks in a finite simple graph is the sum of the numbers of closed walks starting at each of its vertices. (Contributed by Alexander van der Vekens, 7-Oct-2018.) (Revised by AV, 2-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
av-numclwwlk4.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
av-numclwwlk4.f 𝐹 = (𝑣𝑉, 𝑛 ∈ ℕ ↦ {𝑤 ∈ (𝑛 ClWWalkSN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑣})
Assertion
Ref Expression
av-numclwwlk4 ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (#‘(𝑁 ClWWalkSN 𝐺)) = Σ𝑥𝑉 (#‘(𝑥𝐹𝑁)))
Distinct variable groups:   𝑛,𝐺,𝑣,𝑤,𝑥   𝑛,𝑁,𝑣,𝑤,𝑥   𝑛,𝑉,𝑣,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑤,𝑣,𝑛)   𝑉(𝑤)

Proof of Theorem av-numclwwlk4
StepHypRef Expression
1 fusgrusgr 40539 . . . 4 (𝐺 ∈ FinUSGraph → 𝐺 ∈ USGraph )
2 nnnn0 11142 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
3 av-numclwwlk4.v . . . . 5 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
43clwwlksnun 41279 . . . 4 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 ClWWalkSN 𝐺) = 𝑥𝑉 {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalkSN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑥})
51, 2, 4syl2an 492 . . 3 ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 ClWWalkSN 𝐺) = 𝑥𝑉 {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalkSN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑥})
65fveq2d 6088 . 2 ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (#‘(𝑁 ClWWalkSN 𝐺)) = (#‘ 𝑥𝑉 {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalkSN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑥}))
73fusgrvtxfi 40536 . . . 4 (𝐺 ∈ FinUSGraph → 𝑉 ∈ Fin)
87adantr 479 . . 3 ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑉 ∈ Fin)
9 eqid 2605 . . . . . . . 8 (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
109fusgrvtxfi 40536 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ FinUSGraph → (Vtx‘𝐺) ∈ Fin)
1110adantr 479 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (Vtx‘𝐺) ∈ Fin)
12 clwwlksnfi 41218 . . . . . 6 ((Vtx‘𝐺) ∈ Fin → (𝑁 ClWWalkSN 𝐺) ∈ Fin)
1311, 12syl 17 . . . . 5 ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 ClWWalkSN 𝐺) ∈ Fin)
1413adantr 479 . . . 4 (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥𝑉) → (𝑁 ClWWalkSN 𝐺) ∈ Fin)
15 rabfi 8043 . . . 4 ((𝑁 ClWWalkSN 𝐺) ∈ Fin → {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalkSN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑥} ∈ Fin)
1614, 15syl 17 . . 3 (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥𝑉) → {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalkSN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑥} ∈ Fin)
17 clwwlksndisj 41278 . . . 4 Disj 𝑥𝑉 {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalkSN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑥}
1817a1i 11 . . 3 ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → Disj 𝑥𝑉 {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalkSN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑥})
198, 16, 18hashiun 14337 . 2 ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (#‘ 𝑥𝑉 {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalkSN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑥}) = Σ𝑥𝑉 (#‘{𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalkSN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑥}))
20 simpr 475 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ)
2120anim1i 589 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥𝑉) → (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝑉))
2221ancomd 465 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥𝑉) → (𝑥𝑉𝑁 ∈ ℕ))
23 av-numclwwlk4.f . . . . . . 7 𝐹 = (𝑣𝑉, 𝑛 ∈ ℕ ↦ {𝑤 ∈ (𝑛 ClWWalkSN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑣})
2423av-numclwwlkovf 41509 . . . . . 6 ((𝑥𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (𝑥𝐹𝑁) = {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalkSN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑥})
2522, 24syl 17 . . . . 5 (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥𝑉) → (𝑥𝐹𝑁) = {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalkSN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑥})
2625eqcomd 2611 . . . 4 (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥𝑉) → {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalkSN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑥} = (𝑥𝐹𝑁))
2726fveq2d 6088 . . 3 (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥𝑉) → (#‘{𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalkSN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑥}) = (#‘(𝑥𝐹𝑁)))
2827sumeq2dv 14223 . 2 ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → Σ𝑥𝑉 (#‘{𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalkSN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑥}) = Σ𝑥𝑉 (#‘(𝑥𝐹𝑁)))
296, 19, 283eqtrd 2643 1 ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (#‘(𝑁 ClWWalkSN 𝐺)) = Σ𝑥𝑉 (#‘(𝑥𝐹𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1474  wcel 1975  {crab 2895   ciun 4445  Disj wdisj 4543  cfv 5786  (class class class)co 6523  cmpt2 6525  Fincfn 7814  0cc0 9788  cn 10863  0cn0 11135  #chash 12930  Σcsu 14206  Vtxcvtx 40227   USGraph cusgr 40377   FinUSGraph cfusgr 40533   ClWWalkSN cclwwlksn 41182
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1711  ax-4 1726  ax-5 1825  ax-6 1873  ax-7 1920  ax-8 1977  ax-9 1984  ax-10 2004  ax-11 2019  ax-12 2031  ax-13 2228  ax-ext 2585  ax-rep 4689  ax-sep 4699  ax-nul 4708  ax-pow 4760  ax-pr 4824  ax-un 6820  ax-inf2 8394  ax-cnex 9844  ax-resscn 9845  ax-1cn 9846  ax-icn 9847  ax-addcl 9848  ax-addrcl 9849  ax-mulcl 9850  ax-mulrcl 9851  ax-mulcom 9852  ax-addass 9853  ax-mulass 9854  ax-distr 9855  ax-i2m1 9856  ax-1ne0 9857  ax-1rid 9858  ax-rnegex 9859  ax-rrecex 9860  ax-cnre 9861  ax-pre-lttri 9862  ax-pre-lttrn 9863  ax-pre-ltadd 9864  ax-pre-mulgt0 9865  ax-pre-sup 9866
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1866  df-eu 2457  df-mo 2458  df-clab 2592  df-cleq 2598  df-clel 2601  df-nfc 2735  df-ne 2777  df-nel 2778  df-ral 2896  df-rex 2897  df-reu 2898  df-rmo 2899  df-rab 2900  df-v 3170  df-sbc 3398  df-csb 3495  df-dif 3538  df-un 3540  df-in 3542  df-ss 3549  df-pss 3551  df-nul 3870  df-if 4032  df-pw 4105  df-sn 4121  df-pr 4123  df-tp 4125  df-op 4127  df-uni 4363  df-int 4401  df-iun 4447  df-disj 4544  df-br 4574  df-opab 4634  df-mpt 4635  df-tr 4671  df-eprel 4935  df-id 4939  df-po 4945  df-so 4946  df-fr 4983  df-se 4984  df-we 4985  df-xp 5030  df-rel 5031  df-cnv 5032  df-co 5033  df-dm 5034  df-rn 5035  df-res 5036  df-ima 5037  df-pred 5579  df-ord 5625  df-on 5626  df-lim 5627  df-suc 5628  df-iota 5750  df-fun 5788  df-fn 5789  df-f 5790  df-f1 5791  df-fo 5792  df-f1o 5793  df-fv 5794  df-isom 5795  df-riota 6485  df-ov 6526  df-oprab 6527  df-mpt2 6528  df-om 6931  df-1st 7032  df-2nd 7033  df-wrecs 7267  df-recs 7328  df-rdg 7366  df-1o 7420  df-2o 7421  df-oadd 7424  df-er 7602  df-map 7719  df-pm 7720  df-en 7815  df-dom 7816  df-sdom 7817  df-fin 7818  df-sup 8204  df-oi 8271  df-card 8621  df-cda 8846  df-pnf 9928  df-mnf 9929  df-xr 9930  df-ltxr 9931  df-le 9932  df-sub 10115  df-neg 10116  df-div 10530  df-nn 10864  df-2 10922  df-3 10923  df-n0 11136  df-z 11207  df-uz 11516  df-rp 11661  df-fz 12149  df-fzo 12286  df-seq 12615  df-exp 12674  df-hash 12931  df-word 13096  df-cj 13629  df-re 13630  df-im 13631  df-sqrt 13765  df-abs 13766  df-clim 14009  df-sum 14207  df-umgr 40307  df-edga 40350  df-usgr 40379  df-fusgr 40534  df-clwwlks 41183  df-clwwlksn 41184
This theorem is referenced by:  av-numclwwlk6  41542
  Copyright terms: Public domain W3C validator