Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  av-numclwwlk7 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem av-numclwwlk7 41540
Description: Statement 14 in [Huneke] p. 2: "The total number of closed walks of length p [in a friendship graph] is (k(k-1)+1)f(p)=1 (mod p)", since the number of vertices in a friendship graph is (k(k-1)+1), see frgregordn0 26363 or frrusgraord 26364, and p divides (k-1), i.e. (k-1) mod p = 0 => k(k-1) mod p = 0 => k(k-1)+1 mod p = 1. Since the empty graph is a friendship graph, see frgra0 26287, as well as k-regular (for any k), see 0vgrargra 26230, but has no closed walk, see clwlk0 26056, this theorem would be false for an empty graph: ((#‘(𝑃 ClWWalkSN 𝐺)) mod 𝑃) = 0 ≠ 1, so this case must be excluded (by assuming 𝑉 ≠ ∅). (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Sep-2018.) (Revised by AV, 3-Jun-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
av-numclwwlk6.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
av-numclwwlk7 (((𝐺 RegUSGraph 𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ) ∧ (𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → ((#‘(𝑃 ClWWalkSN 𝐺)) mod 𝑃) = 1)

Proof of Theorem av-numclwwlk7
StepHypRef Expression
1 simpll 785 . . . 4 (((𝐺 RegUSGraph 𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ) ∧ (𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝑉 ∈ Fin)) → 𝐺 RegUSGraph 𝐾)
2 simplr 787 . . . 4 (((𝐺 RegUSGraph 𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ) ∧ (𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝑉 ∈ Fin)) → 𝐺 ∈ FriendGraph )
3 simprr 791 . . . 4 (((𝐺 RegUSGraph 𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ) ∧ (𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝑉 ∈ Fin)) → 𝑉 ∈ Fin)
41, 2, 33jca 1234 . . 3 (((𝐺 RegUSGraph 𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ) ∧ (𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝑉 ∈ Fin)) → (𝐺 RegUSGraph 𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin))
5 av-numclwwlk6.v . . . 4 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
65av-numclwwlk6 41539 . . 3 (((𝐺 RegUSGraph 𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → ((#‘(𝑃 ClWWalkSN 𝐺)) mod 𝑃) = ((#‘𝑉) mod 𝑃))
74, 6stoic3 1691 . 2 (((𝐺 RegUSGraph 𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ) ∧ (𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → ((#‘(𝑃 ClWWalkSN 𝐺)) mod 𝑃) = ((#‘𝑉) mod 𝑃))
8 simp2 1054 . . . . . 6 (((𝐺 RegUSGraph 𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ) ∧ (𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝑉 ∈ Fin))
98ancomd 465 . . . . 5 (((𝐺 RegUSGraph 𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ) ∧ (𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅))
10 simp1 1053 . . . . . 6 (((𝐺 RegUSGraph 𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ) ∧ (𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (𝐺 RegUSGraph 𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ))
1110ancomd 465 . . . . 5 (((𝐺 RegUSGraph 𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ) ∧ (𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾))
125frrusgrord 41499 . . . . 5 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) → (#‘𝑉) = ((𝐾 · (𝐾 − 1)) + 1)))
139, 11, 12sylc 62 . . . 4 (((𝐺 RegUSGraph 𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ) ∧ (𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (#‘𝑉) = ((𝐾 · (𝐾 − 1)) + 1))
1413oveq1d 6542 . . 3 (((𝐺 RegUSGraph 𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ) ∧ (𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → ((#‘𝑉) mod 𝑃) = (((𝐾 · (𝐾 − 1)) + 1) mod 𝑃))
155av-numclwwlk7lem 41538 . . . 4 (((𝐺 RegUSGraph 𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ) ∧ (𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝑉 ∈ Fin)) → 𝐾 ∈ ℕ0)
16 nn0cn 11149 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℂ)
17 peano2cnm 10198 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾 ∈ ℂ → (𝐾 − 1) ∈ ℂ)
1816, 17syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝐾 − 1) ∈ ℂ)
1916, 18mulcomd 9917 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝐾 · (𝐾 − 1)) = ((𝐾 − 1) · 𝐾))
2019oveq1d 6542 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℕ0 → ((𝐾 · (𝐾 − 1)) mod 𝑃) = (((𝐾 − 1) · 𝐾) mod 𝑃))
2120adantr 479 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → ((𝐾 · (𝐾 − 1)) mod 𝑃) = (((𝐾 − 1) · 𝐾) mod 𝑃))
22 prmnn 15172 . . . . . . . . . . 11 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
2322ad2antrl 759 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → 𝑃 ∈ ℕ)
24 nn0z 11233 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ)
25 peano2zm 11253 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 − 1) ∈ ℤ)
2624, 25syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝐾 − 1) ∈ ℤ)
2726adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (𝐾 − 1) ∈ ℤ)
2824adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → 𝐾 ∈ ℤ)
2923, 27, 283jca 1234 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (𝑃 ∈ ℕ ∧ (𝐾 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ))
30 simprr 791 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))
31 mulmoddvds 14835 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ (𝐾 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ (𝐾 − 1) → (((𝐾 − 1) · 𝐾) mod 𝑃) = 0))
3229, 30, 31sylc 62 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (((𝐾 − 1) · 𝐾) mod 𝑃) = 0)
3321, 32eqtrd 2643 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → ((𝐾 · (𝐾 − 1)) mod 𝑃) = 0)
3422nnred 10882 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℝ)
35 prmgt1 15193 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∈ ℙ → 1 < 𝑃)
3634, 35jca 552 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑃))
3736ad2antrl 759 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (𝑃 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑃))
38 1mod 12519 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑃) → (1 mod 𝑃) = 1)
3937, 38syl 17 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (1 mod 𝑃) = 1)
4033, 39oveq12d 6545 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (((𝐾 · (𝐾 − 1)) mod 𝑃) + (1 mod 𝑃)) = (0 + 1))
4140oveq1d 6542 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → ((((𝐾 · (𝐾 − 1)) mod 𝑃) + (1 mod 𝑃)) mod 𝑃) = ((0 + 1) mod 𝑃))
42 nn0re 11148 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℝ)
43 peano2rem 10199 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℝ → (𝐾 − 1) ∈ ℝ)
4442, 43syl 17 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝐾 − 1) ∈ ℝ)
4542, 44remulcld 9926 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝐾 · (𝐾 − 1)) ∈ ℝ)
4645adantr 479 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (𝐾 · (𝐾 − 1)) ∈ ℝ)
47 1red 9911 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → 1 ∈ ℝ)
4822nnrpd 11702 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℝ+)
4948ad2antrl 759 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → 𝑃 ∈ ℝ+)
50 modaddabs 12525 . . . . . 6 (((𝐾 · (𝐾 − 1)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ+) → ((((𝐾 · (𝐾 − 1)) mod 𝑃) + (1 mod 𝑃)) mod 𝑃) = (((𝐾 · (𝐾 − 1)) + 1) mod 𝑃))
5146, 47, 49, 50syl3anc 1317 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → ((((𝐾 · (𝐾 − 1)) mod 𝑃) + (1 mod 𝑃)) mod 𝑃) = (((𝐾 · (𝐾 − 1)) + 1) mod 𝑃))
52 0p1e1 10979 . . . . . . 7 (0 + 1) = 1
5352oveq1i 6537 . . . . . 6 ((0 + 1) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃)
5434, 35, 38syl2anc 690 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ ℙ → (1 mod 𝑃) = 1)
5554ad2antrl 759 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (1 mod 𝑃) = 1)
5653, 55syl5eq 2655 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → ((0 + 1) mod 𝑃) = 1)
5741, 51, 563eqtr3d 2651 . . . 4 ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (((𝐾 · (𝐾 − 1)) + 1) mod 𝑃) = 1)
5815, 57stoic3 1691 . . 3 (((𝐺 RegUSGraph 𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ) ∧ (𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (((𝐾 · (𝐾 − 1)) + 1) mod 𝑃) = 1)
5914, 58eqtrd 2643 . 2 (((𝐺 RegUSGraph 𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ) ∧ (𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → ((#‘𝑉) mod 𝑃) = 1)
607, 59eqtrd 2643 1 (((𝐺 RegUSGraph 𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ) ∧ (𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → ((#‘(𝑃 ClWWalkSN 𝐺)) mod 𝑃) = 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1976  wne 2779  c0 3873   class class class wbr 4577  cfv 5790  (class class class)co 6527  Fincfn 7818  cc 9790  cr 9791  0cc0 9792  1c1 9793   + caddc 9795   · cmul 9797   < clt 9930  cmin 10117  cn 10867  0cn0 11139  cz 11210  +crp 11664   mod cmo 12485  #chash 12934  cdvds 14767  cprime 15169  Vtxcvtx 40224   RegUSGraph crusgr 40751   ClWWalkSN cclwwlksn 41179   FriendGraph cfrgr 41423
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-inf2 8398  ax-ac2 9145  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869  ax-pre-sup 9870
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-ifp 1006  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-disj 4548  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-se 4988  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-isom 5799  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-1o 7424  df-2o 7425  df-oadd 7428  df-er 7606  df-map 7723  df-pm 7724  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-fin 7822  df-sup 8208  df-inf 8209  df-oi 8275  df-card 8625  df-ac 8799  df-cda 8850  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-div 10534  df-nn 10868  df-2 10926  df-3 10927  df-n0 11140  df-z 11211  df-uz 11520  df-rp 11665  df-xadd 11779  df-fz 12153  df-fzo 12290  df-fl 12410  df-mod 12486  df-seq 12619  df-exp 12678  df-hash 12935  df-word 13100  df-lsw 13101  df-concat 13102  df-s1 13103  df-substr 13104  df-s2 13390  df-s3 13391  df-cj 13633  df-re 13634  df-im 13635  df-sqrt 13769  df-abs 13770  df-clim 14013  df-sum 14211  df-dvds 14768  df-gcd 15001  df-prm 15170  df-phi 15255  df-xnn0 40193  df-vtx 40226  df-iedg 40227  df-uhgr 40275  df-ushgr 40276  df-upgr 40303  df-umgr 40304  df-edga 40347  df-uspgr 40375  df-usgr 40376  df-fusgr 40531  df-nbgr 40549  df-vtxdg 40677  df-rgr 40752  df-rusgr 40753  df-1wlks 40795  df-wlks 40796  df-wlkson 40797  df-trls 40896  df-trlson 40897  df-pths 40918  df-spths 40919  df-pthson 40920  df-spthson 40921  df-wwlks 41028  df-wwlksn 41029  df-wwlksnon 41030  df-wspthsn 41031  df-wspthsnon 41032  df-clwwlks 41180  df-clwwlksn 41181  df-frgr 41424
This theorem is referenced by:  av-frgrareggt1  41542
  Copyright terms: Public domain W3C validator