Theorem ax0id 5261

Description: 0 is an identity element for addition. Axiom 15 of 25 for real and complex numbers, derived from ZF set theory.

Assertion

Ref	Expression
ax0id	⊢ (A ∈ ℂ → (A + 0) = A)

Proof of Theorem ax0id

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-c 5220	. 2 ⊢ ℂ = (R × R)
2		opreq1 3959	. . 3 ⊢ (⟨x, y⟩ = A → (⟨x, y⟩ + 0) = (A + 0))
3		id 59	. . 3 ⊢ (⟨x, y⟩ = A → ⟨x, y⟩ = A)
4	2, 3	eqeq12d 1486	. 2 ⊢ (⟨x, y⟩ = A → ((⟨x, y⟩ + 0) = ⟨x, y⟩ ↔ (A + 0) = A))
5		0r 5169	. . . . . 6 ⊢ 0R ∈ R
6	5, 5	pm3.2i 285	. . . . 5 ⊢ (0R ∈ R ⋀ 0R ∈ R)
7		addcnsr 5233	. . . . 5 ⊢ (((x ∈ R ⋀ y ∈ R) ⋀ (0R ∈ R ⋀ 0R ∈ R)) → (⟨x, y⟩ + ⟨0R, 0R⟩) = ⟨(x +R 0R), (y +R 0R)⟩)
8	6, 7	mpan2 695	. . . 4 ⊢ ((x ∈ R ⋀ y ∈ R) → (⟨x, y⟩ + ⟨0R, 0R⟩) = ⟨(x +R 0R), (y +R 0R)⟩)
9		opeq12 2485	. . . . 5 ⊢ (((x +R 0R) = x ⋀ (y +R 0R) = y) → ⟨(x +R 0R), (y +R 0R)⟩ = ⟨x, y⟩)
10		0idsr 5186	. . . . 5 ⊢ (x ∈ R → (x +R 0R) = x)
11		0idsr 5186	. . . . 5 ⊢ (y ∈ R → (y +R 0R) = y)
12	9, 10, 11	syl2an 454	. . . 4 ⊢ ((x ∈ R ⋀ y ∈ R) → ⟨(x +R 0R), (y +R 0R)⟩ = ⟨x, y⟩)
13	8, 12	eqtrd 1504	. . 3 ⊢ ((x ∈ R ⋀ y ∈ R) → (⟨x, y⟩ + ⟨0R, 0R⟩) = ⟨x, y⟩)
14		df-0 5221	. . . 4 ⊢ 0 = ⟨0R, 0R⟩
15	14	opreq2i 3963	. . 3 ⊢ (⟨x, y⟩ + 0) = (⟨x, y⟩ + ⟨0R, 0R⟩)
16	13, 15	syl5eq 1516	. 2 ⊢ ((x ∈ R ⋀ y ∈ R) → (⟨x, y⟩ + 0) = ⟨x, y⟩)
17	1, 4, 16	optocl 3230	1 ⊢ (A ∈ ℂ → (A + 0) = A)

Syntax hints:   → wi 3   ⋀ wa 223   = wceq 954   ∈ wcel 956  ⟨cop 2407  (class class class)co 3954  Rcnr 4973  0_Rc0r 4974   +_R cplr 4977  ℂcc 5212  0cc0 5214   + caddc 5217

This theorem is referenced by:  addid1t 5290  addid2t 5309  addid1 5310  pncant 5377  ltaddpost 5632  addge01t 5653  nnge1t 5899  nnleltp1t 5909  nn0addclt 6075  nnnn0addclt 6080  ser1mono 6282  shftval3t 6293  uzaddclt 6389  expaddt 6535  reim0bt 6720  recjt 6761  faclbnd4lem4 6896  faclbnd6 6899  csbfsum 6973  iserzex 7090  metsym 7766  ipid 8310  sinper 8628  sinhalfpip 8635  efifolem6 8661  normpyct 8952  pjthlem8 9164  pjspansnt 9440  lnfnmul 9911  hstoht 10097  iintlem1 10512

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-rep 2688  ax-sep 2698  ax-nul 2705  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861  ax-inf2 4605

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-ral 1646  df-rex 1647  df-reu 1648  df-rab 1649  df-v 1808  df-sbc 1938  df-csb 1998  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-pss 2051  df-nul 2277  df-if 2358  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-tp 2411  df-op 2412  df-uni 2499  df-int 2529  df-iun 2563  df-br 2615  df-opab 2662  df-tr 2676  df-eprel 2827  df-id 2830  df-po 2835  df-so 2845  df-fr 2912  df-we 2929  df-ord 2946  df-on 2947  df-lim 2948  df-suc 2949  df-om 3127  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-f 3189  df-fv 3193  df-rdg 3923  df-opr 3956  df-oprab 3957  df-1st 4069  df-2nd 4070  df-1o 4123  df-oadd 4125  df-omul 4126  df-er 4251  df-ec 4253  df-qs 4256  df-ni 4980  df-pli 4981  df-mi 4982  df-lti 4983  df-plpq 5015  df-mpq 5016  df-enq 5017  df-nq 5018  df-plq 5019  df-mq 5020  df-rq 5021  df-ltq 5022  df-1q 5023  df-np 5066  df-1p 5067  df-plp 5068  df-ltp 5070  df-plpr 5144  df-enr 5146  df-nr 5147  df-plr 5148  df-0r 5151  df-c 5220  df-0 5221  df-plus 5225

Copyright terms: Public domain