Theorem ax1id 5254

Description: 1 is an identity element for multiplication. Axiom 16 of 25 for real and complex numbers, derived from ZF set theory.

Assertion

Ref	Expression
ax1id	⊢ (A ∈ ℂ → (A · 1) = A)

Proof of Theorem ax1id

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-c 5212	. 2 ⊢ ℂ = (R × R)
2		opreq1 3953	. . 3 ⊢ (⟨x, y⟩ = A → (⟨x, y⟩ · 1) = (A · 1))
3		id 59	. . 3 ⊢ (⟨x, y⟩ = A → ⟨x, y⟩ = A)
4	2, 3	eqeq12d 1481	. 2 ⊢ (⟨x, y⟩ = A → ((⟨x, y⟩ · 1) = ⟨x, y⟩ ↔ (A · 1) = A))
5		1r 5162	. . . . . 6 ⊢ 1R ∈ R
6		0r 5161	. . . . . 6 ⊢ 0R ∈ R
7	5, 6	pm3.2i 285	. . . . 5 ⊢ (1R ∈ R ⋀ 0R ∈ R)
8		mulcnsr 5226	. . . . 5 ⊢ (((x ∈ R ⋀ y ∈ R) ⋀ (1R ∈ R ⋀ 0R ∈ R)) → (⟨x, y⟩ · ⟨1R, 0R⟩) = ⟨((x ·R 1R) +R (-1R ·R (y ·R 0R))), ((y ·R 1R) +R (x ·R 0R))⟩)
9	7, 8	mpan2 694	. . . 4 ⊢ ((x ∈ R ⋀ y ∈ R) → (⟨x, y⟩ · ⟨1R, 0R⟩) = ⟨((x ·R 1R) +R (-1R ·R (y ·R 0R))), ((y ·R 1R) +R (x ·R 0R))⟩)
10		00sr 5180	. . . . . . . . 9 ⊢ (y ∈ R → (y ·R 0R) = 0R)
11	10	opreq2d 3961	. . . . . . . 8 ⊢ (y ∈ R → (-1R ·R (y ·R 0R)) = (-1R ·R 0R))
12		m1r 5163	. . . . . . . . 9 ⊢ -1R ∈ R
13		00sr 5180	. . . . . . . . 9 ⊢ (-1R ∈ R → (-1R ·R 0R) = 0R)
14	12, 13	ax-mp 7	. . . . . . . 8 ⊢ (-1R ·R 0R) = 0R
15	11, 14	syl6eq 1515	. . . . . . 7 ⊢ (y ∈ R → (-1R ·R (y ·R 0R)) = 0R)
16	15	opreq2d 3961	. . . . . 6 ⊢ (y ∈ R → ((x ·R 1R) +R (-1R ·R (y ·R 0R))) = ((x ·R 1R) +R 0R))
17		1idsr 5179	. . . . . . . 8 ⊢ (x ∈ R → (x ·R 1R) = x)
18	17	opreq1d 3960	. . . . . . 7 ⊢ (x ∈ R → ((x ·R 1R) +R 0R) = (x +R 0R))
19		0idsr 5178	. . . . . . 7 ⊢ (x ∈ R → (x +R 0R) = x)
20	18, 19	eqtrd 1499	. . . . . 6 ⊢ (x ∈ R → ((x ·R 1R) +R 0R) = x)
21	16, 20	sylan9eqr 1521	. . . . 5 ⊢ ((x ∈ R ⋀ y ∈ R) → ((x ·R 1R) +R (-1R ·R (y ·R 0R))) = x)
22		00sr 5180	. . . . . . 7 ⊢ (x ∈ R → (x ·R 0R) = 0R)
23	22	opreq2d 3961	. . . . . 6 ⊢ (x ∈ R → ((y ·R 1R) +R (x ·R 0R)) = ((y ·R 1R) +R 0R))
24		1idsr 5179	. . . . . . . 8 ⊢ (y ∈ R → (y ·R 1R) = y)
25	24	opreq1d 3960	. . . . . . 7 ⊢ (y ∈ R → ((y ·R 1R) +R 0R) = (y +R 0R))
26		0idsr 5178	. . . . . . 7 ⊢ (y ∈ R → (y +R 0R) = y)
27	25, 26	eqtrd 1499	. . . . . 6 ⊢ (y ∈ R → ((y ·R 1R) +R 0R) = y)
28	23, 27	sylan9eq 1519	. . . . 5 ⊢ ((x ∈ R ⋀ y ∈ R) → ((y ·R 1R) +R (x ·R 0R)) = y)
29	21, 28	opeq12d 2486	. . . 4 ⊢ ((x ∈ R ⋀ y ∈ R) → ⟨((x ·R 1R) +R (-1R ·R (y ·R 0R))), ((y ·R 1R) +R (x ·R 0R))⟩ = ⟨x, y⟩)
30	9, 29	eqtrd 1499	. . 3 ⊢ ((x ∈ R ⋀ y ∈ R) → (⟨x, y⟩ · ⟨1R, 0R⟩) = ⟨x, y⟩)
31		df-1 5214	. . . 4 ⊢ 1 = ⟨1R, 0R⟩
32	31	opreq2i 3957	. . 3 ⊢ (⟨x, y⟩ · 1) = (⟨x, y⟩ · ⟨1R, 0R⟩)
33	30, 32	syl5eq 1511	. 2 ⊢ ((x ∈ R ⋀ y ∈ R) → (⟨x, y⟩ · 1) = ⟨x, y⟩)
34	1, 4, 33	optocl 3225	1 ⊢ (A ∈ ℂ → (A · 1) = A)

Syntax hints:   → wi 3   ⋀ wa 223   = wceq 953   ∈ wcel 955  ⟨cop 2401  (class class class)co 3948  Rcnr 4965  0_Rc0r 4966  1_Rc1r 4967  -1_Rcm1r 4968   +_R cplr 4969   ·_R cmr 4970  ℂcc 5204  1c1 5207   · cmul 5211

This theorem is referenced by:  mulid1t 5283  mulid1 5304  mulid2t 5389  muladd11t 5394  muleqaddt 5669  divadddivt 5740  divdivmult 5751  conjmult 5753  mulgt1t 5801  ltmulgt11t 5802  lemulge11t 5804  nnmulclt 5889  expaddt 6527  expmult 6528  sq01t 6582  bernneq 6583  crrecz 6672  imret 6710  facwordit 6881  faclbnd 6882  faclbnd2 6883  faclbnd4lem3 6887  faclbnd6 6891  facavgt 6892  bcn0t 6901  bcnp11t 6903  binomlem1 7004  binomlem4 7007  fnsmnt 7161  geoser 7169  efexpt 7314  efnn0valt 7315  cos01gt0 7419  abseft 7425  cnring 8099  nmoub3i 8368  ipasslem2 8422  ubthlem10 8469  htthlem6 8555  sinper 8609  cosper 8610  nmopub2tALT 9750  nmfnleub2t 9766  nmcopexlem5 9870  nmcfnexlem5 9899  nmopcoadj 9948  branmfnt 9951

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-inf2 4597

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1st 4063  df-2nd 4064  df-1o 4117  df-oadd 4119  df-omul 4120  df-er 4245  df-ec 4247  df-qs 4250  df-ni 4972  df-pli 4973  df-mi 4974  df-lti 4975  df-plpq 5007  df-mpq 5008  df-enq 5009  df-nq 5010  df-plq 5011  df-mq 5012  df-rq 5013  df-ltq 5014  df-1q 5015  df-np 5058  df-1p 5059  df-plp 5060  df-mp 5061  df-ltp 5062  df-plpr 5136  df-mpr 5137  df-enr 5138  df-nr 5139  df-plr 5140  df-mr 5141  df-0r 5143  df-1r 5144  df-m1r 5145  df-c 5212  df-1 5214  df-mul 5218

Copyright terms: Public domain