Theorem ax5seglem6 26714

Description: Lemma for ax5seg 26718. Given two line segments that are divided into pieces, if the pieces are congruent, then the scaling constant is the same. (Contributed by Scott Fenton, 12-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
ax5seglem6	⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁)))) ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑆 ∈ (0[,]1)) ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐸‘𝑖) = (((1 − 𝑆) · (𝐷‘𝑖)) + (𝑆 · (𝐹‘𝑖))))) ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐷, 𝐸⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩)) → 𝑇 = 𝑆)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑖   𝐵,𝑖   𝐶,𝑖   𝐷,𝑖   𝑖,𝐸   𝑖,𝐹   𝑖,𝑁   𝑆,𝑖   𝑇,𝑖

Proof of Theorem ax5seglem6

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp22l 1288	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁)))) ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑆 ∈ (0[,]1)) ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐸‘𝑖) = (((1 − 𝑆) · (𝐷‘𝑖)) + (𝑆 · (𝐹‘𝑖))))) ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐷, 𝐸⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩)) → 𝑇 ∈ (0[,]1))
2		elicc01 12848	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ∈ (0[,]1) ↔ (𝑇 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑇 ∧ 𝑇 ≤ 1))
3	2	simp1bi 1141	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∈ (0[,]1) → 𝑇 ∈ ℝ)
4		resqcl 13484	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ∈ ℝ → (𝑇↑2) ∈ ℝ)
5	4	recnd 10663	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∈ ℝ → (𝑇↑2) ∈ ℂ)
6	1, 3, 5	3syl 18	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁)))) ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑆 ∈ (0[,]1)) ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐸‘𝑖) = (((1 − 𝑆) · (𝐷‘𝑖)) + (𝑆 · (𝐹‘𝑖))))) ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐷, 𝐸⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩)) → (𝑇↑2) ∈ ℂ)
7		simp22r 1289	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁)))) ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑆 ∈ (0[,]1)) ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐸‘𝑖) = (((1 − 𝑆) · (𝐷‘𝑖)) + (𝑆 · (𝐹‘𝑖))))) ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐷, 𝐸⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩)) → 𝑆 ∈ (0[,]1))
8		elicc01 12848	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ (0[,]1) ↔ (𝑆 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑆 ∧ 𝑆 ≤ 1))
9	8	simp1bi 1141	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ (0[,]1) → 𝑆 ∈ ℝ)
10		resqcl 13484	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ ℝ → (𝑆↑2) ∈ ℝ)
11	10	recnd 10663	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ ℝ → (𝑆↑2) ∈ ℂ)
12	7, 9, 11	3syl 18	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁)))) ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑆 ∈ (0[,]1)) ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐸‘𝑖) = (((1 − 𝑆) · (𝐷‘𝑖)) + (𝑆 · (𝐹‘𝑖))))) ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐷, 𝐸⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩)) → (𝑆↑2) ∈ ℂ)
13		fzfid 13335	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁)))) ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑆 ∈ (0[,]1)) ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐸‘𝑖) = (((1 − 𝑆) · (𝐷‘𝑖)) + (𝑆 · (𝐹‘𝑖))))) ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐷, 𝐸⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩)) → (1...𝑁) ∈ Fin)
14		simprl1 1214	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁)))) → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
15	14	3ad2ant1 1129	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁)))) ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑆 ∈ (0[,]1)) ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐸‘𝑖) = (((1 − 𝑆) · (𝐷‘𝑖)) + (𝑆 · (𝐹‘𝑖))))) ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐷, 𝐸⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩)) → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
16		fveecn 26682	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴‘𝑗) ∈ ℂ)
17	15, 16	sylan 582	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁)))) ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑆 ∈ (0[,]1)) ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐸‘𝑖) = (((1 − 𝑆) · (𝐷‘𝑖)) + (𝑆 · (𝐹‘𝑖))))) ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐷, 𝐸⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩)) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴‘𝑗) ∈ ℂ)
18		simprl3 1216	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁)))) → 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))
19	18	3ad2ant1 1129	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁)))) ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑆 ∈ (0[,]1)) ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐸‘𝑖) = (((1 − 𝑆) · (𝐷‘𝑖)) + (𝑆 · (𝐹‘𝑖))))) ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐷, 𝐸⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩)) → 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))
20		fveecn 26682	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ)
21	19, 20	sylan 582	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁)))) ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑆 ∈ (0[,]1)) ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐸‘𝑖) = (((1 − 𝑆) · (𝐷‘𝑖)) + (𝑆 · (𝐹‘𝑖))))) ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐷, 𝐸⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩)) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ)
22	17, 21	subcld 10991	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁)))) ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑆 ∈ (0[,]1)) ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐸‘𝑖) = (((1 − 𝑆) · (𝐷‘𝑖)) + (𝑆 · (𝐹‘𝑖))))) ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐷, 𝐸⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩)) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐴‘𝑗) − (𝐶‘𝑗)) ∈ ℂ)
23	22	sqcld 13502	. . . 4 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁)))) ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑆 ∈ (0[,]1)) ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐸‘𝑖) = (((1 − 𝑆) · (𝐷‘𝑖)) + (𝑆 · (𝐹‘𝑖))))) ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐷, 𝐸⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩)) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (((𝐴‘𝑗) − (𝐶‘𝑗))↑2) ∈ ℂ)
24	13, 23	fsumcl 15084	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁)))) ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑆 ∈ (0[,]1)) ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐸‘𝑖) = (((1 − 𝑆) · (𝐷‘𝑖)) + (𝑆 · (𝐹‘𝑖))))) ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐷, 𝐸⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩)) → Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑗) − (𝐶‘𝑗))↑2) ∈ ℂ)
25		simp1l 1193	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁)))) ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑆 ∈ (0[,]1)) ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐸‘𝑖) = (((1 − 𝑆) · (𝐷‘𝑖)) + (𝑆 · (𝐹‘𝑖))))) ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐷, 𝐸⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩)) → 𝑁 ∈ ℕ)
26		simp1rl 1234	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁)))) ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑆 ∈ (0[,]1)) ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐸‘𝑖) = (((1 − 𝑆) · (𝐷‘𝑖)) + (𝑆 · (𝐹‘𝑖))))) ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐷, 𝐸⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩)) → (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)))
27		simp21 1202	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁)))) ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑆 ∈ (0[,]1)) ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐸‘𝑖) = (((1 − 𝑆) · (𝐷‘𝑖)) + (𝑆 · (𝐹‘𝑖))))) ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐷, 𝐸⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩)) → 𝐴 ≠ 𝐵)
28		simp23l 1290	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁)))) ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑆 ∈ (0[,]1)) ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐸‘𝑖) = (((1 − 𝑆) · (𝐷‘𝑖)) + (𝑆 · (𝐹‘𝑖))))) ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐷, 𝐸⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩)) → ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖))))
29		ax5seglem5 26713	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖))))) → Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑗) − (𝐶‘𝑗))↑2) ≠ 0)
30	25, 26, 27, 1, 28, 29	syl23anc 1373	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁)))) ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑆 ∈ (0[,]1)) ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐸‘𝑖) = (((1 − 𝑆) · (𝐷‘𝑖)) + (𝑆 · (𝐹‘𝑖))))) ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐷, 𝐸⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩)) → Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑗) − (𝐶‘𝑗))↑2) ≠ 0)
31		simp3l 1197	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁)))) ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑆 ∈ (0[,]1)) ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐸‘𝑖) = (((1 − 𝑆) · (𝐷‘𝑖)) + (𝑆 · (𝐹‘𝑖))))) ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐷, 𝐸⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩)) → ⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐷, 𝐸⟩)
32		simprl2 1215	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁)))) → 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))
33		simprr1 1217	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁)))) → 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))
34		simprr2 1218	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁)))) → 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁))
35		brcgr 26680	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐷, 𝐸⟩ ↔ Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑗) − (𝐵‘𝑗))↑2) = Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐷‘𝑗) − (𝐸‘𝑗))↑2)))
36	14, 32, 33, 34, 35	syl22anc 836	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁)))) → (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐷, 𝐸⟩ ↔ Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑗) − (𝐵‘𝑗))↑2) = Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐷‘𝑗) − (𝐸‘𝑗))↑2)))
37	36	3ad2ant1 1129	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁)))) ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑆 ∈ (0[,]1)) ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐸‘𝑖) = (((1 − 𝑆) · (𝐷‘𝑖)) + (𝑆 · (𝐹‘𝑖))))) ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐷, 𝐸⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩)) → (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐷, 𝐸⟩ ↔ Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑗) − (𝐵‘𝑗))↑2) = Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐷‘𝑗) − (𝐸‘𝑗))↑2)))
38	31, 37	mpbid 234	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁)))) ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑆 ∈ (0[,]1)) ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐸‘𝑖) = (((1 − 𝑆) · (𝐷‘𝑖)) + (𝑆 · (𝐹‘𝑖))))) ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐷, 𝐸⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩)) → Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑗) − (𝐵‘𝑗))↑2) = Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐷‘𝑗) − (𝐸‘𝑗))↑2))
39		ax5seglem1 26708	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖))))) → Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑗) − (𝐵‘𝑗))↑2) = ((𝑇↑2) · Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑗) − (𝐶‘𝑗))↑2)))
40	25, 15, 19, 1, 28, 39	syl122anc 1375	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁)))) ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑆 ∈ (0[,]1)) ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐸‘𝑖) = (((1 − 𝑆) · (𝐷‘𝑖)) + (𝑆 · (𝐹‘𝑖))))) ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐷, 𝐸⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩)) → Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑗) − (𝐵‘𝑗))↑2) = ((𝑇↑2) · Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑗) − (𝐶‘𝑗))↑2)))
41	33	3ad2ant1 1129	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁)))) ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑆 ∈ (0[,]1)) ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐸‘𝑖) = (((1 − 𝑆) · (𝐷‘𝑖)) + (𝑆 · (𝐹‘𝑖))))) ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐷, 𝐸⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩)) → 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))
42		simprr3 1219	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁)))) → 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))
43	42	3ad2ant1 1129	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁)))) ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑆 ∈ (0[,]1)) ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐸‘𝑖) = (((1 − 𝑆) · (𝐷‘𝑖)) + (𝑆 · (𝐹‘𝑖))))) ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐷, 𝐸⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩)) → 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))
44		simp23r 1291	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁)))) ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑆 ∈ (0[,]1)) ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐸‘𝑖) = (((1 − 𝑆) · (𝐷‘𝑖)) + (𝑆 · (𝐹‘𝑖))))) ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐷, 𝐸⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩)) → ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐸‘𝑖) = (((1 − 𝑆) · (𝐷‘𝑖)) + (𝑆 · (𝐹‘𝑖))))
45		ax5seglem1 26708	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑆 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐸‘𝑖) = (((1 − 𝑆) · (𝐷‘𝑖)) + (𝑆 · (𝐹‘𝑖))))) → Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐷‘𝑗) − (𝐸‘𝑗))↑2) = ((𝑆↑2) · Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐷‘𝑗) − (𝐹‘𝑗))↑2)))
46	25, 41, 43, 7, 44, 45	syl122anc 1375	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁)))) ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑆 ∈ (0[,]1)) ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐸‘𝑖) = (((1 − 𝑆) · (𝐷‘𝑖)) + (𝑆 · (𝐹‘𝑖))))) ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐷, 𝐸⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩)) → Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐷‘𝑗) − (𝐸‘𝑗))↑2) = ((𝑆↑2) · Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐷‘𝑗) − (𝐹‘𝑗))↑2)))
47	38, 40, 46	3eqtr3d 2864	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁)))) ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑆 ∈ (0[,]1)) ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐸‘𝑖) = (((1 − 𝑆) · (𝐷‘𝑖)) + (𝑆 · (𝐹‘𝑖))))) ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐷, 𝐸⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩)) → ((𝑇↑2) · Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑗) − (𝐶‘𝑗))↑2)) = ((𝑆↑2) · Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐷‘𝑗) − (𝐹‘𝑗))↑2)))
48		simp1rr 1235	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁)))) ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑆 ∈ (0[,]1)) ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐸‘𝑖) = (((1 − 𝑆) · (𝐷‘𝑖)) + (𝑆 · (𝐹‘𝑖))))) ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐷, 𝐸⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩)) → (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁)))
49		simp22 1203	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁)))) ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑆 ∈ (0[,]1)) ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐸‘𝑖) = (((1 − 𝑆) · (𝐷‘𝑖)) + (𝑆 · (𝐹‘𝑖))))) ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐷, 𝐸⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩)) → (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑆 ∈ (0[,]1)))
50		simp23 1204	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁)))) ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑆 ∈ (0[,]1)) ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐸‘𝑖) = (((1 − 𝑆) · (𝐷‘𝑖)) + (𝑆 · (𝐹‘𝑖))))) ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐷, 𝐸⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩)) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐸‘𝑖) = (((1 − 𝑆) · (𝐷‘𝑖)) + (𝑆 · (𝐹‘𝑖)))))
51		simp3r 1198	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁)))) ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑆 ∈ (0[,]1)) ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐸‘𝑖) = (((1 − 𝑆) · (𝐷‘𝑖)) + (𝑆 · (𝐹‘𝑖))))) ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐷, 𝐸⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩)) → ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩)
52		ax5seglem3 26711	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑆 ∈ (0[,]1)) ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐸‘𝑖) = (((1 − 𝑆) · (𝐷‘𝑖)) + (𝑆 · (𝐹‘𝑖))))) ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐷, 𝐸⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩)) → Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑗) − (𝐶‘𝑗))↑2) = Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐷‘𝑗) − (𝐹‘𝑗))↑2))
53	25, 26, 48, 49, 50, 31, 51, 52	syl322anc 1394	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁)))) ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑆 ∈ (0[,]1)) ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐸‘𝑖) = (((1 − 𝑆) · (𝐷‘𝑖)) + (𝑆 · (𝐹‘𝑖))))) ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐷, 𝐸⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩)) → Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑗) − (𝐶‘𝑗))↑2) = Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐷‘𝑗) − (𝐹‘𝑗))↑2))
54	53	oveq2d 7166	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁)))) ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑆 ∈ (0[,]1)) ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐸‘𝑖) = (((1 − 𝑆) · (𝐷‘𝑖)) + (𝑆 · (𝐹‘𝑖))))) ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐷, 𝐸⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩)) → ((𝑆↑2) · Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑗) − (𝐶‘𝑗))↑2)) = ((𝑆↑2) · Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐷‘𝑗) − (𝐹‘𝑗))↑2)))
55	47, 54	eqtr4d 2859	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁)))) ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑆 ∈ (0[,]1)) ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐸‘𝑖) = (((1 − 𝑆) · (𝐷‘𝑖)) + (𝑆 · (𝐹‘𝑖))))) ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐷, 𝐸⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩)) → ((𝑇↑2) · Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑗) − (𝐶‘𝑗))↑2)) = ((𝑆↑2) · Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑗) − (𝐶‘𝑗))↑2)))
56	6, 12, 24, 30, 55	mulcan2ad 11270	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁)))) ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑆 ∈ (0[,]1)) ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐸‘𝑖) = (((1 − 𝑆) · (𝐷‘𝑖)) + (𝑆 · (𝐹‘𝑖))))) ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐷, 𝐸⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩)) → (𝑇↑2) = (𝑆↑2))
57	2	simp2bi 1142	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ∈ (0[,]1) → 0 ≤ 𝑇)
58	3, 57	jca 514	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∈ (0[,]1) → (𝑇 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑇))
59	1, 58	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁)))) ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑆 ∈ (0[,]1)) ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐸‘𝑖) = (((1 − 𝑆) · (𝐷‘𝑖)) + (𝑆 · (𝐹‘𝑖))))) ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐷, 𝐸⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩)) → (𝑇 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑇))
60	8	simp2bi 1142	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ (0[,]1) → 0 ≤ 𝑆)
61	9, 60	jca 514	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ (0[,]1) → (𝑆 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑆))
62	7, 61	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁)))) ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑆 ∈ (0[,]1)) ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐸‘𝑖) = (((1 − 𝑆) · (𝐷‘𝑖)) + (𝑆 · (𝐹‘𝑖))))) ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐷, 𝐸⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩)) → (𝑆 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑆))
63		sq11 13490	. . 3 ⊢ (((𝑇 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑇) ∧ (𝑆 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑆)) → ((𝑇↑2) = (𝑆↑2) ↔ 𝑇 = 𝑆))
64	59, 62, 63	syl2anc 586	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁)))) ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑆 ∈ (0[,]1)) ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐸‘𝑖) = (((1 − 𝑆) · (𝐷‘𝑖)) + (𝑆 · (𝐹‘𝑖))))) ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐷, 𝐸⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩)) → ((𝑇↑2) = (𝑆↑2) ↔ 𝑇 = 𝑆))
65	56, 64	mpbid 234	1 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁)))) ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑆 ∈ (0[,]1)) ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐸‘𝑖) = (((1 − 𝑆) · (𝐷‘𝑖)) + (𝑆 · (𝐹‘𝑖))))) ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐷, 𝐸⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩)) → 𝑇 = 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1533   ∈ wcel 2110   ≠ wne 3016  ∀wral 3138  ⟨cop 4567   class class class wbr 5059  ‘cfv 6350  (class class class)co 7150  ℂcc 10529  ℝcr 10530  0cc0 10531  1c1 10532   + caddc 10534   · cmul 10536   ≤ cle 10670   − cmin 10864  ℕcn 11632  2c2 11686  [,]cicc 12735  ...cfz 12886  ↑cexp 13423  Σcsu 15036  𝔼cee 26668  Cgrccgr 26670

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2156  ax-12 2172  ax-ext 2793  ax-rep 5183  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5322  ax-un 7455  ax-inf2 9098  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-pre-sup 10609

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4833  df-int 4870  df-iun 4914  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-tr 5166  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5469  df-so 5470  df-fr 5509  df-se 5510  df-we 5511  df-xp 5556  df-rel 5557  df-cnv 5558  df-co 5559  df-dm 5560  df-rn 5561  df-res 5562  df-ima 5563  df-pred 6143  df-ord 6189  df-on 6190  df-lim 6191  df-suc 6192  df-iota 6309  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-isom 6359  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7575  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-oadd 8100  df-er 8283  df-map 8402  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-sup 8900  df-oi 8968  df-card 9362  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-n0 11892  df-z 11976  df-uz 12238  df-rp 12384  df-ico 12738  df-icc 12739  df-fz 12887  df-fzo 13028  df-seq 13364  df-exp 13424  df-hash 13685  df-cj 14452  df-re 14453  df-im 14454  df-sqrt 14588  df-abs 14589  df-clim 14839  df-sum 15037  df-ee 26671  df-cgr 26673

This theorem is referenced by:  ax5seg  26718