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Theorem ax5seglem7 26648
Description: Lemma for ax5seg 26651. An algebraic calculation needed further down the line. (Contributed by Scott Fenton, 12-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
ax5seglem7.1 𝐴 ∈ ℂ
ax5seglem7.2 𝑇 ∈ ℂ
ax5seglem7.3 𝐶 ∈ ℂ
ax5seglem7.4 𝐷 ∈ ℂ
Assertion
Ref Expression
ax5seglem7 (𝑇 · ((𝐶𝐷)↑2)) = ((((((1 − 𝑇) · 𝐴) + (𝑇 · 𝐶)) − 𝐷)↑2) + ((1 − 𝑇) · ((𝑇 · ((𝐴𝐶)↑2)) − ((𝐴𝐷)↑2))))

Proof of Theorem ax5seglem7
StepHypRef Expression
1 ax5seglem7.3 . . . . 5 𝐶 ∈ ℂ
2 ax5seglem7.4 . . . . 5 𝐷 ∈ ℂ
31, 2binom2subi 13571 . . . 4 ((𝐶𝐷)↑2) = (((𝐶↑2) − (2 · (𝐶 · 𝐷))) + (𝐷↑2))
43oveq2i 7156 . . 3 (𝑇 · ((𝐶𝐷)↑2)) = (𝑇 · (((𝐶↑2) − (2 · (𝐶 · 𝐷))) + (𝐷↑2)))
5 ax5seglem7.2 . . . 4 𝑇 ∈ ℂ
61sqcli 13532 . . . . 5 (𝐶↑2) ∈ ℂ
7 2cn 11700 . . . . . 6 2 ∈ ℂ
81, 2mulcli 10636 . . . . . 6 (𝐶 · 𝐷) ∈ ℂ
97, 8mulcli 10636 . . . . 5 (2 · (𝐶 · 𝐷)) ∈ ℂ
106, 9subcli 10950 . . . 4 ((𝐶↑2) − (2 · (𝐶 · 𝐷))) ∈ ℂ
112sqcli 13532 . . . 4 (𝐷↑2) ∈ ℂ
125, 10, 11adddii 10641 . . 3 (𝑇 · (((𝐶↑2) − (2 · (𝐶 · 𝐷))) + (𝐷↑2))) = ((𝑇 · ((𝐶↑2) − (2 · (𝐶 · 𝐷)))) + (𝑇 · (𝐷↑2)))
135, 6, 9subdii 11077 . . . 4 (𝑇 · ((𝐶↑2) − (2 · (𝐶 · 𝐷)))) = ((𝑇 · (𝐶↑2)) − (𝑇 · (2 · (𝐶 · 𝐷))))
1413oveq1i 7155 . . 3 ((𝑇 · ((𝐶↑2) − (2 · (𝐶 · 𝐷)))) + (𝑇 · (𝐷↑2))) = (((𝑇 · (𝐶↑2)) − (𝑇 · (2 · (𝐶 · 𝐷)))) + (𝑇 · (𝐷↑2)))
154, 12, 143eqtri 2845 . 2 (𝑇 · ((𝐶𝐷)↑2)) = (((𝑇 · (𝐶↑2)) − (𝑇 · (2 · (𝐶 · 𝐷)))) + (𝑇 · (𝐷↑2)))
16 ax-1cn 10583 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℂ
1716, 5subcli 10950 . . . . . . . . . 10 (1 − 𝑇) ∈ ℂ
18 ax5seglem7.1 . . . . . . . . . 10 𝐴 ∈ ℂ
1917, 18mulcli 10636 . . . . . . . . 9 ((1 − 𝑇) · 𝐴) ∈ ℂ
2019sqcli 13532 . . . . . . . 8 (((1 − 𝑇) · 𝐴)↑2) ∈ ℂ
215, 1mulcli 10636 . . . . . . . . . . 11 (𝑇 · 𝐶) ∈ ℂ
2221, 2subcli 10950 . . . . . . . . . 10 ((𝑇 · 𝐶) − 𝐷) ∈ ℂ
2319, 22mulcli 10636 . . . . . . . . 9 (((1 − 𝑇) · 𝐴) · ((𝑇 · 𝐶) − 𝐷)) ∈ ℂ
247, 23mulcli 10636 . . . . . . . 8 (2 · (((1 − 𝑇) · 𝐴) · ((𝑇 · 𝐶) − 𝐷))) ∈ ℂ
2520, 24addcli 10635 . . . . . . 7 ((((1 − 𝑇) · 𝐴)↑2) + (2 · (((1 − 𝑇) · 𝐴) · ((𝑇 · 𝐶) − 𝐷)))) ∈ ℂ
2621sqcli 13532 . . . . . . . 8 ((𝑇 · 𝐶)↑2) ∈ ℂ
2726, 11addcli 10635 . . . . . . 7 (((𝑇 · 𝐶)↑2) + (𝐷↑2)) ∈ ℂ
2825, 27addcli 10635 . . . . . 6 (((((1 − 𝑇) · 𝐴)↑2) + (2 · (((1 − 𝑇) · 𝐴) · ((𝑇 · 𝐶) − 𝐷)))) + (((𝑇 · 𝐶)↑2) + (𝐷↑2))) ∈ ℂ
2921, 2mulcli 10636 . . . . . . 7 ((𝑇 · 𝐶) · 𝐷) ∈ ℂ
307, 29mulcli 10636 . . . . . 6 (2 · ((𝑇 · 𝐶) · 𝐷)) ∈ ℂ
315, 6mulcli 10636 . . . . . . 7 (𝑇 · (𝐶↑2)) ∈ ℂ
325, 11mulcli 10636 . . . . . . 7 (𝑇 · (𝐷↑2)) ∈ ℂ
3331, 32addcli 10635 . . . . . 6 ((𝑇 · (𝐶↑2)) + (𝑇 · (𝐷↑2))) ∈ ℂ
34 subadd23 10886 . . . . . 6 (((((((1 − 𝑇) · 𝐴)↑2) + (2 · (((1 − 𝑇) · 𝐴) · ((𝑇 · 𝐶) − 𝐷)))) + (((𝑇 · 𝐶)↑2) + (𝐷↑2))) ∈ ℂ ∧ (2 · ((𝑇 · 𝐶) · 𝐷)) ∈ ℂ ∧ ((𝑇 · (𝐶↑2)) + (𝑇 · (𝐷↑2))) ∈ ℂ) → (((((((1 − 𝑇) · 𝐴)↑2) + (2 · (((1 − 𝑇) · 𝐴) · ((𝑇 · 𝐶) − 𝐷)))) + (((𝑇 · 𝐶)↑2) + (𝐷↑2))) − (2 · ((𝑇 · 𝐶) · 𝐷))) + ((𝑇 · (𝐶↑2)) + (𝑇 · (𝐷↑2)))) = ((((((1 − 𝑇) · 𝐴)↑2) + (2 · (((1 − 𝑇) · 𝐴) · ((𝑇 · 𝐶) − 𝐷)))) + (((𝑇 · 𝐶)↑2) + (𝐷↑2))) + (((𝑇 · (𝐶↑2)) + (𝑇 · (𝐷↑2))) − (2 · ((𝑇 · 𝐶) · 𝐷)))))
3528, 30, 33, 34mp3an 1452 . . . . 5 (((((((1 − 𝑇) · 𝐴)↑2) + (2 · (((1 − 𝑇) · 𝐴) · ((𝑇 · 𝐶) − 𝐷)))) + (((𝑇 · 𝐶)↑2) + (𝐷↑2))) − (2 · ((𝑇 · 𝐶) · 𝐷))) + ((𝑇 · (𝐶↑2)) + (𝑇 · (𝐷↑2)))) = ((((((1 − 𝑇) · 𝐴)↑2) + (2 · (((1 − 𝑇) · 𝐴) · ((𝑇 · 𝐶) − 𝐷)))) + (((𝑇 · 𝐶)↑2) + (𝐷↑2))) + (((𝑇 · (𝐶↑2)) + (𝑇 · (𝐷↑2))) − (2 · ((𝑇 · 𝐶) · 𝐷))))
3635oveq1i 7155 . . . 4 ((((((((1 − 𝑇) · 𝐴)↑2) + (2 · (((1 − 𝑇) · 𝐴) · ((𝑇 · 𝐶) − 𝐷)))) + (((𝑇 · 𝐶)↑2) + (𝐷↑2))) − (2 · ((𝑇 · 𝐶) · 𝐷))) + ((𝑇 · (𝐶↑2)) + (𝑇 · (𝐷↑2)))) + (((1 − 𝑇) · ((𝑇 · ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶)))) − ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐷))))) − ((𝐷↑2) + (𝑇 · (𝑇 · (𝐶↑2)))))) = (((((((1 − 𝑇) · 𝐴)↑2) + (2 · (((1 − 𝑇) · 𝐴) · ((𝑇 · 𝐶) − 𝐷)))) + (((𝑇 · 𝐶)↑2) + (𝐷↑2))) + (((𝑇 · (𝐶↑2)) + (𝑇 · (𝐷↑2))) − (2 · ((𝑇 · 𝐶) · 𝐷)))) + (((1 − 𝑇) · ((𝑇 · ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶)))) − ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐷))))) − ((𝐷↑2) + (𝑇 · (𝑇 · (𝐶↑2))))))
3719, 22binom2i 13562 . . . . . . 7 ((((1 − 𝑇) · 𝐴) + ((𝑇 · 𝐶) − 𝐷))↑2) = (((((1 − 𝑇) · 𝐴)↑2) + (2 · (((1 − 𝑇) · 𝐴) · ((𝑇 · 𝐶) − 𝐷)))) + (((𝑇 · 𝐶) − 𝐷)↑2))
3819, 21, 2addsubassi 10965 . . . . . . . 8 ((((1 − 𝑇) · 𝐴) + (𝑇 · 𝐶)) − 𝐷) = (((1 − 𝑇) · 𝐴) + ((𝑇 · 𝐶) − 𝐷))
3938oveq1i 7155 . . . . . . 7 (((((1 − 𝑇) · 𝐴) + (𝑇 · 𝐶)) − 𝐷)↑2) = ((((1 − 𝑇) · 𝐴) + ((𝑇 · 𝐶) − 𝐷))↑2)
4025, 27, 30addsubassi 10965 . . . . . . . 8 ((((((1 − 𝑇) · 𝐴)↑2) + (2 · (((1 − 𝑇) · 𝐴) · ((𝑇 · 𝐶) − 𝐷)))) + (((𝑇 · 𝐶)↑2) + (𝐷↑2))) − (2 · ((𝑇 · 𝐶) · 𝐷))) = (((((1 − 𝑇) · 𝐴)↑2) + (2 · (((1 − 𝑇) · 𝐴) · ((𝑇 · 𝐶) − 𝐷)))) + ((((𝑇 · 𝐶)↑2) + (𝐷↑2)) − (2 · ((𝑇 · 𝐶) · 𝐷))))
4121, 2binom2subi 13571 . . . . . . . . . 10 (((𝑇 · 𝐶) − 𝐷)↑2) = ((((𝑇 · 𝐶)↑2) − (2 · ((𝑇 · 𝐶) · 𝐷))) + (𝐷↑2))
4226, 11, 30addsubi 10966 . . . . . . . . . 10 ((((𝑇 · 𝐶)↑2) + (𝐷↑2)) − (2 · ((𝑇 · 𝐶) · 𝐷))) = ((((𝑇 · 𝐶)↑2) − (2 · ((𝑇 · 𝐶) · 𝐷))) + (𝐷↑2))
4341, 42eqtr4i 2844 . . . . . . . . 9 (((𝑇 · 𝐶) − 𝐷)↑2) = ((((𝑇 · 𝐶)↑2) + (𝐷↑2)) − (2 · ((𝑇 · 𝐶) · 𝐷)))
4443oveq2i 7156 . . . . . . . 8 (((((1 − 𝑇) · 𝐴)↑2) + (2 · (((1 − 𝑇) · 𝐴) · ((𝑇 · 𝐶) − 𝐷)))) + (((𝑇 · 𝐶) − 𝐷)↑2)) = (((((1 − 𝑇) · 𝐴)↑2) + (2 · (((1 − 𝑇) · 𝐴) · ((𝑇 · 𝐶) − 𝐷)))) + ((((𝑇 · 𝐶)↑2) + (𝐷↑2)) − (2 · ((𝑇 · 𝐶) · 𝐷))))
4540, 44eqtr4i 2844 . . . . . . 7 ((((((1 − 𝑇) · 𝐴)↑2) + (2 · (((1 − 𝑇) · 𝐴) · ((𝑇 · 𝐶) − 𝐷)))) + (((𝑇 · 𝐶)↑2) + (𝐷↑2))) − (2 · ((𝑇 · 𝐶) · 𝐷))) = (((((1 − 𝑇) · 𝐴)↑2) + (2 · (((1 − 𝑇) · 𝐴) · ((𝑇 · 𝐶) − 𝐷)))) + (((𝑇 · 𝐶) − 𝐷)↑2))
4637, 39, 453eqtr4i 2851 . . . . . 6 (((((1 − 𝑇) · 𝐴) + (𝑇 · 𝐶)) − 𝐷)↑2) = ((((((1 − 𝑇) · 𝐴)↑2) + (2 · (((1 − 𝑇) · 𝐴) · ((𝑇 · 𝐶) − 𝐷)))) + (((𝑇 · 𝐶)↑2) + (𝐷↑2))) − (2 · ((𝑇 · 𝐶) · 𝐷)))
4718, 1binom2subi 13571 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴𝐶)↑2) = (((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶))) + (𝐶↑2))
4847oveq2i 7156 . . . . . . . . . . 11 (𝑇 · ((𝐴𝐶)↑2)) = (𝑇 · (((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶))) + (𝐶↑2)))
4918sqcli 13532 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴↑2) ∈ ℂ
5018, 1mulcli 10636 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 · 𝐶) ∈ ℂ
517, 50mulcli 10636 . . . . . . . . . . . . 13 (2 · (𝐴 · 𝐶)) ∈ ℂ
5249, 51subcli 10950 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶))) ∈ ℂ
535, 52, 6adddii 10641 . . . . . . . . . . 11 (𝑇 · (((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶))) + (𝐶↑2))) = ((𝑇 · ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶)))) + (𝑇 · (𝐶↑2)))
5448, 53eqtri 2841 . . . . . . . . . 10 (𝑇 · ((𝐴𝐶)↑2)) = ((𝑇 · ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶)))) + (𝑇 · (𝐶↑2)))
5518, 2binom2subi 13571 . . . . . . . . . 10 ((𝐴𝐷)↑2) = (((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐷))) + (𝐷↑2))
5654, 55oveq12i 7157 . . . . . . . . 9 ((𝑇 · ((𝐴𝐶)↑2)) − ((𝐴𝐷)↑2)) = (((𝑇 · ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶)))) + (𝑇 · (𝐶↑2))) − (((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐷))) + (𝐷↑2)))
575, 52mulcli 10636 . . . . . . . . . 10 (𝑇 · ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶)))) ∈ ℂ
5818, 2mulcli 10636 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 · 𝐷) ∈ ℂ
597, 58mulcli 10636 . . . . . . . . . . 11 (2 · (𝐴 · 𝐷)) ∈ ℂ
6049, 59subcli 10950 . . . . . . . . . 10 ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐷))) ∈ ℂ
6157, 31, 60, 11addsub4i 10970 . . . . . . . . 9 (((𝑇 · ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶)))) + (𝑇 · (𝐶↑2))) − (((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐷))) + (𝐷↑2))) = (((𝑇 · ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶)))) − ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐷)))) + ((𝑇 · (𝐶↑2)) − (𝐷↑2)))
6256, 61eqtri 2841 . . . . . . . 8 ((𝑇 · ((𝐴𝐶)↑2)) − ((𝐴𝐷)↑2)) = (((𝑇 · ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶)))) − ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐷)))) + ((𝑇 · (𝐶↑2)) − (𝐷↑2)))
6362oveq2i 7156 . . . . . . 7 ((1 − 𝑇) · ((𝑇 · ((𝐴𝐶)↑2)) − ((𝐴𝐷)↑2))) = ((1 − 𝑇) · (((𝑇 · ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶)))) − ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐷)))) + ((𝑇 · (𝐶↑2)) − (𝐷↑2))))
6457, 60subcli 10950 . . . . . . . 8 ((𝑇 · ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶)))) − ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐷)))) ∈ ℂ
6531, 11subcli 10950 . . . . . . . 8 ((𝑇 · (𝐶↑2)) − (𝐷↑2)) ∈ ℂ
6617, 64, 65adddii 10641 . . . . . . 7 ((1 − 𝑇) · (((𝑇 · ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶)))) − ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐷)))) + ((𝑇 · (𝐶↑2)) − (𝐷↑2)))) = (((1 − 𝑇) · ((𝑇 · ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶)))) − ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐷))))) + ((1 − 𝑇) · ((𝑇 · (𝐶↑2)) − (𝐷↑2))))
6716, 5, 65subdiri 11078 . . . . . . . . . 10 ((1 − 𝑇) · ((𝑇 · (𝐶↑2)) − (𝐷↑2))) = ((1 · ((𝑇 · (𝐶↑2)) − (𝐷↑2))) − (𝑇 · ((𝑇 · (𝐶↑2)) − (𝐷↑2))))
6865mulid2i 10634 . . . . . . . . . . 11 (1 · ((𝑇 · (𝐶↑2)) − (𝐷↑2))) = ((𝑇 · (𝐶↑2)) − (𝐷↑2))
695, 31, 11subdii 11077 . . . . . . . . . . 11 (𝑇 · ((𝑇 · (𝐶↑2)) − (𝐷↑2))) = ((𝑇 · (𝑇 · (𝐶↑2))) − (𝑇 · (𝐷↑2)))
7068, 69oveq12i 7157 . . . . . . . . . 10 ((1 · ((𝑇 · (𝐶↑2)) − (𝐷↑2))) − (𝑇 · ((𝑇 · (𝐶↑2)) − (𝐷↑2)))) = (((𝑇 · (𝐶↑2)) − (𝐷↑2)) − ((𝑇 · (𝑇 · (𝐶↑2))) − (𝑇 · (𝐷↑2))))
715, 31mulcli 10636 . . . . . . . . . . . 12 (𝑇 · (𝑇 · (𝐶↑2))) ∈ ℂ
72 subsub3 10906 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑇 · (𝐶↑2)) − (𝐷↑2)) ∈ ℂ ∧ (𝑇 · (𝑇 · (𝐶↑2))) ∈ ℂ ∧ (𝑇 · (𝐷↑2)) ∈ ℂ) → (((𝑇 · (𝐶↑2)) − (𝐷↑2)) − ((𝑇 · (𝑇 · (𝐶↑2))) − (𝑇 · (𝐷↑2)))) = ((((𝑇 · (𝐶↑2)) − (𝐷↑2)) + (𝑇 · (𝐷↑2))) − (𝑇 · (𝑇 · (𝐶↑2)))))
7365, 71, 32, 72mp3an 1452 . . . . . . . . . . 11 (((𝑇 · (𝐶↑2)) − (𝐷↑2)) − ((𝑇 · (𝑇 · (𝐶↑2))) − (𝑇 · (𝐷↑2)))) = ((((𝑇 · (𝐶↑2)) − (𝐷↑2)) + (𝑇 · (𝐷↑2))) − (𝑇 · (𝑇 · (𝐶↑2))))
7431, 32, 11addsubi 10966 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑇 · (𝐶↑2)) + (𝑇 · (𝐷↑2))) − (𝐷↑2)) = (((𝑇 · (𝐶↑2)) − (𝐷↑2)) + (𝑇 · (𝐷↑2)))
7574oveq1i 7155 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑇 · (𝐶↑2)) + (𝑇 · (𝐷↑2))) − (𝐷↑2)) − (𝑇 · (𝑇 · (𝐶↑2)))) = ((((𝑇 · (𝐶↑2)) − (𝐷↑2)) + (𝑇 · (𝐷↑2))) − (𝑇 · (𝑇 · (𝐶↑2))))
76 subsub4 10907 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑇 · (𝐶↑2)) + (𝑇 · (𝐷↑2))) ∈ ℂ ∧ (𝐷↑2) ∈ ℂ ∧ (𝑇 · (𝑇 · (𝐶↑2))) ∈ ℂ) → ((((𝑇 · (𝐶↑2)) + (𝑇 · (𝐷↑2))) − (𝐷↑2)) − (𝑇 · (𝑇 · (𝐶↑2)))) = (((𝑇 · (𝐶↑2)) + (𝑇 · (𝐷↑2))) − ((𝐷↑2) + (𝑇 · (𝑇 · (𝐶↑2))))))
7733, 11, 71, 76mp3an 1452 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑇 · (𝐶↑2)) + (𝑇 · (𝐷↑2))) − (𝐷↑2)) − (𝑇 · (𝑇 · (𝐶↑2)))) = (((𝑇 · (𝐶↑2)) + (𝑇 · (𝐷↑2))) − ((𝐷↑2) + (𝑇 · (𝑇 · (𝐶↑2)))))
7873, 75, 773eqtr2i 2847 . . . . . . . . . 10 (((𝑇 · (𝐶↑2)) − (𝐷↑2)) − ((𝑇 · (𝑇 · (𝐶↑2))) − (𝑇 · (𝐷↑2)))) = (((𝑇 · (𝐶↑2)) + (𝑇 · (𝐷↑2))) − ((𝐷↑2) + (𝑇 · (𝑇 · (𝐶↑2)))))
7967, 70, 783eqtri 2845 . . . . . . . . 9 ((1 − 𝑇) · ((𝑇 · (𝐶↑2)) − (𝐷↑2))) = (((𝑇 · (𝐶↑2)) + (𝑇 · (𝐷↑2))) − ((𝐷↑2) + (𝑇 · (𝑇 · (𝐶↑2)))))
8079oveq2i 7156 . . . . . . . 8 (((1 − 𝑇) · ((𝑇 · ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶)))) − ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐷))))) + ((1 − 𝑇) · ((𝑇 · (𝐶↑2)) − (𝐷↑2)))) = (((1 − 𝑇) · ((𝑇 · ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶)))) − ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐷))))) + (((𝑇 · (𝐶↑2)) + (𝑇 · (𝐷↑2))) − ((𝐷↑2) + (𝑇 · (𝑇 · (𝐶↑2))))))
8117, 64mulcli 10636 . . . . . . . . 9 ((1 − 𝑇) · ((𝑇 · ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶)))) − ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐷))))) ∈ ℂ
8211, 71addcli 10635 . . . . . . . . 9 ((𝐷↑2) + (𝑇 · (𝑇 · (𝐶↑2)))) ∈ ℂ
83 addsub12 10887 . . . . . . . . 9 ((((1 − 𝑇) · ((𝑇 · ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶)))) − ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐷))))) ∈ ℂ ∧ ((𝑇 · (𝐶↑2)) + (𝑇 · (𝐷↑2))) ∈ ℂ ∧ ((𝐷↑2) + (𝑇 · (𝑇 · (𝐶↑2)))) ∈ ℂ) → (((1 − 𝑇) · ((𝑇 · ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶)))) − ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐷))))) + (((𝑇 · (𝐶↑2)) + (𝑇 · (𝐷↑2))) − ((𝐷↑2) + (𝑇 · (𝑇 · (𝐶↑2)))))) = (((𝑇 · (𝐶↑2)) + (𝑇 · (𝐷↑2))) + (((1 − 𝑇) · ((𝑇 · ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶)))) − ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐷))))) − ((𝐷↑2) + (𝑇 · (𝑇 · (𝐶↑2)))))))
8481, 33, 82, 83mp3an 1452 . . . . . . . 8 (((1 − 𝑇) · ((𝑇 · ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶)))) − ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐷))))) + (((𝑇 · (𝐶↑2)) + (𝑇 · (𝐷↑2))) − ((𝐷↑2) + (𝑇 · (𝑇 · (𝐶↑2)))))) = (((𝑇 · (𝐶↑2)) + (𝑇 · (𝐷↑2))) + (((1 − 𝑇) · ((𝑇 · ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶)))) − ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐷))))) − ((𝐷↑2) + (𝑇 · (𝑇 · (𝐶↑2))))))
8580, 84eqtri 2841 . . . . . . 7 (((1 − 𝑇) · ((𝑇 · ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶)))) − ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐷))))) + ((1 − 𝑇) · ((𝑇 · (𝐶↑2)) − (𝐷↑2)))) = (((𝑇 · (𝐶↑2)) + (𝑇 · (𝐷↑2))) + (((1 − 𝑇) · ((𝑇 · ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶)))) − ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐷))))) − ((𝐷↑2) + (𝑇 · (𝑇 · (𝐶↑2))))))
8663, 66, 853eqtri 2845 . . . . . 6 ((1 − 𝑇) · ((𝑇 · ((𝐴𝐶)↑2)) − ((𝐴𝐷)↑2))) = (((𝑇 · (𝐶↑2)) + (𝑇 · (𝐷↑2))) + (((1 − 𝑇) · ((𝑇 · ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶)))) − ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐷))))) − ((𝐷↑2) + (𝑇 · (𝑇 · (𝐶↑2))))))
8746, 86oveq12i 7157 . . . . 5 ((((((1 − 𝑇) · 𝐴) + (𝑇 · 𝐶)) − 𝐷)↑2) + ((1 − 𝑇) · ((𝑇 · ((𝐴𝐶)↑2)) − ((𝐴𝐷)↑2)))) = (((((((1 − 𝑇) · 𝐴)↑2) + (2 · (((1 − 𝑇) · 𝐴) · ((𝑇 · 𝐶) − 𝐷)))) + (((𝑇 · 𝐶)↑2) + (𝐷↑2))) − (2 · ((𝑇 · 𝐶) · 𝐷))) + (((𝑇 · (𝐶↑2)) + (𝑇 · (𝐷↑2))) + (((1 − 𝑇) · ((𝑇 · ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶)))) − ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐷))))) − ((𝐷↑2) + (𝑇 · (𝑇 · (𝐶↑2)))))))
8828, 30subcli 10950 . . . . . 6 ((((((1 − 𝑇) · 𝐴)↑2) + (2 · (((1 − 𝑇) · 𝐴) · ((𝑇 · 𝐶) − 𝐷)))) + (((𝑇 · 𝐶)↑2) + (𝐷↑2))) − (2 · ((𝑇 · 𝐶) · 𝐷))) ∈ ℂ
8981, 82subcli 10950 . . . . . 6 (((1 − 𝑇) · ((𝑇 · ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶)))) − ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐷))))) − ((𝐷↑2) + (𝑇 · (𝑇 · (𝐶↑2))))) ∈ ℂ
9088, 33, 89addassi 10639 . . . . 5 ((((((((1 − 𝑇) · 𝐴)↑2) + (2 · (((1 − 𝑇) · 𝐴) · ((𝑇 · 𝐶) − 𝐷)))) + (((𝑇 · 𝐶)↑2) + (𝐷↑2))) − (2 · ((𝑇 · 𝐶) · 𝐷))) + ((𝑇 · (𝐶↑2)) + (𝑇 · (𝐷↑2)))) + (((1 − 𝑇) · ((𝑇 · ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶)))) − ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐷))))) − ((𝐷↑2) + (𝑇 · (𝑇 · (𝐶↑2)))))) = (((((((1 − 𝑇) · 𝐴)↑2) + (2 · (((1 − 𝑇) · 𝐴) · ((𝑇 · 𝐶) − 𝐷)))) + (((𝑇 · 𝐶)↑2) + (𝐷↑2))) − (2 · ((𝑇 · 𝐶) · 𝐷))) + (((𝑇 · (𝐶↑2)) + (𝑇 · (𝐷↑2))) + (((1 − 𝑇) · ((𝑇 · ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶)))) − ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐷))))) − ((𝐷↑2) + (𝑇 · (𝑇 · (𝐶↑2)))))))
9187, 90eqtr4i 2844 . . . 4 ((((((1 − 𝑇) · 𝐴) + (𝑇 · 𝐶)) − 𝐷)↑2) + ((1 − 𝑇) · ((𝑇 · ((𝐴𝐶)↑2)) − ((𝐴𝐷)↑2)))) = ((((((((1 − 𝑇) · 𝐴)↑2) + (2 · (((1 − 𝑇) · 𝐴) · ((𝑇 · 𝐶) − 𝐷)))) + (((𝑇 · 𝐶)↑2) + (𝐷↑2))) − (2 · ((𝑇 · 𝐶) · 𝐷))) + ((𝑇 · (𝐶↑2)) + (𝑇 · (𝐷↑2)))) + (((1 − 𝑇) · ((𝑇 · ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶)))) − ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐷))))) − ((𝐷↑2) + (𝑇 · (𝑇 · (𝐶↑2))))))
9233, 30subcli 10950 . . . . 5 (((𝑇 · (𝐶↑2)) + (𝑇 · (𝐷↑2))) − (2 · ((𝑇 · 𝐶) · 𝐷))) ∈ ℂ
9328, 89, 92add32i 10851 . . . 4 (((((((1 − 𝑇) · 𝐴)↑2) + (2 · (((1 − 𝑇) · 𝐴) · ((𝑇 · 𝐶) − 𝐷)))) + (((𝑇 · 𝐶)↑2) + (𝐷↑2))) + (((1 − 𝑇) · ((𝑇 · ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶)))) − ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐷))))) − ((𝐷↑2) + (𝑇 · (𝑇 · (𝐶↑2)))))) + (((𝑇 · (𝐶↑2)) + (𝑇 · (𝐷↑2))) − (2 · ((𝑇 · 𝐶) · 𝐷)))) = (((((((1 − 𝑇) · 𝐴)↑2) + (2 · (((1 − 𝑇) · 𝐴) · ((𝑇 · 𝐶) − 𝐷)))) + (((𝑇 · 𝐶)↑2) + (𝐷↑2))) + (((𝑇 · (𝐶↑2)) + (𝑇 · (𝐷↑2))) − (2 · ((𝑇 · 𝐶) · 𝐷)))) + (((1 − 𝑇) · ((𝑇 · ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶)))) − ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐷))))) − ((𝐷↑2) + (𝑇 · (𝑇 · (𝐶↑2))))))
9436, 91, 933eqtr4i 2851 . . 3 ((((((1 − 𝑇) · 𝐴) + (𝑇 · 𝐶)) − 𝐷)↑2) + ((1 − 𝑇) · ((𝑇 · ((𝐴𝐶)↑2)) − ((𝐴𝐷)↑2)))) = (((((((1 − 𝑇) · 𝐴)↑2) + (2 · (((1 − 𝑇) · 𝐴) · ((𝑇 · 𝐶) − 𝐷)))) + (((𝑇 · 𝐶)↑2) + (𝐷↑2))) + (((1 − 𝑇) · ((𝑇 · ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶)))) − ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐷))))) − ((𝐷↑2) + (𝑇 · (𝑇 · (𝐶↑2)))))) + (((𝑇 · (𝐶↑2)) + (𝑇 · (𝐷↑2))) − (2 · ((𝑇 · 𝐶) · 𝐷))))
95 subsub2 10902 . . . . . 6 (((((((1 − 𝑇) · 𝐴)↑2) + (2 · (((1 − 𝑇) · 𝐴) · ((𝑇 · 𝐶) − 𝐷)))) + (((𝑇 · 𝐶)↑2) + (𝐷↑2))) ∈ ℂ ∧ ((𝐷↑2) + (𝑇 · (𝑇 · (𝐶↑2)))) ∈ ℂ ∧ ((1 − 𝑇) · ((𝑇 · ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶)))) − ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐷))))) ∈ ℂ) → ((((((1 − 𝑇) · 𝐴)↑2) + (2 · (((1 − 𝑇) · 𝐴) · ((𝑇 · 𝐶) − 𝐷)))) + (((𝑇 · 𝐶)↑2) + (𝐷↑2))) − (((𝐷↑2) + (𝑇 · (𝑇 · (𝐶↑2)))) − ((1 − 𝑇) · ((𝑇 · ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶)))) − ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐷))))))) = ((((((1 − 𝑇) · 𝐴)↑2) + (2 · (((1 − 𝑇) · 𝐴) · ((𝑇 · 𝐶) − 𝐷)))) + (((𝑇 · 𝐶)↑2) + (𝐷↑2))) + (((1 − 𝑇) · ((𝑇 · ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶)))) − ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐷))))) − ((𝐷↑2) + (𝑇 · (𝑇 · (𝐶↑2)))))))
9628, 82, 81, 95mp3an 1452 . . . . 5 ((((((1 − 𝑇) · 𝐴)↑2) + (2 · (((1 − 𝑇) · 𝐴) · ((𝑇 · 𝐶) − 𝐷)))) + (((𝑇 · 𝐶)↑2) + (𝐷↑2))) − (((𝐷↑2) + (𝑇 · (𝑇 · (𝐶↑2)))) − ((1 − 𝑇) · ((𝑇 · ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶)))) − ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐷))))))) = ((((((1 − 𝑇) · 𝐴)↑2) + (2 · (((1 − 𝑇) · 𝐴) · ((𝑇 · 𝐶) − 𝐷)))) + (((𝑇 · 𝐶)↑2) + (𝐷↑2))) + (((1 − 𝑇) · ((𝑇 · ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶)))) − ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐷))))) − ((𝐷↑2) + (𝑇 · (𝑇 · (𝐶↑2))))))
9725, 26, 11addassi 10639 . . . . . . 7 ((((((1 − 𝑇) · 𝐴)↑2) + (2 · (((1 − 𝑇) · 𝐴) · ((𝑇 · 𝐶) − 𝐷)))) + ((𝑇 · 𝐶)↑2)) + (𝐷↑2)) = (((((1 − 𝑇) · 𝐴)↑2) + (2 · (((1 − 𝑇) · 𝐴) · ((𝑇 · 𝐶) − 𝐷)))) + (((𝑇 · 𝐶)↑2) + (𝐷↑2)))
9825, 26addcomi 10819 . . . . . . . . . 10 (((((1 − 𝑇) · 𝐴)↑2) + (2 · (((1 − 𝑇) · 𝐴) · ((𝑇 · 𝐶) − 𝐷)))) + ((𝑇 · 𝐶)↑2)) = (((𝑇 · 𝐶)↑2) + ((((1 − 𝑇) · 𝐴)↑2) + (2 · (((1 − 𝑇) · 𝐴) · ((𝑇 · 𝐶) − 𝐷)))))
995, 1sqmuli 13535 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑇 · 𝐶)↑2) = ((𝑇↑2) · (𝐶↑2))
1005sqvali 13531 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑇↑2) = (𝑇 · 𝑇)
101100oveq1i 7155 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑇↑2) · (𝐶↑2)) = ((𝑇 · 𝑇) · (𝐶↑2))
1025, 5, 6mulassi 10640 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑇 · 𝑇) · (𝐶↑2)) = (𝑇 · (𝑇 · (𝐶↑2)))
10399, 101, 1023eqtri 2845 . . . . . . . . . . 11 ((𝑇 · 𝐶)↑2) = (𝑇 · (𝑇 · (𝐶↑2)))
10417, 18sqmuli 13535 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((1 − 𝑇) · 𝐴)↑2) = (((1 − 𝑇)↑2) · (𝐴↑2))
10517sqvali 13531 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((1 − 𝑇)↑2) = ((1 − 𝑇) · (1 − 𝑇))
106105oveq1i 7155 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((1 − 𝑇)↑2) · (𝐴↑2)) = (((1 − 𝑇) · (1 − 𝑇)) · (𝐴↑2))
10717, 17, 49mulassi 10640 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((1 − 𝑇) · (1 − 𝑇)) · (𝐴↑2)) = ((1 − 𝑇) · ((1 − 𝑇) · (𝐴↑2)))
10816, 5, 49subdiri 11078 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((1 − 𝑇) · (𝐴↑2)) = ((1 · (𝐴↑2)) − (𝑇 · (𝐴↑2)))
10949mulid2i 10634 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (1 · (𝐴↑2)) = (𝐴↑2)
110109oveq1i 7155 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((1 · (𝐴↑2)) − (𝑇 · (𝐴↑2))) = ((𝐴↑2) − (𝑇 · (𝐴↑2)))
111108, 110eqtri 2841 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((1 − 𝑇) · (𝐴↑2)) = ((𝐴↑2) − (𝑇 · (𝐴↑2)))
112111oveq2i 7156 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((1 − 𝑇) · ((1 − 𝑇) · (𝐴↑2))) = ((1 − 𝑇) · ((𝐴↑2) − (𝑇 · (𝐴↑2))))
113107, 112eqtri 2841 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((1 − 𝑇) · (1 − 𝑇)) · (𝐴↑2)) = ((1 − 𝑇) · ((𝐴↑2) − (𝑇 · (𝐴↑2))))
114104, 106, 1133eqtri 2845 . . . . . . . . . . . . . 14 (((1 − 𝑇) · 𝐴)↑2) = ((1 − 𝑇) · ((𝐴↑2) − (𝑇 · (𝐴↑2))))
1157, 19, 22mul12i 10823 . . . . . . . . . . . . . . 15 (2 · (((1 − 𝑇) · 𝐴) · ((𝑇 · 𝐶) − 𝐷))) = (((1 − 𝑇) · 𝐴) · (2 · ((𝑇 · 𝐶) − 𝐷)))
1167, 22mulcli 10636 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (2 · ((𝑇 · 𝐶) − 𝐷)) ∈ ℂ
11717, 18, 116mulassi 10640 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((1 − 𝑇) · 𝐴) · (2 · ((𝑇 · 𝐶) − 𝐷))) = ((1 − 𝑇) · (𝐴 · (2 · ((𝑇 · 𝐶) − 𝐷))))
11818, 7mulcomi 10637 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐴 · 2) = (2 · 𝐴)
119118oveq1i 7155 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴 · 2) · ((𝑇 · 𝐶) − 𝐷)) = ((2 · 𝐴) · ((𝑇 · 𝐶) − 𝐷))
12018, 7, 22mulassi 10640 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴 · 2) · ((𝑇 · 𝐶) − 𝐷)) = (𝐴 · (2 · ((𝑇 · 𝐶) − 𝐷)))
121119, 120eqtr3i 2843 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((2 · 𝐴) · ((𝑇 · 𝐶) − 𝐷)) = (𝐴 · (2 · ((𝑇 · 𝐶) − 𝐷)))
1227, 18mulcli 10636 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (2 · 𝐴) ∈ ℂ
123122, 21, 2subdii 11077 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((2 · 𝐴) · ((𝑇 · 𝐶) − 𝐷)) = (((2 · 𝐴) · (𝑇 · 𝐶)) − ((2 · 𝐴) · 𝐷))
124122, 5, 1mul12i 10823 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((2 · 𝐴) · (𝑇 · 𝐶)) = (𝑇 · ((2 · 𝐴) · 𝐶))
1257, 18, 1mulassi 10640 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((2 · 𝐴) · 𝐶) = (2 · (𝐴 · 𝐶))
126125oveq2i 7156 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑇 · ((2 · 𝐴) · 𝐶)) = (𝑇 · (2 · (𝐴 · 𝐶)))
127124, 126eqtri 2841 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((2 · 𝐴) · (𝑇 · 𝐶)) = (𝑇 · (2 · (𝐴 · 𝐶)))
1287, 18, 2mulassi 10640 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((2 · 𝐴) · 𝐷) = (2 · (𝐴 · 𝐷))
129127, 128oveq12i 7157 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((2 · 𝐴) · (𝑇 · 𝐶)) − ((2 · 𝐴) · 𝐷)) = ((𝑇 · (2 · (𝐴 · 𝐶))) − (2 · (𝐴 · 𝐷)))
130123, 129eqtri 2841 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((2 · 𝐴) · ((𝑇 · 𝐶) − 𝐷)) = ((𝑇 · (2 · (𝐴 · 𝐶))) − (2 · (𝐴 · 𝐷)))
131121, 130eqtr3i 2843 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 · (2 · ((𝑇 · 𝐶) − 𝐷))) = ((𝑇 · (2 · (𝐴 · 𝐶))) − (2 · (𝐴 · 𝐷)))
132131oveq2i 7156 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1 − 𝑇) · (𝐴 · (2 · ((𝑇 · 𝐶) − 𝐷)))) = ((1 − 𝑇) · ((𝑇 · (2 · (𝐴 · 𝐶))) − (2 · (𝐴 · 𝐷))))
133115, 117, 1323eqtri 2845 . . . . . . . . . . . . . 14 (2 · (((1 − 𝑇) · 𝐴) · ((𝑇 · 𝐶) − 𝐷))) = ((1 − 𝑇) · ((𝑇 · (2 · (𝐴 · 𝐶))) − (2 · (𝐴 · 𝐷))))
134114, 133oveq12i 7157 . . . . . . . . . . . . 13 ((((1 − 𝑇) · 𝐴)↑2) + (2 · (((1 − 𝑇) · 𝐴) · ((𝑇 · 𝐶) − 𝐷)))) = (((1 − 𝑇) · ((𝐴↑2) − (𝑇 · (𝐴↑2)))) + ((1 − 𝑇) · ((𝑇 · (2 · (𝐴 · 𝐶))) − (2 · (𝐴 · 𝐷)))))
1355, 49mulcli 10636 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑇 · (𝐴↑2)) ∈ ℂ
13649, 135subcli 10950 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴↑2) − (𝑇 · (𝐴↑2))) ∈ ℂ
1375, 51mulcli 10636 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑇 · (2 · (𝐴 · 𝐶))) ∈ ℂ
138137, 59subcli 10950 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑇 · (2 · (𝐴 · 𝐶))) − (2 · (𝐴 · 𝐷))) ∈ ℂ
13917, 136, 138adddii 10641 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 − 𝑇) · (((𝐴↑2) − (𝑇 · (𝐴↑2))) + ((𝑇 · (2 · (𝐴 · 𝐶))) − (2 · (𝐴 · 𝐷))))) = (((1 − 𝑇) · ((𝐴↑2) − (𝑇 · (𝐴↑2)))) + ((1 − 𝑇) · ((𝑇 · (2 · (𝐴 · 𝐶))) − (2 · (𝐴 · 𝐷)))))
1405, 49, 51subdii 11077 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑇 · ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶)))) = ((𝑇 · (𝐴↑2)) − (𝑇 · (2 · (𝐴 · 𝐶))))
141140oveq2i 7156 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐷))) − (𝑇 · ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶))))) = (((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐷))) − ((𝑇 · (𝐴↑2)) − (𝑇 · (2 · (𝐴 · 𝐶)))))
142140, 57eqeltrri 2907 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑇 · (𝐴↑2)) − (𝑇 · (2 · (𝐴 · 𝐶)))) ∈ ℂ
143 sub32 10908 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴↑2) ∈ ℂ ∧ ((𝑇 · (𝐴↑2)) − (𝑇 · (2 · (𝐴 · 𝐶)))) ∈ ℂ ∧ (2 · (𝐴 · 𝐷)) ∈ ℂ) → (((𝐴↑2) − ((𝑇 · (𝐴↑2)) − (𝑇 · (2 · (𝐴 · 𝐶))))) − (2 · (𝐴 · 𝐷))) = (((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐷))) − ((𝑇 · (𝐴↑2)) − (𝑇 · (2 · (𝐴 · 𝐶))))))
14449, 142, 59, 143mp3an 1452 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴↑2) − ((𝑇 · (𝐴↑2)) − (𝑇 · (2 · (𝐴 · 𝐶))))) − (2 · (𝐴 · 𝐷))) = (((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐷))) − ((𝑇 · (𝐴↑2)) − (𝑇 · (2 · (𝐴 · 𝐶)))))
145141, 144eqtr4i 2844 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐷))) − (𝑇 · ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶))))) = (((𝐴↑2) − ((𝑇 · (𝐴↑2)) − (𝑇 · (2 · (𝐴 · 𝐶))))) − (2 · (𝐴 · 𝐷)))
146 subsub 10904 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴↑2) ∈ ℂ ∧ (𝑇 · (𝐴↑2)) ∈ ℂ ∧ (𝑇 · (2 · (𝐴 · 𝐶))) ∈ ℂ) → ((𝐴↑2) − ((𝑇 · (𝐴↑2)) − (𝑇 · (2 · (𝐴 · 𝐶))))) = (((𝐴↑2) − (𝑇 · (𝐴↑2))) + (𝑇 · (2 · (𝐴 · 𝐶)))))
14749, 135, 137, 146mp3an 1452 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴↑2) − ((𝑇 · (𝐴↑2)) − (𝑇 · (2 · (𝐴 · 𝐶))))) = (((𝐴↑2) − (𝑇 · (𝐴↑2))) + (𝑇 · (2 · (𝐴 · 𝐶))))
148147oveq1i 7155 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴↑2) − ((𝑇 · (𝐴↑2)) − (𝑇 · (2 · (𝐴 · 𝐶))))) − (2 · (𝐴 · 𝐷))) = ((((𝐴↑2) − (𝑇 · (𝐴↑2))) + (𝑇 · (2 · (𝐴 · 𝐶)))) − (2 · (𝐴 · 𝐷)))
149136, 137, 59addsubassi 10965 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴↑2) − (𝑇 · (𝐴↑2))) + (𝑇 · (2 · (𝐴 · 𝐶)))) − (2 · (𝐴 · 𝐷))) = (((𝐴↑2) − (𝑇 · (𝐴↑2))) + ((𝑇 · (2 · (𝐴 · 𝐶))) − (2 · (𝐴 · 𝐷))))
150145, 148, 1493eqtrri 2846 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴↑2) − (𝑇 · (𝐴↑2))) + ((𝑇 · (2 · (𝐴 · 𝐶))) − (2 · (𝐴 · 𝐷)))) = (((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐷))) − (𝑇 · ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶)))))
151150oveq2i 7156 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 − 𝑇) · (((𝐴↑2) − (𝑇 · (𝐴↑2))) + ((𝑇 · (2 · (𝐴 · 𝐶))) − (2 · (𝐴 · 𝐷))))) = ((1 − 𝑇) · (((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐷))) − (𝑇 · ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶))))))
152134, 139, 1513eqtr2i 2847 . . . . . . . . . . . 12 ((((1 − 𝑇) · 𝐴)↑2) + (2 · (((1 − 𝑇) · 𝐴) · ((𝑇 · 𝐶) − 𝐷)))) = ((1 − 𝑇) · (((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐷))) − (𝑇 · ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶))))))
15357, 60negsubdi2i 10960 . . . . . . . . . . . . 13 -((𝑇 · ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶)))) − ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐷)))) = (((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐷))) − (𝑇 · ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶)))))
154153oveq2i 7156 . . . . . . . . . . . 12 ((1 − 𝑇) · -((𝑇 · ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶)))) − ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐷))))) = ((1 − 𝑇) · (((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐷))) − (𝑇 · ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶))))))
15517, 64mulneg2i 11075 . . . . . . . . . . . 12 ((1 − 𝑇) · -((𝑇 · ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶)))) − ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐷))))) = -((1 − 𝑇) · ((𝑇 · ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶)))) − ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐷)))))
156152, 154, 1553eqtr2i 2847 . . . . . . . . . . 11 ((((1 − 𝑇) · 𝐴)↑2) + (2 · (((1 − 𝑇) · 𝐴) · ((𝑇 · 𝐶) − 𝐷)))) = -((1 − 𝑇) · ((𝑇 · ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶)))) − ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐷)))))
157103, 156oveq12i 7157 . . . . . . . . . 10 (((𝑇 · 𝐶)↑2) + ((((1 − 𝑇) · 𝐴)↑2) + (2 · (((1 − 𝑇) · 𝐴) · ((𝑇 · 𝐶) − 𝐷))))) = ((𝑇 · (𝑇 · (𝐶↑2))) + -((1 − 𝑇) · ((𝑇 · ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶)))) − ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐷))))))
15871, 81negsubi 10952 . . . . . . . . . 10 ((𝑇 · (𝑇 · (𝐶↑2))) + -((1 − 𝑇) · ((𝑇 · ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶)))) − ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐷)))))) = ((𝑇 · (𝑇 · (𝐶↑2))) − ((1 − 𝑇) · ((𝑇 · ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶)))) − ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐷))))))
15998, 157, 1583eqtri 2845 . . . . . . . . 9 (((((1 − 𝑇) · 𝐴)↑2) + (2 · (((1 − 𝑇) · 𝐴) · ((𝑇 · 𝐶) − 𝐷)))) + ((𝑇 · 𝐶)↑2)) = ((𝑇 · (𝑇 · (𝐶↑2))) − ((1 − 𝑇) · ((𝑇 · ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶)))) − ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐷))))))
160159oveq2i 7156 . . . . . . . 8 ((𝐷↑2) + (((((1 − 𝑇) · 𝐴)↑2) + (2 · (((1 − 𝑇) · 𝐴) · ((𝑇 · 𝐶) − 𝐷)))) + ((𝑇 · 𝐶)↑2))) = ((𝐷↑2) + ((𝑇 · (𝑇 · (𝐶↑2))) − ((1 − 𝑇) · ((𝑇 · ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶)))) − ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐷)))))))
16125, 26addcli 10635 . . . . . . . . 9 (((((1 − 𝑇) · 𝐴)↑2) + (2 · (((1 − 𝑇) · 𝐴) · ((𝑇 · 𝐶) − 𝐷)))) + ((𝑇 · 𝐶)↑2)) ∈ ℂ
162161, 11addcomi 10819 . . . . . . . 8 ((((((1 − 𝑇) · 𝐴)↑2) + (2 · (((1 − 𝑇) · 𝐴) · ((𝑇 · 𝐶) − 𝐷)))) + ((𝑇 · 𝐶)↑2)) + (𝐷↑2)) = ((𝐷↑2) + (((((1 − 𝑇) · 𝐴)↑2) + (2 · (((1 − 𝑇) · 𝐴) · ((𝑇 · 𝐶) − 𝐷)))) + ((𝑇 · 𝐶)↑2)))
16311, 71, 81addsubassi 10965 . . . . . . . 8 (((𝐷↑2) + (𝑇 · (𝑇 · (𝐶↑2)))) − ((1 − 𝑇) · ((𝑇 · ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶)))) − ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐷)))))) = ((𝐷↑2) + ((𝑇 · (𝑇 · (𝐶↑2))) − ((1 − 𝑇) · ((𝑇 · ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶)))) − ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐷)))))))
164160, 162, 1633eqtr4i 2851 . . . . . . 7 ((((((1 − 𝑇) · 𝐴)↑2) + (2 · (((1 − 𝑇) · 𝐴) · ((𝑇 · 𝐶) − 𝐷)))) + ((𝑇 · 𝐶)↑2)) + (𝐷↑2)) = (((𝐷↑2) + (𝑇 · (𝑇 · (𝐶↑2)))) − ((1 − 𝑇) · ((𝑇 · ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶)))) − ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐷))))))
16597, 164eqtr3i 2843 . . . . . 6 (((((1 − 𝑇) · 𝐴)↑2) + (2 · (((1 − 𝑇) · 𝐴) · ((𝑇 · 𝐶) − 𝐷)))) + (((𝑇 · 𝐶)↑2) + (𝐷↑2))) = (((𝐷↑2) + (𝑇 · (𝑇 · (𝐶↑2)))) − ((1 − 𝑇) · ((𝑇 · ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶)))) − ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐷))))))
16682, 81subcli 10950 . . . . . . 7 (((𝐷↑2) + (𝑇 · (𝑇 · (𝐶↑2)))) − ((1 − 𝑇) · ((𝑇 · ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶)))) − ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐷)))))) ∈ ℂ
16728, 166subeq0i 10954 . . . . . 6 (((((((1 − 𝑇) · 𝐴)↑2) + (2 · (((1 − 𝑇) · 𝐴) · ((𝑇 · 𝐶) − 𝐷)))) + (((𝑇 · 𝐶)↑2) + (𝐷↑2))) − (((𝐷↑2) + (𝑇 · (𝑇 · (𝐶↑2)))) − ((1 − 𝑇) · ((𝑇 · ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶)))) − ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐷))))))) = 0 ↔ (((((1 − 𝑇) · 𝐴)↑2) + (2 · (((1 − 𝑇) · 𝐴) · ((𝑇 · 𝐶) − 𝐷)))) + (((𝑇 · 𝐶)↑2) + (𝐷↑2))) = (((𝐷↑2) + (𝑇 · (𝑇 · (𝐶↑2)))) − ((1 − 𝑇) · ((𝑇 · ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶)))) − ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐷)))))))
168165, 167mpbir 232 . . . . 5 ((((((1 − 𝑇) · 𝐴)↑2) + (2 · (((1 − 𝑇) · 𝐴) · ((𝑇 · 𝐶) − 𝐷)))) + (((𝑇 · 𝐶)↑2) + (𝐷↑2))) − (((𝐷↑2) + (𝑇 · (𝑇 · (𝐶↑2)))) − ((1 − 𝑇) · ((𝑇 · ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶)))) − ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐷))))))) = 0
16996, 168eqtr3i 2843 . . . 4 ((((((1 − 𝑇) · 𝐴)↑2) + (2 · (((1 − 𝑇) · 𝐴) · ((𝑇 · 𝐶) − 𝐷)))) + (((𝑇 · 𝐶)↑2) + (𝐷↑2))) + (((1 − 𝑇) · ((𝑇 · ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶)))) − ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐷))))) − ((𝐷↑2) + (𝑇 · (𝑇 · (𝐶↑2)))))) = 0
1705, 1, 2mulassi 10640 . . . . . . . 8 ((𝑇 · 𝐶) · 𝐷) = (𝑇 · (𝐶 · 𝐷))
171170oveq2i 7156 . . . . . . 7 (2 · ((𝑇 · 𝐶) · 𝐷)) = (2 · (𝑇 · (𝐶 · 𝐷)))
1727, 5, 8mul12i 10823 . . . . . . 7 (2 · (𝑇 · (𝐶 · 𝐷))) = (𝑇 · (2 · (𝐶 · 𝐷)))
173171, 172eqtri 2841 . . . . . 6 (2 · ((𝑇 · 𝐶) · 𝐷)) = (𝑇 · (2 · (𝐶 · 𝐷)))
174173oveq2i 7156 . . . . 5 (((𝑇 · (𝐶↑2)) + (𝑇 · (𝐷↑2))) − (2 · ((𝑇 · 𝐶) · 𝐷))) = (((𝑇 · (𝐶↑2)) + (𝑇 · (𝐷↑2))) − (𝑇 · (2 · (𝐶 · 𝐷))))
1755, 9mulcli 10636 . . . . . 6 (𝑇 · (2 · (𝐶 · 𝐷))) ∈ ℂ
17631, 32, 175addsubi 10966 . . . . 5 (((𝑇 · (𝐶↑2)) + (𝑇 · (𝐷↑2))) − (𝑇 · (2 · (𝐶 · 𝐷)))) = (((𝑇 · (𝐶↑2)) − (𝑇 · (2 · (𝐶 · 𝐷)))) + (𝑇 · (𝐷↑2)))
177174, 176eqtri 2841 . . . 4 (((𝑇 · (𝐶↑2)) + (𝑇 · (𝐷↑2))) − (2 · ((𝑇 · 𝐶) · 𝐷))) = (((𝑇 · (𝐶↑2)) − (𝑇 · (2 · (𝐶 · 𝐷)))) + (𝑇 · (𝐷↑2)))
178169, 177oveq12i 7157 . . 3 (((((((1 − 𝑇) · 𝐴)↑2) + (2 · (((1 − 𝑇) · 𝐴) · ((𝑇 · 𝐶) − 𝐷)))) + (((𝑇 · 𝐶)↑2) + (𝐷↑2))) + (((1 − 𝑇) · ((𝑇 · ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶)))) − ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐷))))) − ((𝐷↑2) + (𝑇 · (𝑇 · (𝐶↑2)))))) + (((𝑇 · (𝐶↑2)) + (𝑇 · (𝐷↑2))) − (2 · ((𝑇 · 𝐶) · 𝐷)))) = (0 + (((𝑇 · (𝐶↑2)) − (𝑇 · (2 · (𝐶 · 𝐷)))) + (𝑇 · (𝐷↑2))))
17931, 175subcli 10950 . . . . 5 ((𝑇 · (𝐶↑2)) − (𝑇 · (2 · (𝐶 · 𝐷)))) ∈ ℂ
180179, 32addcli 10635 . . . 4 (((𝑇 · (𝐶↑2)) − (𝑇 · (2 · (𝐶 · 𝐷)))) + (𝑇 · (𝐷↑2))) ∈ ℂ
181180addid2i 10816 . . 3 (0 + (((𝑇 · (𝐶↑2)) − (𝑇 · (2 · (𝐶 · 𝐷)))) + (𝑇 · (𝐷↑2)))) = (((𝑇 · (𝐶↑2)) − (𝑇 · (2 · (𝐶 · 𝐷)))) + (𝑇 · (𝐷↑2)))
18294, 178, 1813eqtri 2845 . 2 ((((((1 − 𝑇) · 𝐴) + (𝑇 · 𝐶)) − 𝐷)↑2) + ((1 − 𝑇) · ((𝑇 · ((𝐴𝐶)↑2)) − ((𝐴𝐷)↑2)))) = (((𝑇 · (𝐶↑2)) − (𝑇 · (2 · (𝐶 · 𝐷)))) + (𝑇 · (𝐷↑2)))
18315, 182eqtr4i 2844 1 (𝑇 · ((𝐶𝐷)↑2)) = ((((((1 − 𝑇) · 𝐴) + (𝑇 · 𝐶)) − 𝐷)↑2) + ((1 − 𝑇) · ((𝑇 · ((𝐴𝐶)↑2)) − ((𝐴𝐷)↑2))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1528  wcel 2105  (class class class)co 7145  cc 10523  0cc0 10525  1c1 10526   + caddc 10528   · cmul 10530  cmin 10858  -cneg 10859  2c2 11680  cexp 13417
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-nn 11627  df-2 11688  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-seq 13358  df-exp 13418
This theorem is referenced by:  ax5seglem8  26649
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