MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ax5seglem9 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ax5seglem9 25535
Description: Lemma for ax5seg 25536. Take the calculation in ax5seglem8 25534 and turn it into a series of measurements. (Contributed by Scott Fenton, 12-Jun-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 22-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
ax5seglem9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)))) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖))))) → (𝑇 · Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑗) − (𝐷𝑗))↑2)) = (Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑗) − (𝐷𝑗))↑2) + ((1 − 𝑇) · ((𝑇 · Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑗) − (𝐶𝑗))↑2)) − Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑗) − (𝐷𝑗))↑2)))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑖,𝑗   𝐵,𝑖,𝑗   𝐶,𝑖,𝑗   𝐷,𝑖,𝑗   𝑖,𝑁,𝑗   𝑇,𝑖,𝑗

Proof of Theorem ax5seglem9
StepHypRef Expression
1 fzfid 12589 . . 3 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)))) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖))))) → (1...𝑁) ∈ Fin)
2 0re 9896 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ
3 1re 9895 . . . . . . 7 1 ∈ ℝ
42, 3elicc2i 12066 . . . . . 6 (𝑇 ∈ (0[,]1) ↔ (𝑇 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑇𝑇 ≤ 1))
54simp1bi 1068 . . . . 5 (𝑇 ∈ (0[,]1) → 𝑇 ∈ ℝ)
65recnd 9924 . . . 4 (𝑇 ∈ (0[,]1) → 𝑇 ∈ ℂ)
76ad2antrl 759 . . 3 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)))) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖))))) → 𝑇 ∈ ℂ)
8 simprrl 799 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)))) → 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))
98ad2antrr 757 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)))) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖))))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))
10 fveecn 25500 . . . . . 6 ((𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝐶𝑗) ∈ ℂ)
119, 10sylancom 697 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)))) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖))))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝐶𝑗) ∈ ℂ)
12 simprrr 800 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)))) → 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))
1312ad2antrr 757 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)))) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖))))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))
14 fveecn 25500 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝐷𝑗) ∈ ℂ)
1513, 14sylancom 697 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)))) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖))))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝐷𝑗) ∈ ℂ)
1611, 15subcld 10243 . . . 4 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)))) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖))))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐶𝑗) − (𝐷𝑗)) ∈ ℂ)
1716sqcld 12823 . . 3 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)))) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖))))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (((𝐶𝑗) − (𝐷𝑗))↑2) ∈ ℂ)
181, 7, 17fsummulc2 14304 . 2 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)))) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖))))) → (𝑇 · Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑗) − (𝐷𝑗))↑2)) = Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(𝑇 · (((𝐶𝑗) − (𝐷𝑗))↑2)))
19 simprll 797 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)))) → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
2019ad2antrr 757 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)))) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖))))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
21 fveecn 25500 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴𝑗) ∈ ℂ)
2220, 21sylancom 697 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)))) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖))))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴𝑗) ∈ ℂ)
2322, 11subcld 10243 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)))) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖))))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐴𝑗) − (𝐶𝑗)) ∈ ℂ)
2423sqcld 12823 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)))) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖))))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (((𝐴𝑗) − (𝐶𝑗))↑2) ∈ ℂ)
251, 7, 24fsummulc2 14304 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)))) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖))))) → (𝑇 · Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑗) − (𝐶𝑗))↑2)) = Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(𝑇 · (((𝐴𝑗) − (𝐶𝑗))↑2)))
2625oveq1d 6542 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)))) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖))))) → ((𝑇 · Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑗) − (𝐶𝑗))↑2)) − Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑗) − (𝐷𝑗))↑2)) = (Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(𝑇 · (((𝐴𝑗) − (𝐶𝑗))↑2)) − Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑗) − (𝐷𝑗))↑2)))
277adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)))) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖))))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → 𝑇 ∈ ℂ)
2827, 24mulcld 9916 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)))) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖))))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝑇 · (((𝐴𝑗) − (𝐶𝑗))↑2)) ∈ ℂ)
2922, 15subcld 10243 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)))) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖))))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐴𝑗) − (𝐷𝑗)) ∈ ℂ)
3029sqcld 12823 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)))) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖))))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (((𝐴𝑗) − (𝐷𝑗))↑2) ∈ ℂ)
311, 28, 30fsumsub 14308 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)))) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖))))) → Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)((𝑇 · (((𝐴𝑗) − (𝐶𝑗))↑2)) − (((𝐴𝑗) − (𝐷𝑗))↑2)) = (Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(𝑇 · (((𝐴𝑗) − (𝐶𝑗))↑2)) − Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑗) − (𝐷𝑗))↑2)))
3226, 31eqtr4d 2646 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)))) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖))))) → ((𝑇 · Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑗) − (𝐶𝑗))↑2)) − Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑗) − (𝐷𝑗))↑2)) = Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)((𝑇 · (((𝐴𝑗) − (𝐶𝑗))↑2)) − (((𝐴𝑗) − (𝐷𝑗))↑2)))
3332oveq2d 6543 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)))) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖))))) → ((1 − 𝑇) · ((𝑇 · Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑗) − (𝐶𝑗))↑2)) − Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑗) − (𝐷𝑗))↑2))) = ((1 − 𝑇) · Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)((𝑇 · (((𝐴𝑗) − (𝐶𝑗))↑2)) − (((𝐴𝑗) − (𝐷𝑗))↑2))))
34 ax-1cn 9850 . . . . . . . 8 1 ∈ ℂ
35 subcl 10131 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → (1 − 𝑇) ∈ ℂ)
3634, 7, 35sylancr 693 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)))) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖))))) → (1 − 𝑇) ∈ ℂ)
3728, 30subcld 10243 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)))) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖))))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → ((𝑇 · (((𝐴𝑗) − (𝐶𝑗))↑2)) − (((𝐴𝑗) − (𝐷𝑗))↑2)) ∈ ℂ)
381, 36, 37fsummulc2 14304 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)))) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖))))) → ((1 − 𝑇) · Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)((𝑇 · (((𝐴𝑗) − (𝐶𝑗))↑2)) − (((𝐴𝑗) − (𝐷𝑗))↑2))) = Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)((1 − 𝑇) · ((𝑇 · (((𝐴𝑗) − (𝐶𝑗))↑2)) − (((𝐴𝑗) − (𝐷𝑗))↑2))))
3933, 38eqtrd 2643 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)))) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖))))) → ((1 − 𝑇) · ((𝑇 · Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑗) − (𝐶𝑗))↑2)) − Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑗) − (𝐷𝑗))↑2))) = Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)((1 − 𝑇) · ((𝑇 · (((𝐴𝑗) − (𝐶𝑗))↑2)) − (((𝐴𝑗) − (𝐷𝑗))↑2))))
4039oveq2d 6543 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)))) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖))))) → (Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑗) − (𝐷𝑗))↑2) + ((1 − 𝑇) · ((𝑇 · Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑗) − (𝐶𝑗))↑2)) − Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑗) − (𝐷𝑗))↑2)))) = (Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑗) − (𝐷𝑗))↑2) + Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)((1 − 𝑇) · ((𝑇 · (((𝐴𝑗) − (𝐶𝑗))↑2)) − (((𝐴𝑗) − (𝐷𝑗))↑2)))))
41 simprlr 798 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)))) → 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))
4241ad2antrr 757 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)))) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖))))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))
43 fveecn 25500 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝐵𝑗) ∈ ℂ)
4442, 43sylancom 697 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)))) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖))))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝐵𝑗) ∈ ℂ)
4544, 15subcld 10243 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)))) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖))))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐵𝑗) − (𝐷𝑗)) ∈ ℂ)
4645sqcld 12823 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)))) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖))))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (((𝐵𝑗) − (𝐷𝑗))↑2) ∈ ℂ)
4734, 27, 35sylancr 693 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)))) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖))))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (1 − 𝑇) ∈ ℂ)
4847, 37mulcld 9916 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)))) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖))))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → ((1 − 𝑇) · ((𝑇 · (((𝐴𝑗) − (𝐶𝑗))↑2)) − (((𝐴𝑗) − (𝐷𝑗))↑2))) ∈ ℂ)
491, 46, 48fsumadd 14263 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)))) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖))))) → Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)((((𝐵𝑗) − (𝐷𝑗))↑2) + ((1 − 𝑇) · ((𝑇 · (((𝐴𝑗) − (𝐶𝑗))↑2)) − (((𝐴𝑗) − (𝐷𝑗))↑2)))) = (Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑗) − (𝐷𝑗))↑2) + Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)((1 − 𝑇) · ((𝑇 · (((𝐴𝑗) − (𝐶𝑗))↑2)) − (((𝐴𝑗) − (𝐷𝑗))↑2)))))
5040, 49eqtr4d 2646 . . 3 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)))) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖))))) → (Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑗) − (𝐷𝑗))↑2) + ((1 − 𝑇) · ((𝑇 · Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑗) − (𝐶𝑗))↑2)) − Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑗) − (𝐷𝑗))↑2)))) = Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)((((𝐵𝑗) − (𝐷𝑗))↑2) + ((1 − 𝑇) · ((𝑇 · (((𝐴𝑗) − (𝐶𝑗))↑2)) − (((𝐴𝑗) − (𝐷𝑗))↑2)))))
51 fveq2 6088 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝑗 → (𝐵𝑖) = (𝐵𝑗))
52 fveq2 6088 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = 𝑗 → (𝐴𝑖) = (𝐴𝑗))
5352oveq2d 6543 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 𝑗 → ((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) = ((1 − 𝑇) · (𝐴𝑗)))
54 fveq2 6088 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = 𝑗 → (𝐶𝑖) = (𝐶𝑗))
5554oveq2d 6543 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 𝑗 → (𝑇 · (𝐶𝑖)) = (𝑇 · (𝐶𝑗)))
5653, 55oveq12d 6545 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝑗 → (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖))) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑗)) + (𝑇 · (𝐶𝑗))))
5751, 56eqeq12d 2624 . . . . . . . 8 (𝑖 = 𝑗 → ((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖))) ↔ (𝐵𝑗) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑗)) + (𝑇 · (𝐶𝑗)))))
5857rspccva 3280 . . . . . . 7 ((∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝐵𝑗) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑗)) + (𝑇 · (𝐶𝑗))))
5958adantll 745 . . . . . 6 (((𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖)))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝐵𝑗) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑗)) + (𝑇 · (𝐶𝑗))))
6059adantll 745 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)))) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖))))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝐵𝑗) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑗)) + (𝑇 · (𝐶𝑗))))
61 ax5seglem8 25534 . . . . . . 7 ((((𝐴𝑗) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) ∧ ((𝐶𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐷𝑗) ∈ ℂ)) → (𝑇 · (((𝐶𝑗) − (𝐷𝑗))↑2)) = ((((((1 − 𝑇) · (𝐴𝑗)) + (𝑇 · (𝐶𝑗))) − (𝐷𝑗))↑2) + ((1 − 𝑇) · ((𝑇 · (((𝐴𝑗) − (𝐶𝑗))↑2)) − (((𝐴𝑗) − (𝐷𝑗))↑2)))))
62 oveq1 6534 . . . . . . . . . 10 ((𝐵𝑗) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑗)) + (𝑇 · (𝐶𝑗))) → ((𝐵𝑗) − (𝐷𝑗)) = ((((1 − 𝑇) · (𝐴𝑗)) + (𝑇 · (𝐶𝑗))) − (𝐷𝑗)))
6362oveq1d 6542 . . . . . . . . 9 ((𝐵𝑗) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑗)) + (𝑇 · (𝐶𝑗))) → (((𝐵𝑗) − (𝐷𝑗))↑2) = (((((1 − 𝑇) · (𝐴𝑗)) + (𝑇 · (𝐶𝑗))) − (𝐷𝑗))↑2))
6463oveq1d 6542 . . . . . . . 8 ((𝐵𝑗) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑗)) + (𝑇 · (𝐶𝑗))) → ((((𝐵𝑗) − (𝐷𝑗))↑2) + ((1 − 𝑇) · ((𝑇 · (((𝐴𝑗) − (𝐶𝑗))↑2)) − (((𝐴𝑗) − (𝐷𝑗))↑2)))) = ((((((1 − 𝑇) · (𝐴𝑗)) + (𝑇 · (𝐶𝑗))) − (𝐷𝑗))↑2) + ((1 − 𝑇) · ((𝑇 · (((𝐴𝑗) − (𝐶𝑗))↑2)) − (((𝐴𝑗) − (𝐷𝑗))↑2)))))
6564eqcomd 2615 . . . . . . 7 ((𝐵𝑗) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑗)) + (𝑇 · (𝐶𝑗))) → ((((((1 − 𝑇) · (𝐴𝑗)) + (𝑇 · (𝐶𝑗))) − (𝐷𝑗))↑2) + ((1 − 𝑇) · ((𝑇 · (((𝐴𝑗) − (𝐶𝑗))↑2)) − (((𝐴𝑗) − (𝐷𝑗))↑2)))) = ((((𝐵𝑗) − (𝐷𝑗))↑2) + ((1 − 𝑇) · ((𝑇 · (((𝐴𝑗) − (𝐶𝑗))↑2)) − (((𝐴𝑗) − (𝐷𝑗))↑2)))))
6661, 65sylan9eq 2663 . . . . . 6 (((((𝐴𝑗) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) ∧ ((𝐶𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐷𝑗) ∈ ℂ)) ∧ (𝐵𝑗) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑗)) + (𝑇 · (𝐶𝑗)))) → (𝑇 · (((𝐶𝑗) − (𝐷𝑗))↑2)) = ((((𝐵𝑗) − (𝐷𝑗))↑2) + ((1 − 𝑇) · ((𝑇 · (((𝐴𝑗) − (𝐶𝑗))↑2)) − (((𝐴𝑗) − (𝐷𝑗))↑2)))))
67663impa 1250 . . . . 5 ((((𝐴𝑗) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) ∧ ((𝐶𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐷𝑗) ∈ ℂ) ∧ (𝐵𝑗) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑗)) + (𝑇 · (𝐶𝑗)))) → (𝑇 · (((𝐶𝑗) − (𝐷𝑗))↑2)) = ((((𝐵𝑗) − (𝐷𝑗))↑2) + ((1 − 𝑇) · ((𝑇 · (((𝐴𝑗) − (𝐶𝑗))↑2)) − (((𝐴𝑗) − (𝐷𝑗))↑2)))))
6822, 27, 11, 15, 60, 67syl221anc 1328 . . . 4 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)))) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖))))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝑇 · (((𝐶𝑗) − (𝐷𝑗))↑2)) = ((((𝐵𝑗) − (𝐷𝑗))↑2) + ((1 − 𝑇) · ((𝑇 · (((𝐴𝑗) − (𝐶𝑗))↑2)) − (((𝐴𝑗) − (𝐷𝑗))↑2)))))
6968sumeq2dv 14227 . . 3 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)))) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖))))) → Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(𝑇 · (((𝐶𝑗) − (𝐷𝑗))↑2)) = Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)((((𝐵𝑗) − (𝐷𝑗))↑2) + ((1 − 𝑇) · ((𝑇 · (((𝐴𝑗) − (𝐶𝑗))↑2)) − (((𝐴𝑗) − (𝐷𝑗))↑2)))))
7050, 69eqtr4d 2646 . 2 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)))) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖))))) → (Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑗) − (𝐷𝑗))↑2) + ((1 − 𝑇) · ((𝑇 · Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑗) − (𝐶𝑗))↑2)) − Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑗) − (𝐷𝑗))↑2)))) = Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(𝑇 · (((𝐶𝑗) − (𝐷𝑗))↑2)))
7118, 70eqtr4d 2646 1 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)))) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖))))) → (𝑇 · Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑗) − (𝐷𝑗))↑2)) = (Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑗) − (𝐷𝑗))↑2) + ((1 − 𝑇) · ((𝑇 · Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑗) − (𝐶𝑗))↑2)) − Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑗) − (𝐷𝑗))↑2)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1474  wcel 1976  wral 2895   class class class wbr 4577  cfv 5790  (class class class)co 6527  cc 9790  cr 9791  0cc0 9792  1c1 9793   + caddc 9795   · cmul 9797  cle 9931  cmin 10117  cn 10867  2c2 10917  [,]cicc 12005  ...cfz 12152  cexp 12677  Σcsu 14210  𝔼cee 25486
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2232  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-inf2 8398  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869  ax-pre-sup 9870
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-se 4988  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-isom 5799  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-1o 7424  df-oadd 7428  df-er 7606  df-map 7723  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-fin 7822  df-sup 8208  df-oi 8275  df-card 8625  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-div 10534  df-nn 10868  df-2 10926  df-3 10927  df-n0 11140  df-z 11211  df-uz 11520  df-rp 11665  df-icc 12009  df-fz 12153  df-fzo 12290  df-seq 12619  df-exp 12678  df-hash 12935  df-cj 13633  df-re 13634  df-im 13635  df-sqrt 13769  df-abs 13770  df-clim 14013  df-sum 14211  df-ee 25489
This theorem is referenced by:  ax5seg  25536
  Copyright terms: Public domain W3C validator