Theorem axacnd 4944

Description: A version of the Axiom of Choice with no distinct variable conditions.

Assertion

Ref	Expression
axacnd	⊢ ∃x∀y∀z(∀x(y ∈ z ⋀ z ∈ w) → ∃w∀y(∃w((y ∈ z ⋀ z ∈ w) ⋀ (y ∈ w ⋀ w ∈ x)) ↔ y = w))

Proof of Theorem axacnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axacndlem5 4943	. . . 4 ⊢ ∃x∀y∀v(∀x(y ∈ v ⋀ v ∈ w) → ∃w∀y(∃w((y ∈ v ⋀ v ∈ w) ⋀ (y ∈ w ⋀ w ∈ x)) ↔ y = w))
2		hbnae 1145	. . . . . 6 ⊢ (¬ ∀z z = x → ∀x ¬ ∀z z = x)
3		hbnae 1145	. . . . . . 7 ⊢ (¬ ∀z z = y → ∀x ¬ ∀z z = y)
4		hbnae 1145	. . . . . . 7 ⊢ (¬ ∀z z = w → ∀x ¬ ∀z z = w)
5	3, 4	hban 1007	. . . . . 6 ⊢ ((¬ ∀z z = y ⋀ ¬ ∀z z = w) → ∀x(¬ ∀z z = y ⋀ ¬ ∀z z = w))
6	2, 5	hban 1007	. . . . 5 ⊢ ((¬ ∀z z = x ⋀ (¬ ∀z z = y ⋀ ¬ ∀z z = w)) → ∀x(¬ ∀z z = x ⋀ (¬ ∀z z = y ⋀ ¬ ∀z z = w)))
7		hbnae 1145	. . . . . . 7 ⊢ (¬ ∀z z = x → ∀y ¬ ∀z z = x)
8		hbnae 1145	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ ∀z z = y → ∀y ¬ ∀z z = y)
9		hbnae 1145	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ ∀z z = w → ∀y ¬ ∀z z = w)
10	8, 9	hban 1007	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ ∀z z = y ⋀ ¬ ∀z z = w) → ∀y(¬ ∀z z = y ⋀ ¬ ∀z z = w))
11	7, 10	hban 1007	. . . . . 6 ⊢ ((¬ ∀z z = x ⋀ (¬ ∀z z = y ⋀ ¬ ∀z z = w)) → ∀y(¬ ∀z z = x ⋀ (¬ ∀z z = y ⋀ ¬ ∀z z = w)))
12		hbnae 1145	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ ∀z z = x → ∀z ¬ ∀z z = x)
13		hbnae 1145	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ ∀z z = y → ∀z ¬ ∀z z = y)
14		hbnae 1145	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ ∀z z = w → ∀z ¬ ∀z z = w)
15	13, 14	hban 1007	. . . . . . . 8 ⊢ ((¬ ∀z z = y ⋀ ¬ ∀z z = w) → ∀z(¬ ∀z z = y ⋀ ¬ ∀z z = w))
16	12, 15	hban 1007	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ ∀z z = x ⋀ (¬ ∀z z = y ⋀ ¬ ∀z z = w)) → ∀z(¬ ∀z z = x ⋀ (¬ ∀z z = y ⋀ ¬ ∀z z = w)))
17		dveel1 1354	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ ∀z z = y → (y ∈ v → ∀z y ∈ v))
18	17	ad2antrl 406	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((¬ ∀z z = x ⋀ (¬ ∀z z = y ⋀ ¬ ∀z z = w)) → (y ∈ v → ∀z y ∈ v))
19		dveel2 1355	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ ∀z z = w → (v ∈ w → ∀z v ∈ w))
20	19	ad2antll 407	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((¬ ∀z z = x ⋀ (¬ ∀z z = y ⋀ ¬ ∀z z = w)) → (v ∈ w → ∀z v ∈ w))
21	18, 20	hband 1109	. . . . . . . . 9 ⊢ ((¬ ∀z z = x ⋀ (¬ ∀z z = y ⋀ ¬ ∀z z = w)) → ((y ∈ v ⋀ v ∈ w) → ∀z(y ∈ v ⋀ v ∈ w)))
22	6, 21	hbald 1111	. . . . . . . 8 ⊢ ((¬ ∀z z = x ⋀ (¬ ∀z z = y ⋀ ¬ ∀z z = w)) → (∀x(y ∈ v ⋀ v ∈ w) → ∀z∀x(y ∈ v ⋀ v ∈ w)))
23		hbnae 1145	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ ∀z z = x → ∀w ¬ ∀z z = x)
24		hbnae 1145	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ ∀z z = y → ∀w ¬ ∀z z = y)
25		hbnae 1145	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ ∀z z = w → ∀w ¬ ∀z z = w)
26	24, 25	hban 1007	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((¬ ∀z z = y ⋀ ¬ ∀z z = w) → ∀w(¬ ∀z z = y ⋀ ¬ ∀z z = w))
27	23, 26	hban 1007	. . . . . . . . 9 ⊢ ((¬ ∀z z = x ⋀ (¬ ∀z z = y ⋀ ¬ ∀z z = w)) → ∀w(¬ ∀z z = x ⋀ (¬ ∀z z = y ⋀ ¬ ∀z z = w)))
28		ax-15 1358	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (¬ ∀z z = y → (¬ ∀z z = w → (y ∈ w → ∀z y ∈ w)))
29	28	imp 350	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((¬ ∀z z = y ⋀ ¬ ∀z z = w) → (y ∈ w → ∀z y ∈ w))
30	29	adantl 388	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((¬ ∀z z = x ⋀ (¬ ∀z z = y ⋀ ¬ ∀z z = w)) → (y ∈ w → ∀z y ∈ w))
31		ax-15 1358	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (¬ ∀z z = w → (¬ ∀z z = x → (w ∈ x → ∀z w ∈ x)))
32	31	impcom 351	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((¬ ∀z z = x ⋀ ¬ ∀z z = w) → (w ∈ x → ∀z w ∈ x))
33	32	adantrl 394	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((¬ ∀z z = x ⋀ (¬ ∀z z = y ⋀ ¬ ∀z z = w)) → (w ∈ x → ∀z w ∈ x))
34	30, 33	hband 1109	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((¬ ∀z z = x ⋀ (¬ ∀z z = y ⋀ ¬ ∀z z = w)) → ((y ∈ w ⋀ w ∈ x) → ∀z(y ∈ w ⋀ w ∈ x)))
35	21, 34	hband 1109	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((¬ ∀z z = x ⋀ (¬ ∀z z = y ⋀ ¬ ∀z z = w)) → (((y ∈ v ⋀ v ∈ w) ⋀ (y ∈ w ⋀ w ∈ x)) → ∀z((y ∈ v ⋀ v ∈ w) ⋀ (y ∈ w ⋀ w ∈ x))))
36	27, 35	hbexd 1112	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((¬ ∀z z = x ⋀ (¬ ∀z z = y ⋀ ¬ ∀z z = w)) → (∃w((y ∈ v ⋀ v ∈ w) ⋀ (y ∈ w ⋀ w ∈ x)) → ∀z∃w((y ∈ v ⋀ v ∈ w) ⋀ (y ∈ w ⋀ w ∈ x))))
37		ax-12 966	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (¬ ∀z z = y → (¬ ∀z z = w → (y = w → ∀z y = w)))
38	37	imp 350	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((¬ ∀z z = y ⋀ ¬ ∀z z = w) → (y = w → ∀z y = w))
39	38	adantl 388	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((¬ ∀z z = x ⋀ (¬ ∀z z = y ⋀ ¬ ∀z z = w)) → (y = w → ∀z y = w))
40	16, 36, 39	hbbid 1110	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((¬ ∀z z = x ⋀ (¬ ∀z z = y ⋀ ¬ ∀z z = w)) → ((∃w((y ∈ v ⋀ v ∈ w) ⋀ (y ∈ w ⋀ w ∈ x)) ↔ y = w) → ∀z(∃w((y ∈ v ⋀ v ∈ w) ⋀ (y ∈ w ⋀ w ∈ x)) ↔ y = w)))
41	11, 40	hbald 1111	. . . . . . . . 9 ⊢ ((¬ ∀z z = x ⋀ (¬ ∀z z = y ⋀ ¬ ∀z z = w)) → (∀y(∃w((y ∈ v ⋀ v ∈ w) ⋀ (y ∈ w ⋀ w ∈ x)) ↔ y = w) → ∀z∀y(∃w((y ∈ v ⋀ v ∈ w) ⋀ (y ∈ w ⋀ w ∈ x)) ↔ y = w)))
42	27, 41	hbexd 1112	. . . . . . . 8 ⊢ ((¬ ∀z z = x ⋀ (¬ ∀z z = y ⋀ ¬ ∀z z = w)) → (∃w∀y(∃w((y ∈ v ⋀ v ∈ w) ⋀ (y ∈ w ⋀ w ∈ x)) ↔ y = w) → ∀z∃w∀y(∃w((y ∈ v ⋀ v ∈ w) ⋀ (y ∈ w ⋀ w ∈ x)) ↔ y = w)))
43	16, 22, 42	hbimd 1108	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ ∀z z = x ⋀ (¬ ∀z z = y ⋀ ¬ ∀z z = w)) → ((∀x(y ∈ v ⋀ v ∈ w) → ∃w∀y(∃w((y ∈ v ⋀ v ∈ w) ⋀ (y ∈ w ⋀ w ∈ x)) ↔ y = w)) → ∀z(∀x(y ∈ v ⋀ v ∈ w) → ∃w∀y(∃w((y ∈ v ⋀ v ∈ w) ⋀ (y ∈ w ⋀ w ∈ x)) ↔ y = w))))
44		nd5 4922	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (¬ ∀z z = x → (v = z → ∀x v = z))
45	44	imdistani 443	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((¬ ∀z z = x ⋀ v = z) → (¬ ∀z z = x ⋀ ∀x v = z))
46		hba1 1001	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∀x v = z → ∀x∀x v = z)
47		elequ2 1135	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (v = z → (y ∈ v ↔ y ∈ z))
48		elequ1 1134	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (v = z → (v ∈ w ↔ z ∈ w))
49	47, 48	anbi12d 627	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (v = z → ((y ∈ v ⋀ v ∈ w) ↔ (y ∈ z ⋀ z ∈ w)))
50	49	a4s 982	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∀x v = z → ((y ∈ v ⋀ v ∈ w) ↔ (y ∈ z ⋀ z ∈ w)))
51	46, 50	albid 1102	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∀x v = z → (∀x(y ∈ v ⋀ v ∈ w) ↔ ∀x(y ∈ z ⋀ z ∈ w)))
52	51	adantl 388	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((¬ ∀z z = x ⋀ ∀x v = z) → (∀x(y ∈ v ⋀ v ∈ w) ↔ ∀x(y ∈ z ⋀ z ∈ w)))
53	45, 52	syl 10	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((¬ ∀z z = x ⋀ v = z) → (∀x(y ∈ v ⋀ v ∈ w) ↔ ∀x(y ∈ z ⋀ z ∈ w)))
54	53	adantlr 393	. . . . . . . . 9 ⊢ (((¬ ∀z z = x ⋀ (¬ ∀z z = y ⋀ ¬ ∀z z = w)) ⋀ v = z) → (∀x(y ∈ v ⋀ v ∈ w) ↔ ∀x(y ∈ z ⋀ z ∈ w)))
55		nd5 4922	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (¬ ∀z z = y → (v = z → ∀y v = z))
56		nd5 4922	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (¬ ∀z z = w → (v = z → ∀w v = z))
57	9, 56	hbald 1111	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (¬ ∀z z = w → (∀y v = z → ∀w∀y v = z))
58	55, 57	sylan9 468	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((¬ ∀z z = y ⋀ ¬ ∀z z = w) → (v = z → ∀w∀y v = z))
59	58	imdistani 443	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((¬ ∀z z = y ⋀ ¬ ∀z z = w) ⋀ v = z) → ((¬ ∀z z = y ⋀ ¬ ∀z z = w) ⋀ ∀w∀y v = z))
60		hba1 1001	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∀w∀y v = z → ∀w∀w∀y v = z)
61		hba2 1011	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∀w∀y v = z → ∀y∀w∀y v = z)
62	49	a4s 982	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (∀y v = z → ((y ∈ v ⋀ v ∈ w) ↔ (y ∈ z ⋀ z ∈ w)))
63	62	a4s 982	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (∀w∀y v = z → ((y ∈ v ⋀ v ∈ w) ↔ (y ∈ z ⋀ z ∈ w)))
64	63	anbi1d 616	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (∀w∀y v = z → (((y ∈ v ⋀ v ∈ w) ⋀ (y ∈ w ⋀ w ∈ x)) ↔ ((y ∈ z ⋀ z ∈ w) ⋀ (y ∈ w ⋀ w ∈ x))))
65	60, 64	exbid 1103	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∀w∀y v = z → (∃w((y ∈ v ⋀ v ∈ w) ⋀ (y ∈ w ⋀ w ∈ x)) ↔ ∃w((y ∈ z ⋀ z ∈ w) ⋀ (y ∈ w ⋀ w ∈ x))))
66	65	bibi1d 618	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∀w∀y v = z → ((∃w((y ∈ v ⋀ v ∈ w) ⋀ (y ∈ w ⋀ w ∈ x)) ↔ y = w) ↔ (∃w((y ∈ z ⋀ z ∈ w) ⋀ (y ∈ w ⋀ w ∈ x)) ↔ y = w)))
67	61, 66	albid 1102	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∀w∀y v = z → (∀y(∃w((y ∈ v ⋀ v ∈ w) ⋀ (y ∈ w ⋀ w ∈ x)) ↔ y = w) ↔ ∀y(∃w((y ∈ z ⋀ z ∈ w) ⋀ (y ∈ w ⋀ w ∈ x)) ↔ y = w)))
68	60, 67	exbid 1103	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∀w∀y v = z → (∃w∀y(∃w((y ∈ v ⋀ v ∈ w) ⋀ (y ∈ w ⋀ w ∈ x)) ↔ y = w) ↔ ∃w∀y(∃w((y ∈ z ⋀ z ∈ w) ⋀ (y ∈ w ⋀ w ∈ x)) ↔ y = w)))
69	68	adantl 388	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((¬ ∀z z = y ⋀ ¬ ∀z z = w) ⋀ ∀w∀y v = z) → (∃w∀y(∃w((y ∈ v ⋀ v ∈ w) ⋀ (y ∈ w ⋀ w ∈ x)) ↔ y = w) ↔ ∃w∀y(∃w((y ∈ z ⋀ z ∈ w) ⋀ (y ∈ w ⋀ w ∈ x)) ↔ y = w)))
70	59, 69	syl 10	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((¬ ∀z z = y ⋀ ¬ ∀z z = w) ⋀ v = z) → (∃w∀y(∃w((y ∈ v ⋀ v ∈ w) ⋀ (y ∈ w ⋀ w ∈ x)) ↔ y = w) ↔ ∃w∀y(∃w((y ∈ z ⋀ z ∈ w) ⋀ (y ∈ w ⋀ w ∈ x)) ↔ y = w)))
71	70	adantll 392	. . . . . . . . 9 ⊢ (((¬ ∀z z = x ⋀ (¬ ∀z z = y ⋀ ¬ ∀z z = w)) ⋀ v = z) → (∃w∀y(∃w((y ∈ v ⋀ v ∈ w) ⋀ (y ∈ w ⋀ w ∈ x)) ↔ y = w) ↔ ∃w∀y(∃w((y ∈ z ⋀ z ∈ w) ⋀ (y ∈ w ⋀ w ∈ x)) ↔ y = w)))
72	54, 71	imbi12d 625	. . . . . . . 8 ⊢ (((¬ ∀z z = x ⋀ (¬ ∀z z = y ⋀ ¬ ∀z z = w)) ⋀ v = z) → ((∀x(y ∈ v ⋀ v ∈ w) → ∃w∀y(∃w((y ∈ v ⋀ v ∈ w) ⋀ (y ∈ w ⋀ w ∈ x)) ↔ y = w)) ↔ (∀x(y ∈ z ⋀ z ∈ w) → ∃w∀y(∃w((y ∈ z ⋀ z ∈ w) ⋀ (y ∈ w ⋀ w ∈ x)) ↔ y = w))))
73	72	ex 373	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ ∀z z = x ⋀ (¬ ∀z z = y ⋀ ¬ ∀z z = w)) → (v = z → ((∀x(y ∈ v ⋀ v ∈ w) → ∃w∀y(∃w((y ∈ v ⋀ v ∈ w) ⋀ (y ∈ w ⋀ w ∈ x)) ↔ y = w)) ↔ (∀x(y ∈ z ⋀ z ∈ w) → ∃w∀y(∃w((y ∈ z ⋀ z ∈ w) ⋀ (y ∈ w ⋀ w ∈ x)) ↔ y = w)))))
74	16, 43, 73	cbvald 1318	. . . . . 6 ⊢ ((¬ ∀z z = x ⋀ (¬ ∀z z = y ⋀ ¬ ∀z z = w)) → (∀v(∀x(y ∈ v ⋀ v ∈ w) → ∃w∀y(∃w((y ∈ v ⋀ v ∈ w) ⋀ (y ∈ w ⋀ w ∈ x)) ↔ y = w)) ↔ ∀z(∀x(y ∈ z ⋀ z ∈ w) → ∃w∀y(∃w((y ∈ z ⋀ z ∈ w) ⋀ (y ∈ w ⋀ w ∈ x)) ↔ y = w))))
75	11, 74	albid 1102	. . . . 5 ⊢ ((¬ ∀z z = x ⋀ (¬ ∀z z = y ⋀ ¬ ∀z z = w)) → (∀y∀v(∀x(y ∈ v ⋀ v ∈ w) → ∃w∀y(∃w((y ∈ v ⋀ v ∈ w) ⋀ (y ∈ w ⋀ w ∈ x)) ↔ y = w)) ↔ ∀y∀z(∀x(y ∈ z ⋀ z ∈ w) → ∃w∀y(∃w((y ∈ z ⋀ z ∈ w) ⋀ (y ∈ w ⋀ w ∈ x)) ↔ y = w))))
76	6, 75	exbid 1103	. . . 4 ⊢ ((¬ ∀z z = x ⋀ (¬ ∀z z = y ⋀ ¬ ∀z z = w)) → (∃x∀y∀v(∀x(y ∈ v ⋀ v ∈ w) → ∃w∀y(∃w((y ∈ v ⋀ v ∈ w) ⋀ (y ∈ w ⋀ w ∈ x)) ↔ y = w)) ↔ ∃x∀y∀z(∀x(y ∈ z ⋀ z ∈ w) → ∃w∀y(∃w((y ∈ z ⋀ z ∈ w) ⋀ (y ∈ w ⋀ w ∈ x)) ↔ y = w))))
77	1, 76	mpbii 193	. . 3 ⊢ ((¬ ∀z z = x ⋀ (¬ ∀z z = y ⋀ ¬ ∀z z = w)) → ∃x∀y∀z(∀x(y ∈ z ⋀ z ∈ w) → ∃w∀y(∃w((y ∈ z ⋀ z ∈ w) ⋀ (y ∈ w ⋀ w ∈ x)) ↔ y = w)))
78	77	exp32 377	. 2 ⊢ (¬ ∀z z = x → (¬ ∀z z = y → (¬ ∀z z = w → ∃x∀y∀z(∀x(y ∈ z ⋀ z ∈ w) → ∃w∀y(∃w((y ∈ z ⋀ z ∈ w) ⋀ (y ∈ w ⋀ w ∈ x)) ↔ y = w)))))
79		axacndlem2 4940	. . 3 ⊢ (∀x x = z → ∃x∀y∀z(∀x(y ∈ z ⋀ z ∈ w) → ∃w∀y(∃w((y ∈ z ⋀ z ∈ w) ⋀ (y ∈ w ⋀ w ∈ x)) ↔ y = w)))
80	79	alequcoms 1141	. 2 ⊢ (∀z z = x → ∃x∀y∀z(∀x(y ∈ z ⋀ z ∈ w) → ∃w∀y(∃w((y ∈ z ⋀ z ∈ w) ⋀ (y ∈ w ⋀ w ∈ x)) ↔ y = w)))
81		axacndlem3 4941	. . 3 ⊢ (∀y y = z → ∃x∀y∀z(∀x(y ∈ z ⋀ z ∈ w) → ∃w∀y(∃w((y ∈ z ⋀ z ∈ w) ⋀ (y ∈ w ⋀ w ∈ x)) ↔ y = w)))
82	81	alequcoms 1141	. 2 ⊢ (∀z z = y → ∃x∀y∀z(∀x(y ∈ z ⋀ z ∈ w) → ∃w∀y(∃w((y ∈ z ⋀ z ∈ w) ⋀ (y ∈ w ⋀ w ∈ x)) ↔ y = w)))
83		hbae 1143	. . . 4 ⊢ (∀z z = w → ∀y∀z z = w)
84		nd3 4920	. . . . . . 7 ⊢ (∀z z = w → ¬ ∀x z ∈ w)
85	84	pm2.21d 78	. . . . . 6 ⊢ (∀z z = w → (∀x z ∈ w → ∃w∀y(∃w((y ∈ z ⋀ z ∈ w) ⋀ (y ∈ w ⋀ w ∈ x)) ↔ y = w)))
86		pm3.27 323	. . . . . . 7 ⊢ ((y ∈ z ⋀ z ∈ w) → z ∈ w)
87	86	19.20i 990	. . . . . 6 ⊢ (∀x(y ∈ z ⋀ z ∈ w) → ∀x z ∈ w)
88	85, 87	syl5 21	. . . . 5 ⊢ (∀z z = w → (∀x(y ∈ z ⋀ z ∈ w) → ∃w∀y(∃w((y ∈ z ⋀ z ∈ w) ⋀ (y ∈ w ⋀ w ∈ x)) ↔ y = w)))
89	88	a5i 987	. . . 4 ⊢ (∀z z = w → ∀z(∀x(y ∈ z ⋀ z ∈ w) → ∃w∀y(∃w((y ∈ z ⋀ z ∈ w) ⋀ (y ∈ w ⋀ w ∈ x)) ↔ y = w)))
90	83, 89	19.21ai 996	. . 3 ⊢ (∀z z = w → ∀y∀z(∀x(y ∈ z ⋀ z ∈ w) → ∃w∀y(∃w((y ∈ z ⋀ z ∈ w) ⋀ (y ∈ w ⋀ w ∈ x)) ↔ y = w)))
91		19.8a 1027	. . 3 ⊢ (∀y∀z(∀x(y ∈ z ⋀ z ∈ w) → ∃w∀y(∃w((y ∈ z ⋀ z ∈ w) ⋀ (y ∈ w ⋀ w ∈ x)) ↔ y = w)) → ∃x∀y∀z(∀x(y ∈ z ⋀ z ∈ w) → ∃w∀y(∃w((y ∈ z ⋀ z ∈ w) ⋀ (y ∈ w ⋀ w ∈ x)) ↔ y = w)))
92	90, 91	syl 10	. 2 ⊢ (∀z z = w → ∃x∀y∀z(∀x(y ∈ z ⋀ z ∈ w) → ∃w∀y(∃w((y ∈ z ⋀ z ∈ w) ⋀ (y ∈ w ⋀ w ∈ x)) ↔ y = w)))
93	78, 80, 82, 92	pm2.61iii 132	1 ⊢ ∃x∀y∀z(∀x(y ∈ z ⋀ z ∈ w) → ∃w∀y(∃w((y ∈ z ⋀ z ∈ w) ⋀ (y ∈ w ⋀ w ∈ x)) ↔ y = w))

Syntax hints:  ¬ wn 2   → wi 3   ↔ wb 146   ⋀ wa 223  ∀wal 952   = wceq 954   ∈ wcel 956  ∃wex 978

This theorem is referenced by:  zfcndac 4951

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-15 1358  ax-ext 1457  ax-sep 2698  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-reg 4573  ax-ac 4724

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-ral 1646  df-rex 1647  df-v 1808  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-nul 2277  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-op 2412  df-br 2615  df-opab 2662  df-eprel 2827  df-fr 2912

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