Theorem axacndlem2 4932

Description: Lemma for the Axiom of Choice with no distinct variable conditions.

Assertion

Ref	Expression
axacndlem2	⊢ (∀x x = z → ∃x∀y∀z(∀x(y ∈ z ⋀ z ∈ w) → ∃w∀y(∃w((y ∈ z ⋀ z ∈ w) ⋀ (y ∈ w ⋀ w ∈ x)) ↔ y = w)))

Proof of Theorem axacndlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hbae 1141	. . 3 ⊢ (∀x x = z → ∀y∀x x = z)
2		hbae 1141	. . . 4 ⊢ (∀x x = z → ∀z∀x x = z)
3		nd1 4910	. . . . . 6 ⊢ (∀x x = z → ¬ ∀x z ∈ w)
4	3	pm2.21d 78	. . . . 5 ⊢ (∀x x = z → (∀x z ∈ w → ∃w∀y(∃w((y ∈ z ⋀ z ∈ w) ⋀ (y ∈ w ⋀ w ∈ x)) ↔ y = w)))
5		pm3.27 323	. . . . . 6 ⊢ ((y ∈ z ⋀ z ∈ w) → z ∈ w)
6	5	19.20i 989	. . . . 5 ⊢ (∀x(y ∈ z ⋀ z ∈ w) → ∀x z ∈ w)
7	4, 6	syl5 21	. . . 4 ⊢ (∀x x = z → (∀x(y ∈ z ⋀ z ∈ w) → ∃w∀y(∃w((y ∈ z ⋀ z ∈ w) ⋀ (y ∈ w ⋀ w ∈ x)) ↔ y = w)))
8	2, 7	19.21ai 995	. . 3 ⊢ (∀x x = z → ∀z(∀x(y ∈ z ⋀ z ∈ w) → ∃w∀y(∃w((y ∈ z ⋀ z ∈ w) ⋀ (y ∈ w ⋀ w ∈ x)) ↔ y = w)))
9	1, 8	19.21ai 995	. 2 ⊢ (∀x x = z → ∀y∀z(∀x(y ∈ z ⋀ z ∈ w) → ∃w∀y(∃w((y ∈ z ⋀ z ∈ w) ⋀ (y ∈ w ⋀ w ∈ x)) ↔ y = w)))
10		19.8a 1025	. 2 ⊢ (∀y∀z(∀x(y ∈ z ⋀ z ∈ w) → ∃w∀y(∃w((y ∈ z ⋀ z ∈ w) ⋀ (y ∈ w ⋀ w ∈ x)) ↔ y = w)) → ∃x∀y∀z(∀x(y ∈ z ⋀ z ∈ w) → ∃w∀y(∃w((y ∈ z ⋀ z ∈ w) ⋀ (y ∈ w ⋀ w ∈ x)) ↔ y = w)))
11	9, 10	syl 10	1 ⊢ (∀x x = z → ∃x∀y∀z(∀x(y ∈ z ⋀ z ∈ w) → ∃w∀y(∃w((y ∈ z ⋀ z ∈ w) ⋀ (y ∈ w ⋀ w ∈ x)) ↔ y = w)))

Syntax hints:   → wi 3   ↔ wb 146   ⋀ wa 223  ∀wal 951   = wceq 953   ∈ wcel 955  ∃wex 977

This theorem is referenced by:  axacndlem4 4934  axacnd 4936

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-sep 2693  ax-pow 2732  ax-reg 4565

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-ral 1641  df-rex 1642  df-v 1803  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-nul 2271  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403

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