Theorem axacndlem3 4944

Description: Lemma for the Axiom of Choice with no distinct variable conditions.

Assertion

Ref	Expression
axacndlem3	⊢ (∀y y = z → ∃x∀y∀z(∀x(y ∈ z ⋀ z ∈ w) → ∃w∀y(∃w((y ∈ z ⋀ z ∈ w) ⋀ (y ∈ w ⋀ w ∈ x)) ↔ y = w)))

Proof of Theorem axacndlem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hbae 1144	. . . 4 ⊢ (∀y y = z → ∀z∀y y = z)
2		nd3 4923	. . . . . 6 ⊢ (∀y y = z → ¬ ∀x y ∈ z)
3	2	pm2.21d 78	. . . . 5 ⊢ (∀y y = z → (∀x y ∈ z → ∃w∀y(∃w((y ∈ z ⋀ z ∈ w) ⋀ (y ∈ w ⋀ w ∈ x)) ↔ y = w)))
4		pm3.26 319	. . . . . 6 ⊢ ((y ∈ z ⋀ z ∈ w) → y ∈ z)
5	4	19.20i 991	. . . . 5 ⊢ (∀x(y ∈ z ⋀ z ∈ w) → ∀x y ∈ z)
6	3, 5	syl5 21	. . . 4 ⊢ (∀y y = z → (∀x(y ∈ z ⋀ z ∈ w) → ∃w∀y(∃w((y ∈ z ⋀ z ∈ w) ⋀ (y ∈ w ⋀ w ∈ x)) ↔ y = w)))
7	1, 6	19.21ai 997	. . 3 ⊢ (∀y y = z → ∀z(∀x(y ∈ z ⋀ z ∈ w) → ∃w∀y(∃w((y ∈ z ⋀ z ∈ w) ⋀ (y ∈ w ⋀ w ∈ x)) ↔ y = w)))
8	7	a5i 988	. 2 ⊢ (∀y y = z → ∀y∀z(∀x(y ∈ z ⋀ z ∈ w) → ∃w∀y(∃w((y ∈ z ⋀ z ∈ w) ⋀ (y ∈ w ⋀ w ∈ x)) ↔ y = w)))
9		19.8a 1028	. 2 ⊢ (∀y∀z(∀x(y ∈ z ⋀ z ∈ w) → ∃w∀y(∃w((y ∈ z ⋀ z ∈ w) ⋀ (y ∈ w ⋀ w ∈ x)) ↔ y = w)) → ∃x∀y∀z(∀x(y ∈ z ⋀ z ∈ w) → ∃w∀y(∃w((y ∈ z ⋀ z ∈ w) ⋀ (y ∈ w ⋀ w ∈ x)) ↔ y = w)))
10	8, 9	syl 10	1 ⊢ (∀y y = z → ∃x∀y∀z(∀x(y ∈ z ⋀ z ∈ w) → ∃w∀y(∃w((y ∈ z ⋀ z ∈ w) ⋀ (y ∈ w ⋀ w ∈ x)) ↔ y = w)))

Syntax hints:   → wi 3   ↔ wb 146   ⋀ wa 223  ∀wal 953   = wceq 955   ∈ wcel 957  ∃wex 979

This theorem is referenced by:  axacndlem5 4946  axacnd 4947

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1209  ax-11o 1217  ax-ext 1458  ax-sep 2699  ax-pow 2738  ax-reg 4576

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 980  df-sb 1171  df-eu 1381  df-mo 1382  df-clab 1463  df-cleq 1468  df-clel 1471  df-ne 1585  df-ral 1647  df-rex 1648  df-v 1809  df-dif 2046  df-un 2047  df-in 2048  df-ss 2050  df-nul 2278  df-pw 2399  df-sn 2409  df-pr 2410

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