Theorem axaddrcl 5252

Description: Closure law for addition in the real subfield of complex numbers. Axiom 6 of 25 for real and complex numbers, derived from ZF set theory.

Assertion

Ref	Expression
axaddrcl	⊢ ((A ∈ ℝ ⋀ B ∈ ℝ) → (A + B) ∈ ℝ)

Proof of Theorem axaddrcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elreal 5230	. 2 ⊢ (A ∈ ℝ ↔ ∃x(x ∈ R ⋀ ⟨x, 0R⟩ = A))
2		elreal 5230	. 2 ⊢ (B ∈ ℝ ↔ ∃y(y ∈ R ⋀ ⟨y, 0R⟩ = B))
3		opreq1 3959	. . 3 ⊢ (⟨x, 0R⟩ = A → (⟨x, 0R⟩ + ⟨y, 0R⟩) = (A + ⟨y, 0R⟩))
4	3	eleq1d 1537	. 2 ⊢ (⟨x, 0R⟩ = A → ((⟨x, 0R⟩ + ⟨y, 0R⟩) ∈ ℝ ↔ (A + ⟨y, 0R⟩) ∈ ℝ))
5		opreq2 3960	. . 3 ⊢ (⟨y, 0R⟩ = B → (A + ⟨y, 0R⟩) = (A + B))
6	5	eleq1d 1537	. 2 ⊢ (⟨y, 0R⟩ = B → ((A + ⟨y, 0R⟩) ∈ ℝ ↔ (A + B) ∈ ℝ))
7		addresr 5236	. . 3 ⊢ ((x ∈ R ⋀ y ∈ R) → (⟨x, 0R⟩ + ⟨y, 0R⟩) = ⟨(x +R y), 0R⟩)
8		addclsr 5172	. . . 4 ⊢ ((x ∈ R ⋀ y ∈ R) → (x +R y) ∈ R)
9		opelreal 5229	. . . 4 ⊢ (⟨(x +R y), 0R⟩ ∈ ℝ ↔ (x +R y) ∈ R)
10	8, 9	sylibr 200	. . 3 ⊢ ((x ∈ R ⋀ y ∈ R) → ⟨(x +R y), 0R⟩ ∈ ℝ)
11	7, 10	eqeltrd 1545	. 2 ⊢ ((x ∈ R ⋀ y ∈ R) → (⟨x, 0R⟩ + ⟨y, 0R⟩) ∈ ℝ)
12	1, 2, 4, 6, 11	2gencl 1825	1 ⊢ ((A ∈ ℝ ⋀ B ∈ ℝ) → (A + B) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 3   ⋀ wa 223   = wceq 954   ∈ wcel 956  ⟨cop 2407  (class class class)co 3954  Rcnr 4973  0_Rc0r 4974   +_R cplr 4977  ℝcr 5213   + caddc 5217

This theorem is referenced by:  readdclt 5282  readdcl 5314  cnegextlem3 5327  cnegext 5328  peano2re 5416  resubclt 5418  0re 5420  axltadd 5485  ltaddsubt 5613  leaddsubt 5615  ltleaddt 5627  recextlem2 5664  recext 5665  recp1lt1 5857  recrecltt 5858  nnge1t 5899  nnaddm1clt 5913  avglet 5999  zaddclt 6120  uzindOLD 6164  fladdzt 6195  rpaddclt 6235  ser1recl 6276  icoshft 6349  bernneq 6591  absrelet 6812  absimlet 6813  caubnd 6871  ser1absdiflem 6874  fsumreclt 6963  fsumcmp 6986  fsumabs 6989  2climnn 7047  2climnn0 7048  climge0 7057  climaddlem3 7060  climmullem1 7064  climmullem2 7065  climmullem3 7066  climmullem4 7067  climmullem5 7068  climmullem8 7071  climcau 7100  caucvglem5 7105  caucvglem6 7106  caucvg 7107  serzf0 7113  ser1f0 7114  ser1cmp 7118  ser1cmp2lem 7120  ser1cmp2 7121  cvgcmp2lem 7124  infcvglem1 7164  infcvglem3 7166  ivthlem6 7229  ivthlem7 7230  ivthlem6OLD 7238  ivthlem7OLD 7239  efcn 7371  ruclem13 7473  metxplem3 7780  bl2in 7795  blss 7805  bl2ioo 7863  ioo2bl 7864  blssioo 7865  tgioolem 7866  iscau3 7890  iscau4 7892  lmuni 7902  lmle 7911  lmcau 7946  bcthlem24 7972  bcthlem25 7973  readdsubg 8081  ubthlem11 8483  minveclem21 8509  minveclem27 8515  minveclem31 8519  shftefif1olem 8680  relogmult 8709  hcau2 8994  nmoptri 9965  hmopidmch 10017  hstlet 10095  stadd 10111  stadd3 10113  cdj1 10294  cdj3lem2b 10298  cdj3 10302  truni1 10422  msr4 10506  mslb1 10509  msra3 10511  iintlem1 10512  iint 10514  trdom 10515  trran 10516  trnij 10517  cnvtr 10518

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-rep 2688  ax-sep 2698  ax-nul 2705  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861  ax-inf2 4605

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-ral 1646  df-rex 1647  df-reu 1648  df-rab 1649  df-v 1808  df-sbc 1938  df-csb 1998  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-pss 2051  df-nul 2277  df-if 2358  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-tp 2411  df-op 2412  df-uni 2499  df-int 2529  df-iun 2563  df-br 2615  df-opab 2662  df-tr 2676  df-eprel 2827  df-id 2830  df-po 2835  df-so 2845  df-fr 2912  df-we 2929  df-ord 2946  df-on 2947  df-lim 2948  df-suc 2949  df-om 3127  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-f 3189  df-fv 3193  df-rdg 3923  df-opr 3956  df-oprab 3957  df-1st 4069  df-2nd 4070  df-1o 4123  df-oadd 4125  df-omul 4126  df-er 4251  df-ec 4253  df-qs 4256  df-ni 4980  df-pli 4981  df-mi 4982  df-lti 4983  df-plpq 5015  df-mpq 5016  df-enq 5017  df-nq 5018  df-plq 5019  df-mq 5020  df-rq 5021  df-ltq 5022  df-1q 5023  df-np 5066  df-1p 5067  df-plp 5068  df-ltp 5070  df-plpr 5144  df-enr 5146  df-nr 5147  df-plr 5148  df-0r 5151  df-c 5220  df-r 5224  df-plus 5225

Copyright terms: Public domain