Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  axccd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem axccd 39928
Description: An alternative version of the axiom of countable choice. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
axccd.1 (𝜑𝐴 ≈ ω)
axccd.2 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥 ≠ ∅)
Assertion
Ref Expression
axccd (𝜑 → ∃𝑓𝑥𝐴 (𝑓𝑥) ∈ 𝑥)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑓,𝑥   𝜑,𝑓,𝑥

Proof of Theorem axccd
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 axccd.1 . . 3 (𝜑𝐴 ≈ ω)
2 encv 8129 . . . . . 6 (𝐴 ≈ ω → (𝐴 ∈ V ∧ ω ∈ V))
32simpld 477 . . . . 5 (𝐴 ≈ ω → 𝐴 ∈ V)
41, 3syl 17 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ V)
5 breq1 4807 . . . . . 6 (𝑦 = 𝐴 → (𝑦 ≈ ω ↔ 𝐴 ≈ ω))
6 raleq 3277 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝐴 → (∀𝑥𝑦 (𝑥 ≠ ∅ → (𝑓𝑥) ∈ 𝑥) ↔ ∀𝑥𝐴 (𝑥 ≠ ∅ → (𝑓𝑥) ∈ 𝑥)))
76exbidv 1999 . . . . . 6 (𝑦 = 𝐴 → (∃𝑓𝑥𝑦 (𝑥 ≠ ∅ → (𝑓𝑥) ∈ 𝑥) ↔ ∃𝑓𝑥𝐴 (𝑥 ≠ ∅ → (𝑓𝑥) ∈ 𝑥)))
85, 7imbi12d 333 . . . . 5 (𝑦 = 𝐴 → ((𝑦 ≈ ω → ∃𝑓𝑥𝑦 (𝑥 ≠ ∅ → (𝑓𝑥) ∈ 𝑥)) ↔ (𝐴 ≈ ω → ∃𝑓𝑥𝐴 (𝑥 ≠ ∅ → (𝑓𝑥) ∈ 𝑥))))
9 ax-cc 9449 . . . . 5 (𝑦 ≈ ω → ∃𝑓𝑥𝑦 (𝑥 ≠ ∅ → (𝑓𝑥) ∈ 𝑥))
108, 9vtoclg 3406 . . . 4 (𝐴 ∈ V → (𝐴 ≈ ω → ∃𝑓𝑥𝐴 (𝑥 ≠ ∅ → (𝑓𝑥) ∈ 𝑥)))
114, 10syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝐴 ≈ ω → ∃𝑓𝑥𝐴 (𝑥 ≠ ∅ → (𝑓𝑥) ∈ 𝑥)))
121, 11mpd 15 . 2 (𝜑 → ∃𝑓𝑥𝐴 (𝑥 ≠ ∅ → (𝑓𝑥) ∈ 𝑥))
13 nfv 1992 . . . . . 6 𝑥𝜑
14 nfra1 3079 . . . . . 6 𝑥𝑥𝐴 (𝑥 ≠ ∅ → (𝑓𝑥) ∈ 𝑥)
1513, 14nfan 1977 . . . . 5 𝑥(𝜑 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 ≠ ∅ → (𝑓𝑥) ∈ 𝑥))
16 axccd.2 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥 ≠ ∅)
1716adantlr 753 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 ≠ ∅ → (𝑓𝑥) ∈ 𝑥)) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥 ≠ ∅)
18 rspa 3068 . . . . . . . 8 ((∀𝑥𝐴 (𝑥 ≠ ∅ → (𝑓𝑥) ∈ 𝑥) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑥 ≠ ∅ → (𝑓𝑥) ∈ 𝑥))
1918adantll 752 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 ≠ ∅ → (𝑓𝑥) ∈ 𝑥)) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑥 ≠ ∅ → (𝑓𝑥) ∈ 𝑥))
2017, 19mpd 15 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 ≠ ∅ → (𝑓𝑥) ∈ 𝑥)) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑓𝑥) ∈ 𝑥)
2120ex 449 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 ≠ ∅ → (𝑓𝑥) ∈ 𝑥)) → (𝑥𝐴 → (𝑓𝑥) ∈ 𝑥))
2215, 21ralrimi 3095 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 ≠ ∅ → (𝑓𝑥) ∈ 𝑥)) → ∀𝑥𝐴 (𝑓𝑥) ∈ 𝑥)
2322ex 449 . . 3 (𝜑 → (∀𝑥𝐴 (𝑥 ≠ ∅ → (𝑓𝑥) ∈ 𝑥) → ∀𝑥𝐴 (𝑓𝑥) ∈ 𝑥))
2423eximdv 1995 . 2 (𝜑 → (∃𝑓𝑥𝐴 (𝑥 ≠ ∅ → (𝑓𝑥) ∈ 𝑥) → ∃𝑓𝑥𝐴 (𝑓𝑥) ∈ 𝑥))
2512, 24mpd 15 1 (𝜑 → ∃𝑓𝑥𝐴 (𝑓𝑥) ∈ 𝑥)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1632  wex 1853  wcel 2139  wne 2932  wral 3050  Vcvv 3340  c0 4058   class class class wbr 4804  cfv 6049  ωcom 7230  cen 8118
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pr 5055  ax-cc 9449
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ral 3055  df-rex 3056  df-rab 3059  df-v 3342  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-br 4805  df-opab 4865  df-xp 5272  df-rel 5273  df-en 8122
This theorem is referenced by:  axccd2  39929
  Copyright terms: Public domain W3C validator