Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  axccd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem axccd 41371
Description: An alternative version of the axiom of countable choice. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
axccd.1 (𝜑𝐴 ≈ ω)
axccd.2 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥 ≠ ∅)
Assertion
Ref Expression
axccd (𝜑 → ∃𝑓𝑥𝐴 (𝑓𝑥) ∈ 𝑥)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑓,𝑥   𝜑,𝑓,𝑥

Proof of Theorem axccd
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 axccd.1 . . 3 (𝜑𝐴 ≈ ω)
2 encv 8505 . . . . 5 (𝐴 ≈ ω → (𝐴 ∈ V ∧ ω ∈ V))
32simpld 495 . . . 4 (𝐴 ≈ ω → 𝐴 ∈ V)
4 breq1 5060 . . . . . 6 (𝑦 = 𝐴 → (𝑦 ≈ ω ↔ 𝐴 ≈ ω))
5 raleq 3403 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝐴 → (∀𝑥𝑦 (𝑥 ≠ ∅ → (𝑓𝑥) ∈ 𝑥) ↔ ∀𝑥𝐴 (𝑥 ≠ ∅ → (𝑓𝑥) ∈ 𝑥)))
65exbidv 1913 . . . . . 6 (𝑦 = 𝐴 → (∃𝑓𝑥𝑦 (𝑥 ≠ ∅ → (𝑓𝑥) ∈ 𝑥) ↔ ∃𝑓𝑥𝐴 (𝑥 ≠ ∅ → (𝑓𝑥) ∈ 𝑥)))
74, 6imbi12d 346 . . . . 5 (𝑦 = 𝐴 → ((𝑦 ≈ ω → ∃𝑓𝑥𝑦 (𝑥 ≠ ∅ → (𝑓𝑥) ∈ 𝑥)) ↔ (𝐴 ≈ ω → ∃𝑓𝑥𝐴 (𝑥 ≠ ∅ → (𝑓𝑥) ∈ 𝑥))))
8 ax-cc 9845 . . . . 5 (𝑦 ≈ ω → ∃𝑓𝑥𝑦 (𝑥 ≠ ∅ → (𝑓𝑥) ∈ 𝑥))
97, 8vtoclg 3565 . . . 4 (𝐴 ∈ V → (𝐴 ≈ ω → ∃𝑓𝑥𝐴 (𝑥 ≠ ∅ → (𝑓𝑥) ∈ 𝑥)))
101, 3, 93syl 18 . . 3 (𝜑 → (𝐴 ≈ ω → ∃𝑓𝑥𝐴 (𝑥 ≠ ∅ → (𝑓𝑥) ∈ 𝑥)))
111, 10mpd 15 . 2 (𝜑 → ∃𝑓𝑥𝐴 (𝑥 ≠ ∅ → (𝑓𝑥) ∈ 𝑥))
12 nfv 1906 . . . . . 6 𝑥𝜑
13 nfra1 3216 . . . . . 6 𝑥𝑥𝐴 (𝑥 ≠ ∅ → (𝑓𝑥) ∈ 𝑥)
1412, 13nfan 1891 . . . . 5 𝑥(𝜑 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 ≠ ∅ → (𝑓𝑥) ∈ 𝑥))
15 axccd.2 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥 ≠ ∅)
1615adantlr 711 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 ≠ ∅ → (𝑓𝑥) ∈ 𝑥)) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥 ≠ ∅)
17 rspa 3203 . . . . . . 7 ((∀𝑥𝐴 (𝑥 ≠ ∅ → (𝑓𝑥) ∈ 𝑥) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑥 ≠ ∅ → (𝑓𝑥) ∈ 𝑥))
1817adantll 710 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 ≠ ∅ → (𝑓𝑥) ∈ 𝑥)) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑥 ≠ ∅ → (𝑓𝑥) ∈ 𝑥))
1916, 18mpd 15 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 ≠ ∅ → (𝑓𝑥) ∈ 𝑥)) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑓𝑥) ∈ 𝑥)
2014, 19ralrimia 41274 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 ≠ ∅ → (𝑓𝑥) ∈ 𝑥)) → ∀𝑥𝐴 (𝑓𝑥) ∈ 𝑥)
2120ex 413 . . 3 (𝜑 → (∀𝑥𝐴 (𝑥 ≠ ∅ → (𝑓𝑥) ∈ 𝑥) → ∀𝑥𝐴 (𝑓𝑥) ∈ 𝑥))
2221eximdv 1909 . 2 (𝜑 → (∃𝑓𝑥𝐴 (𝑥 ≠ ∅ → (𝑓𝑥) ∈ 𝑥) → ∃𝑓𝑥𝐴 (𝑓𝑥) ∈ 𝑥))
2311, 22mpd 15 1 (𝜑 → ∃𝑓𝑥𝐴 (𝑓𝑥) ∈ 𝑥)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1528  wex 1771  wcel 2105  wne 3013  wral 3135  Vcvv 3492  c0 4288   class class class wbr 5057  cfv 6348  ωcom 7569  cen 8494
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pr 5320  ax-cc 9845
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ral 3140  df-rex 3141  df-rab 3144  df-v 3494  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-br 5058  df-opab 5120  df-xp 5554  df-rel 5555  df-en 8498
This theorem is referenced by:  axccd2  41372
  Copyright terms: Public domain W3C validator