Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  axccdom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem axccdom 38211
Description: Relax the constraint on ax-cc to dominance instead of equinumerosity. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
axccdom.1 (𝜑𝑋 ≼ ω)
axccdom.2 ((𝜑𝑧𝑋) → 𝑧 ≠ ∅)
Assertion
Ref Expression
axccdom (𝜑 → ∃𝑓(𝑓 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑧𝑋 (𝑓𝑧) ∈ 𝑧))
Distinct variable groups:   𝑓,𝑋,𝑧   𝜑,𝑧
Allowed substitution hint:   𝜑(𝑓)

Proof of Theorem axccdom
Dummy variables 𝑔 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 475 . . 3 ((𝜑𝑋 ∈ Fin) → 𝑋 ∈ Fin)
2 simpr 475 . . 3 (((𝜑𝑋 ∈ Fin) ∧ 𝑧𝑋) → 𝑧𝑋)
3 axccdom.2 . . . 4 ((𝜑𝑧𝑋) → 𝑧 ≠ ∅)
43adantlr 746 . . 3 (((𝜑𝑋 ∈ Fin) ∧ 𝑧𝑋) → 𝑧 ≠ ∅)
51, 2, 4choicefi 38187 . 2 ((𝜑𝑋 ∈ Fin) → ∃𝑓(𝑓 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑧𝑋 (𝑓𝑧) ∈ 𝑧))
6 axccdom.1 . . . . . 6 (𝜑𝑋 ≼ ω)
76adantr 479 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ Fin) → 𝑋 ≼ ω)
8 isfinite2 8077 . . . . . . 7 (𝑋 ≺ ω → 𝑋 ∈ Fin)
98con3i 148 . . . . . 6 𝑋 ∈ Fin → ¬ 𝑋 ≺ ω)
109adantl 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ Fin) → ¬ 𝑋 ≺ ω)
117, 10jca 552 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ Fin) → (𝑋 ≼ ω ∧ ¬ 𝑋 ≺ ω))
12 bren2 7846 . . . 4 (𝑋 ≈ ω ↔ (𝑋 ≼ ω ∧ ¬ 𝑋 ≺ ω))
1311, 12sylibr 222 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ Fin) → 𝑋 ≈ ω)
14 ctex 7830 . . . . . . 7 (𝑋 ≼ ω → 𝑋 ∈ V)
156, 14syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑋 ∈ V)
1615adantr 479 . . . . 5 ((𝜑𝑋 ≈ ω) → 𝑋 ∈ V)
17 simpr 475 . . . . 5 ((𝜑𝑋 ≈ ω) → 𝑋 ≈ ω)
18 breq1 4577 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 ≈ ω ↔ 𝑋 ≈ ω))
19 raleq 3111 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑋 → (∀𝑧𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑔𝑧) ∈ 𝑧) ↔ ∀𝑧𝑋 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑔𝑧) ∈ 𝑧)))
2019exbidv 1836 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑋 → (∃𝑔𝑧𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑔𝑧) ∈ 𝑧) ↔ ∃𝑔𝑧𝑋 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑔𝑧) ∈ 𝑧)))
2118, 20imbi12d 332 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑋 → ((𝑥 ≈ ω → ∃𝑔𝑧𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑔𝑧) ∈ 𝑧)) ↔ (𝑋 ≈ ω → ∃𝑔𝑧𝑋 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑔𝑧) ∈ 𝑧))))
22 ax-cc 9114 . . . . . 6 (𝑥 ≈ ω → ∃𝑔𝑧𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑔𝑧) ∈ 𝑧))
2321, 22vtoclg 3235 . . . . 5 (𝑋 ∈ V → (𝑋 ≈ ω → ∃𝑔𝑧𝑋 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑔𝑧) ∈ 𝑧)))
2416, 17, 23sylc 62 . . . 4 ((𝜑𝑋 ≈ ω) → ∃𝑔𝑧𝑋 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑔𝑧) ∈ 𝑧))
2515mptexd 6366 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑧𝑋 ↦ (𝑔𝑧)) ∈ V)
2625adantr 479 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ∀𝑧𝑋 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑔𝑧) ∈ 𝑧)) → (𝑧𝑋 ↦ (𝑔𝑧)) ∈ V)
27 fvex 6095 . . . . . . . . . . . 12 (𝑔𝑧) ∈ V
2827rgenw 2904 . . . . . . . . . . 11 𝑧𝑋 (𝑔𝑧) ∈ V
29 eqid 2606 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧𝑋 ↦ (𝑔𝑧)) = (𝑧𝑋 ↦ (𝑔𝑧))
3029fnmpt 5916 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑧𝑋 (𝑔𝑧) ∈ V → (𝑧𝑋 ↦ (𝑔𝑧)) Fn 𝑋)
3128, 30ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (𝑧𝑋 ↦ (𝑔𝑧)) Fn 𝑋
3231a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ∀𝑧𝑋 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑔𝑧) ∈ 𝑧)) → (𝑧𝑋 ↦ (𝑔𝑧)) Fn 𝑋)
33 nfv 1829 . . . . . . . . . . 11 𝑧𝜑
34 nfra1 2921 . . . . . . . . . . 11 𝑧𝑧𝑋 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑔𝑧) ∈ 𝑧)
3533, 34nfan 1815 . . . . . . . . . 10 𝑧(𝜑 ∧ ∀𝑧𝑋 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑔𝑧) ∈ 𝑧))
36 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧𝑋𝑧𝑋)
3727a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧𝑋 → (𝑔𝑧) ∈ V)
3829fvmpt2 6182 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑧𝑋 ∧ (𝑔𝑧) ∈ V) → ((𝑧𝑋 ↦ (𝑔𝑧))‘𝑧) = (𝑔𝑧))
3936, 37, 38syl2anc 690 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧𝑋 → ((𝑧𝑋 ↦ (𝑔𝑧))‘𝑧) = (𝑔𝑧))
4039adantl 480 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ ∀𝑧𝑋 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑔𝑧) ∈ 𝑧)) ∧ 𝑧𝑋) → ((𝑧𝑋 ↦ (𝑔𝑧))‘𝑧) = (𝑔𝑧))
41 rspa 2910 . . . . . . . . . . . . . 14 ((∀𝑧𝑋 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑔𝑧) ∈ 𝑧) ∧ 𝑧𝑋) → (𝑧 ≠ ∅ → (𝑔𝑧) ∈ 𝑧))
4241adantll 745 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ ∀𝑧𝑋 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑔𝑧) ∈ 𝑧)) ∧ 𝑧𝑋) → (𝑧 ≠ ∅ → (𝑔𝑧) ∈ 𝑧))
433adantlr 746 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ ∀𝑧𝑋 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑔𝑧) ∈ 𝑧)) ∧ 𝑧𝑋) → 𝑧 ≠ ∅)
44 id 22 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧 ≠ ∅ → (𝑔𝑧) ∈ 𝑧) → (𝑧 ≠ ∅ → (𝑔𝑧) ∈ 𝑧))
4542, 43, 44sylc 62 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ ∀𝑧𝑋 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑔𝑧) ∈ 𝑧)) ∧ 𝑧𝑋) → (𝑔𝑧) ∈ 𝑧)
4640, 45eqeltrd 2684 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ∀𝑧𝑋 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑔𝑧) ∈ 𝑧)) ∧ 𝑧𝑋) → ((𝑧𝑋 ↦ (𝑔𝑧))‘𝑧) ∈ 𝑧)
4746ex 448 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ∀𝑧𝑋 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑔𝑧) ∈ 𝑧)) → (𝑧𝑋 → ((𝑧𝑋 ↦ (𝑔𝑧))‘𝑧) ∈ 𝑧))
4835, 47ralrimi 2936 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ∀𝑧𝑋 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑔𝑧) ∈ 𝑧)) → ∀𝑧𝑋 ((𝑧𝑋 ↦ (𝑔𝑧))‘𝑧) ∈ 𝑧)
4932, 48jca 552 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ∀𝑧𝑋 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑔𝑧) ∈ 𝑧)) → ((𝑧𝑋 ↦ (𝑔𝑧)) Fn 𝑋 ∧ ∀𝑧𝑋 ((𝑧𝑋 ↦ (𝑔𝑧))‘𝑧) ∈ 𝑧))
50 fneq1 5876 . . . . . . . . . 10 (𝑓 = (𝑧𝑋 ↦ (𝑔𝑧)) → (𝑓 Fn 𝑋 ↔ (𝑧𝑋 ↦ (𝑔𝑧)) Fn 𝑋))
51 nfcv 2747 . . . . . . . . . . . 12 𝑧𝑓
52 nfmpt1 4666 . . . . . . . . . . . 12 𝑧(𝑧𝑋 ↦ (𝑔𝑧))
5351, 52nfeq 2758 . . . . . . . . . . 11 𝑧 𝑓 = (𝑧𝑋 ↦ (𝑔𝑧))
54 fveq1 6084 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 = (𝑧𝑋 ↦ (𝑔𝑧)) → (𝑓𝑧) = ((𝑧𝑋 ↦ (𝑔𝑧))‘𝑧))
5554eleq1d 2668 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 = (𝑧𝑋 ↦ (𝑔𝑧)) → ((𝑓𝑧) ∈ 𝑧 ↔ ((𝑧𝑋 ↦ (𝑔𝑧))‘𝑧) ∈ 𝑧))
5653, 55ralbid 2962 . . . . . . . . . 10 (𝑓 = (𝑧𝑋 ↦ (𝑔𝑧)) → (∀𝑧𝑋 (𝑓𝑧) ∈ 𝑧 ↔ ∀𝑧𝑋 ((𝑧𝑋 ↦ (𝑔𝑧))‘𝑧) ∈ 𝑧))
5750, 56anbi12d 742 . . . . . . . . 9 (𝑓 = (𝑧𝑋 ↦ (𝑔𝑧)) → ((𝑓 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑧𝑋 (𝑓𝑧) ∈ 𝑧) ↔ ((𝑧𝑋 ↦ (𝑔𝑧)) Fn 𝑋 ∧ ∀𝑧𝑋 ((𝑧𝑋 ↦ (𝑔𝑧))‘𝑧) ∈ 𝑧)))
5857spcegv 3263 . . . . . . . 8 ((𝑧𝑋 ↦ (𝑔𝑧)) ∈ V → (((𝑧𝑋 ↦ (𝑔𝑧)) Fn 𝑋 ∧ ∀𝑧𝑋 ((𝑧𝑋 ↦ (𝑔𝑧))‘𝑧) ∈ 𝑧) → ∃𝑓(𝑓 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑧𝑋 (𝑓𝑧) ∈ 𝑧)))
5926, 49, 58sylc 62 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ∀𝑧𝑋 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑔𝑧) ∈ 𝑧)) → ∃𝑓(𝑓 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑧𝑋 (𝑓𝑧) ∈ 𝑧))
6059adantlr 746 . . . . . 6 (((𝜑𝑋 ≈ ω) ∧ ∀𝑧𝑋 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑔𝑧) ∈ 𝑧)) → ∃𝑓(𝑓 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑧𝑋 (𝑓𝑧) ∈ 𝑧))
6160ex 448 . . . . 5 ((𝜑𝑋 ≈ ω) → (∀𝑧𝑋 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑔𝑧) ∈ 𝑧) → ∃𝑓(𝑓 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑧𝑋 (𝑓𝑧) ∈ 𝑧)))
6261exlimdv 1847 . . . 4 ((𝜑𝑋 ≈ ω) → (∃𝑔𝑧𝑋 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑔𝑧) ∈ 𝑧) → ∃𝑓(𝑓 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑧𝑋 (𝑓𝑧) ∈ 𝑧)))
6324, 62mpd 15 . . 3 ((𝜑𝑋 ≈ ω) → ∃𝑓(𝑓 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑧𝑋 (𝑓𝑧) ∈ 𝑧))
6413, 63syldan 485 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ Fin) → ∃𝑓(𝑓 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑧𝑋 (𝑓𝑧) ∈ 𝑧))
655, 64pm2.61dan 827 1 (𝜑 → ∃𝑓(𝑓 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑧𝑋 (𝑓𝑧) ∈ 𝑧))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 382   = wceq 1474  wex 1694  wcel 1976  wne 2776  wral 2892  Vcvv 3169  c0 3870   class class class wbr 4574  cmpt 4634   Fn wfn 5782  cfv 5787  ωcom 6931  cen 7812  cdom 7813  csdm 7814  Fincfn 7815
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2229  ax-ext 2586  ax-rep 4690  ax-sep 4700  ax-nul 4709  ax-pow 4761  ax-pr 4825  ax-un 6821  ax-cc 9114
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2458  df-mo 2459  df-clab 2593  df-cleq 2599  df-clel 2602  df-nfc 2736  df-ne 2778  df-ral 2897  df-rex 2898  df-reu 2899  df-rab 2901  df-v 3171  df-sbc 3399  df-csb 3496  df-dif 3539  df-un 3541  df-in 3543  df-ss 3550  df-pss 3552  df-nul 3871  df-if 4033  df-pw 4106  df-sn 4122  df-pr 4124  df-tp 4126  df-op 4128  df-uni 4364  df-int 4402  df-iun 4448  df-br 4575  df-opab 4635  df-mpt 4636  df-tr 4672  df-eprel 4936  df-id 4940  df-po 4946  df-so 4947  df-fr 4984  df-we 4986  df-xp 5031  df-rel 5032  df-cnv 5033  df-co 5034  df-dm 5035  df-rn 5036  df-res 5037  df-ima 5038  df-pred 5580  df-ord 5626  df-on 5627  df-lim 5628  df-suc 5629  df-iota 5751  df-fun 5789  df-fn 5790  df-f 5791  df-f1 5792  df-fo 5793  df-f1o 5794  df-fv 5795  df-ov 6527  df-oprab 6528  df-mpt2 6529  df-om 6932  df-1st 7033  df-2nd 7034  df-wrecs 7268  df-recs 7329  df-rdg 7367  df-1o 7421  df-oadd 7425  df-er 7603  df-en 7816  df-dom 7817  df-sdom 7818  df-fin 7819
This theorem is referenced by:  subsaliuncl  39053
  Copyright terms: Public domain W3C validator