Theorem axcnex 5239

Description: The class of complex numbers is a set, i.e. it is a member of the universe of sets V (see isset 1805). Axiom 1 of 25 for real and complex numbers, derived from ZF set theory.

Assertion

Ref	Expression
axcnex	⊢ ℂ ∈ V

Proof of Theorem axcnex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-c 5212	. 2 ⊢ ℂ = (R × R)
2		srex 5151	. . 3 ⊢ R ∈ V
3	2, 2	xpex 3250	. 2 ⊢ (R × R) ∈ V
4	1, 3	eqeltr 1536	1 ⊢ ℂ ∈ V

Syntax hints:   ∈ wcel 955  Vcvv 1802   × cxp 3158  Rcnr 4965  ℂcc 5204

This theorem is referenced by:  reex 5284  addex 5289  mulex 5290  subvalt 5329  pnfxr 5465  mnfxr 5466  pnfnre 5468  mnfnre 5469  pnfnemnf 5509  divval 5673  nn0ex 6052  zex 6091  shftfval 6279  sumex 6919  cncfval 7199  elcncf 7200  cnmet 7843  lmfval 7863  caufval 7864  lmbr 7866  iscau 7874  lmclim 7898  cnaddabl 8063  ablmul 8068  vcoprne 8136  isvc 8138  cnnvnm 8250  abscn 8277  cnph 8409  circgrpOLD 8658  hvmulex 8802  hfsmvalt 9431  hfmmvalt 9432  nmfnvalt 9720  nlfnvalt 9725  specvalt 9741

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-inf2 4597

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-ral 1641  df-rex 1642  df-v 1803  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-qs 4250  df-ni 4972  df-nq 5010  df-np 5058  df-nr 5139  df-c 5212

Copyright terms: Public domain