MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axcnex Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem axcnex 9722
Description: The complex numbers form a set. This axiom is redundant in the presence of the other axioms (see cnexALT 11569), but the proof requires the axiom of replacement, while the derivation from the construction here does not. Thus, we can avoid ax-rep 4597 in later theorems by invoking the axiom ax-cnex 9746 instead of cnexALT 11569. Use cnex 9771 instead. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
axcnex ℂ ∈ V

Proof of Theorem axcnex
StepHypRef Expression
1 df-c 9696 . 2 ℂ = (R × R)
2 df-nr 9632 . . . 4 R = ((P × P) / ~R )
3 npex 9562 . . . . . . 7 P ∈ V
43, 3xpex 6735 . . . . . 6 (P × P) ∈ V
54pwex 4673 . . . . 5 𝒫 (P × P) ∈ V
6 enrer 9640 . . . . . . . 8 ~R Er (P × P)
76a1i 11 . . . . . . 7 (⊤ → ~R Er (P × P))
87qsss 7570 . . . . . 6 (⊤ → ((P × P) / ~R ) ⊆ 𝒫 (P × P))
98trud 1483 . . . . 5 ((P × P) / ~R ) ⊆ 𝒫 (P × P)
105, 9ssexi 4630 . . . 4 ((P × P) / ~R ) ∈ V
112, 10eqeltri 2588 . . 3 R ∈ V
1211, 11xpex 6735 . 2 (R × R) ∈ V
131, 12eqeltri 2588 1 ℂ ∈ V
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wtru 1475  wcel 1938  Vcvv 3077  wss 3444  𝒫 cpw 4011   × cxp 4930   Er wer 7501   / cqs 7503  Pcnp 9435   ~R cer 9440  Rcnr 9441  cc 9688
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1700  ax-4 1713  ax-5 1793  ax-6 1838  ax-7 1885  ax-8 1940  ax-9 1947  ax-10 1966  ax-11 1971  ax-12 1983  ax-13 2137  ax-ext 2494  ax-sep 4607  ax-nul 4616  ax-pow 4668  ax-pr 4732  ax-un 6722  ax-inf2 8296
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1699  df-sb 1831  df-eu 2366  df-mo 2367  df-clab 2501  df-cleq 2507  df-clel 2510  df-nfc 2644  df-ne 2686  df-ral 2805  df-rex 2806  df-reu 2807  df-rmo 2808  df-rab 2809  df-v 3079  df-sbc 3307  df-csb 3404  df-dif 3447  df-un 3449  df-in 3451  df-ss 3458  df-pss 3460  df-nul 3778  df-if 3940  df-pw 4013  df-sn 4029  df-pr 4031  df-tp 4033  df-op 4035  df-uni 4271  df-int 4309  df-iun 4355  df-br 4482  df-opab 4542  df-mpt 4543  df-tr 4579  df-eprel 4843  df-id 4847  df-po 4853  df-so 4854  df-fr 4891  df-we 4893  df-xp 4938  df-rel 4939  df-cnv 4940  df-co 4941  df-dm 4942  df-rn 4943  df-res 4944  df-ima 4945  df-pred 5487  df-ord 5533  df-on 5534  df-lim 5535  df-suc 5536  df-iota 5653  df-fun 5691  df-fn 5692  df-f 5693  df-f1 5694  df-fo 5695  df-f1o 5696  df-fv 5697  df-ov 6428  df-oprab 6429  df-mpt2 6430  df-om 6833  df-1st 6933  df-2nd 6934  df-wrecs 7168  df-recs 7230  df-rdg 7268  df-1o 7322  df-oadd 7326  df-omul 7327  df-er 7504  df-ec 7506  df-qs 7510  df-ni 9448  df-pli 9449  df-mi 9450  df-lti 9451  df-plpq 9484  df-mpq 9485  df-ltpq 9486  df-enq 9487  df-nq 9488  df-erq 9489  df-plq 9490  df-mq 9491  df-1nq 9492  df-rq 9493  df-ltnq 9494  df-np 9557  df-plp 9559  df-ltp 9561  df-enr 9631  df-nr 9632  df-c 9696
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator