MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axcnex Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem axcnex 10006
Description: The complex numbers form a set. This axiom is redundant in the presence of the other axioms (see cnexALT 11866), but the proof requires the axiom of replacement, while the derivation from the construction here does not. Thus, we can avoid ax-rep 4804 in later theorems by invoking the axiom ax-cnex 10030 instead of cnexALT 11866. Use cnex 10055 instead. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
axcnex ℂ ∈ V

Proof of Theorem axcnex
StepHypRef Expression
1 df-c 9980 . 2 ℂ = (R × R)
2 df-nr 9916 . . . 4 R = ((P × P) / ~R )
3 npex 9846 . . . . . . 7 P ∈ V
43, 3xpex 7004 . . . . . 6 (P × P) ∈ V
54pwex 4878 . . . . 5 𝒫 (P × P) ∈ V
6 enrer 9924 . . . . . . . 8 ~R Er (P × P)
76a1i 11 . . . . . . 7 (⊤ → ~R Er (P × P))
87qsss 7851 . . . . . 6 (⊤ → ((P × P) / ~R ) ⊆ 𝒫 (P × P))
98trud 1533 . . . . 5 ((P × P) / ~R ) ⊆ 𝒫 (P × P)
105, 9ssexi 4836 . . . 4 ((P × P) / ~R ) ∈ V
112, 10eqeltri 2726 . . 3 R ∈ V
1211, 11xpex 7004 . 2 (R × R) ∈ V
131, 12eqeltri 2726 1 ℂ ∈ V
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wtru 1524  wcel 2030  Vcvv 3231  wss 3607  𝒫 cpw 4191   × cxp 5141   Er wer 7784   / cqs 7786  Pcnp 9719   ~R cer 9724  Rcnr 9725  cc 9972
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-omul 7610  df-er 7787  df-ec 7789  df-qs 7793  df-ni 9732  df-pli 9733  df-mi 9734  df-lti 9735  df-plpq 9768  df-mpq 9769  df-ltpq 9770  df-enq 9771  df-nq 9772  df-erq 9773  df-plq 9774  df-mq 9775  df-1nq 9776  df-rq 9777  df-ltnq 9778  df-np 9841  df-plp 9843  df-ltp 9845  df-enr 9915  df-nr 9916  df-c 9980
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator