Theorem axcnre 5258

Description: A complex number can be expressed in terms of two reals. Definition 10-1.1(v) of [Gleason] p. 130. Axiom 20 of 25 for real and complex numbers, derived from ZF set theory.

Assertion

Ref	Expression
axcnre	⊢ (A ∈ ℂ → ∃x ∈ ℝ ∃y ∈ ℝ A = (x + (i · y)))

Distinct variable group:   x,y,A

Proof of Theorem axcnre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-c 5212	. 2 ⊢ ℂ = (R × R)
2		eqeq1 1473	. . 3 ⊢ (⟨z, w⟩ = A → (⟨z, w⟩ = (x + (i · y)) ↔ A = (x + (i · y))))
3	2	2rexbidv 1673	. 2 ⊢ (⟨z, w⟩ = A → (∃x ∈ ℝ ∃y ∈ ℝ ⟨z, w⟩ = (x + (i · y)) ↔ ∃x ∈ ℝ ∃y ∈ ℝ A = (x + (i · y))))
4		opex 2772	. . . . 5 ⊢ ⟨z, 0R⟩ ∈ V
5		opex 2772	. . . . 5 ⊢ ⟨w, 0R⟩ ∈ V
6		eleq1 1526	. . . . . . 7 ⊢ (x = ⟨z, 0R⟩ → (x ∈ ℝ ↔ ⟨z, 0R⟩ ∈ ℝ))
7		eleq1 1526	. . . . . . 7 ⊢ (y = ⟨w, 0R⟩ → (y ∈ ℝ ↔ ⟨w, 0R⟩ ∈ ℝ))
8	6, 7	bi2anan9 630	. . . . . 6 ⊢ ((x = ⟨z, 0R⟩ ⋀ y = ⟨w, 0R⟩) → ((x ∈ ℝ ⋀ y ∈ ℝ) ↔ (⟨z, 0R⟩ ∈ ℝ ⋀ ⟨w, 0R⟩ ∈ ℝ)))
9		opreq1 3953	. . . . . . . 8 ⊢ (x = ⟨z, 0R⟩ → (x + (i · y)) = (⟨z, 0R⟩ + (i · y)))
10		opreq2 3954	. . . . . . . . 9 ⊢ (y = ⟨w, 0R⟩ → (i · y) = (i · ⟨w, 0R⟩))
11	10	opreq2d 3961	. . . . . . . 8 ⊢ (y = ⟨w, 0R⟩ → (⟨z, 0R⟩ + (i · y)) = (⟨z, 0R⟩ + (i · ⟨w, 0R⟩)))
12	9, 11	sylan9eq 1519	. . . . . . 7 ⊢ ((x = ⟨z, 0R⟩ ⋀ y = ⟨w, 0R⟩) → (x + (i · y)) = (⟨z, 0R⟩ + (i · ⟨w, 0R⟩)))
13	12	eqeq2d 1478	. . . . . 6 ⊢ ((x = ⟨z, 0R⟩ ⋀ y = ⟨w, 0R⟩) → (⟨z, w⟩ = (x + (i · y)) ↔ ⟨z, w⟩ = (⟨z, 0R⟩ + (i · ⟨w, 0R⟩))))
14	8, 13	anbi12d 626	. . . . 5 ⊢ ((x = ⟨z, 0R⟩ ⋀ y = ⟨w, 0R⟩) → (((x ∈ ℝ ⋀ y ∈ ℝ) ⋀ ⟨z, w⟩ = (x + (i · y))) ↔ ((⟨z, 0R⟩ ∈ ℝ ⋀ ⟨w, 0R⟩ ∈ ℝ) ⋀ ⟨z, w⟩ = (⟨z, 0R⟩ + (i · ⟨w, 0R⟩)))))
15	4, 5, 14	cla42ev 1861	. . . 4 ⊢ (((⟨z, 0R⟩ ∈ ℝ ⋀ ⟨w, 0R⟩ ∈ ℝ) ⋀ ⟨z, w⟩ = (⟨z, 0R⟩ + (i · ⟨w, 0R⟩))) → ∃x∃y((x ∈ ℝ ⋀ y ∈ ℝ) ⋀ ⟨z, w⟩ = (x + (i · y))))
16		opelreal 5221	. . . . . 6 ⊢ (⟨z, 0R⟩ ∈ ℝ ↔ z ∈ R)
17		opelreal 5221	. . . . . 6 ⊢ (⟨w, 0R⟩ ∈ ℝ ↔ w ∈ R)
18	16, 17	anbi12i 481	. . . . 5 ⊢ ((⟨z, 0R⟩ ∈ ℝ ⋀ ⟨w, 0R⟩ ∈ ℝ) ↔ (z ∈ R ⋀ w ∈ R))
19	18	biimpr 152	. . . 4 ⊢ ((z ∈ R ⋀ w ∈ R) → (⟨z, 0R⟩ ∈ ℝ ⋀ ⟨w, 0R⟩ ∈ ℝ))
20		0r 5161	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0R ∈ R
21		1r 5162	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1R ∈ R
22	20, 21	pm3.2i 285	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0R ∈ R ⋀ 1R ∈ R)
23		mulcnsr 5226	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((0R ∈ R ⋀ 1R ∈ R) ⋀ (w ∈ R ⋀ 0R ∈ R)) → (⟨0R, 1R⟩ · ⟨w, 0R⟩) = ⟨((0R ·R w) +R (-1R ·R (1R ·R 0R))), ((1R ·R w) +R (0R ·R 0R))⟩)
24	22, 23	mpan 693	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((w ∈ R ⋀ 0R ∈ R) → (⟨0R, 1R⟩ · ⟨w, 0R⟩) = ⟨((0R ·R w) +R (-1R ·R (1R ·R 0R))), ((1R ·R w) +R (0R ·R 0R))⟩)
25	20, 24	mpan2 694	. . . . . . . . 9 ⊢ (w ∈ R → (⟨0R, 1R⟩ · ⟨w, 0R⟩) = ⟨((0R ·R w) +R (-1R ·R (1R ·R 0R))), ((1R ·R w) +R (0R ·R 0R))⟩)
26		00sr 5180	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (w ∈ R → (w ·R 0R) = 0R)
27	20	elisseti 1809	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0R ∈ V
28		visset 1804	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ w ∈ V
29	27, 28	mulcomsr 5170	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0R ·R w) = (w ·R 0R)
30	26, 29	syl5eq 1511	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (w ∈ R → (0R ·R w) = 0R)
31	30	opreq1d 3960	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (w ∈ R → ((0R ·R w) +R (-1R ·R (1R ·R 0R))) = (0R +R (-1R ·R (1R ·R 0R))))
32		00sr 5180	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (1R ∈ R → (1R ·R 0R) = 0R)
33	21, 32	ax-mp 7	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (1R ·R 0R) = 0R
34	33	opreq2i 3957	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (-1R ·R (1R ·R 0R)) = (-1R ·R 0R)
35		m1r 5163	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ -1R ∈ R
36		00sr 5180	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (-1R ∈ R → (-1R ·R 0R) = 0R)
37	35, 36	ax-mp 7	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (-1R ·R 0R) = 0R
38	34, 37	eqtr 1487	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (-1R ·R (1R ·R 0R)) = 0R
39	38	opreq2i 3957	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0R +R (-1R ·R (1R ·R 0R))) = (0R +R 0R)
40		0idsr 5178	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0R ∈ R → (0R +R 0R) = 0R)
41	20, 40	ax-mp 7	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0R +R 0R) = 0R
42	39, 41	eqtr 1487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0R +R (-1R ·R (1R ·R 0R))) = 0R
43	31, 42	syl6eq 1515	. . . . . . . . . 10 ⊢ (w ∈ R → ((0R ·R w) +R (-1R ·R (1R ·R 0R))) = 0R)
44		1idsr 5179	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (w ∈ R → (w ·R 1R) = w)
45	21	elisseti 1809	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1R ∈ V
46	45, 28	mulcomsr 5170	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1R ·R w) = (w ·R 1R)
47	44, 46	syl5eq 1511	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (w ∈ R → (1R ·R w) = w)
48	47	opreq1d 3960	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (w ∈ R → ((1R ·R w) +R (0R ·R 0R)) = (w +R (0R ·R 0R)))
49		0idsr 5178	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (w ∈ R → (w +R 0R) = w)
50		00sr 5180	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0R ∈ R → (0R ·R 0R) = 0R)
51	20, 50	ax-mp 7	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0R ·R 0R) = 0R
52	51	opreq2i 3957	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (w +R (0R ·R 0R)) = (w +R 0R)
53	49, 52	syl5eq 1511	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (w ∈ R → (w +R (0R ·R 0R)) = w)
54	48, 53	eqtrd 1499	. . . . . . . . . 10 ⊢ (w ∈ R → ((1R ·R w) +R (0R ·R 0R)) = w)
55	43, 54	opeq12d 2486	. . . . . . . . 9 ⊢ (w ∈ R → ⟨((0R ·R w) +R (-1R ·R (1R ·R 0R))), ((1R ·R w) +R (0R ·R 0R))⟩ = ⟨0R, w⟩)
56	25, 55	eqtrd 1499	. . . . . . . 8 ⊢ (w ∈ R → (⟨0R, 1R⟩ · ⟨w, 0R⟩) = ⟨0R, w⟩)
57		df-i 5215	. . . . . . . . 9 ⊢ i = ⟨0R, 1R⟩
58	57	opreq1i 3956	. . . . . . . 8 ⊢ (i · ⟨w, 0R⟩) = (⟨0R, 1R⟩ · ⟨w, 0R⟩)
59	56, 58	syl5eq 1511	. . . . . . 7 ⊢ (w ∈ R → (i · ⟨w, 0R⟩) = ⟨0R, w⟩)
60	59	opreq2d 3961	. . . . . 6 ⊢ (w ∈ R → (⟨z, 0R⟩ + (i · ⟨w, 0R⟩)) = (⟨z, 0R⟩ + ⟨0R, w⟩))
61	60	adantl 388	. . . . 5 ⊢ ((z ∈ R ⋀ w ∈ R) → (⟨z, 0R⟩ + (i · ⟨w, 0R⟩)) = (⟨z, 0R⟩ + ⟨0R, w⟩))
62		addcnsr 5225	. . . . . . 7 ⊢ (((z ∈ R ⋀ 0R ∈ R) ⋀ (0R ∈ R ⋀ w ∈ R)) → (⟨z, 0R⟩ + ⟨0R, w⟩) = ⟨(z +R 0R), (0R +R w)⟩)
63	20, 62	mpanl2 705	. . . . . 6 ⊢ ((z ∈ R ⋀ (0R ∈ R ⋀ w ∈ R)) → (⟨z, 0R⟩ + ⟨0R, w⟩) = ⟨(z +R 0R), (0R +R w)⟩)
64	20, 63	mpanr1 707	. . . . 5 ⊢ ((z ∈ R ⋀ w ∈ R) → (⟨z, 0R⟩ + ⟨0R, w⟩) = ⟨(z +R 0R), (0R +R w)⟩)
65		opeq12 2480	. . . . . 6 ⊢ (((z +R 0R) = z ⋀ (0R +R w) = w) → ⟨(z +R 0R), (0R +R w)⟩ = ⟨z, w⟩)
66		0idsr 5178	. . . . . 6 ⊢ (z ∈ R → (z +R 0R) = z)
67	27, 28	addcomsr 5168	. . . . . . 7 ⊢ (0R +R w) = (w +R 0R)
68	49, 67	syl5eq 1511	. . . . . 6 ⊢ (w ∈ R → (0R +R w) = w)
69	65, 66, 68	syl2an 454	. . . . 5 ⊢ ((z ∈ R ⋀ w ∈ R) → ⟨(z +R 0R), (0R +R w)⟩ = ⟨z, w⟩)
70	61, 64, 69	3eqtrrd 1504	. . . 4 ⊢ ((z ∈ R ⋀ w ∈ R) → ⟨z, w⟩ = (⟨z, 0R⟩ + (i · ⟨w, 0R⟩)))
71	15, 19, 70	sylanc 471	. . 3 ⊢ ((z ∈ R ⋀ w ∈ R) → ∃x∃y((x ∈ ℝ ⋀ y ∈ ℝ) ⋀ ⟨z, w⟩ = (x + (i · y))))
72		r2ex 1683	. . 3 ⊢ (∃x ∈ ℝ ∃y ∈ ℝ ⟨z, w⟩ = (x + (i · y)) ↔ ∃x∃y((x ∈ ℝ ⋀ y ∈ ℝ) ⋀ ⟨z, w⟩ = (x + (i · y))))
73	71, 72	sylibr 200	. 2 ⊢ ((z ∈ R ⋀ w ∈ R) → ∃x ∈ ℝ ∃y ∈ ℝ ⟨z, w⟩ = (x + (i · y)))
74	1, 3, 73	optocl 3225	1 ⊢ (A ∈ ℂ → ∃x ∈ ℝ ∃y ∈ ℝ A = (x + (i · y)))

Syntax hints:   → wi 3   ⋀ wa 223   = wceq 953   ∈ wcel 955  ∃wex 977  ∃wrex 1638  ⟨cop 2401  (class class class)co 3948  Rcnr 4965  0_Rc0r 4966  1_Rc1r 4967  -1_Rcm1r 4968   +_R cplr 4969   ·_R cmr 4970  ℂcc 5204  ℝcr 5205  ici 5208   + caddc 5209   · cmul 5211

This theorem is referenced by:  cnegextlem2 5318  cnegext 5320  1re 5407  0re 5412  recext 5657  creur 6673  creui 6674  ipasslem11 8431

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-inf2 4597

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1st 4063  df-2nd 4064  df-1o 4117  df-oadd 4119  df-omul 4120  df-er 4245  df-ec 4247  df-qs 4250  df-ni 4972  df-pli 4973  df-mi 4974  df-lti 4975  df-plpq 5007  df-mpq 5008  df-enq 5009  df-nq 5010  df-plq 5011  df-mq 5012  df-rq 5013  df-ltq 5014  df-1q 5015  df-np 5058  df-1p 5059  df-plp 5060  df-mp 5061  df-ltp 5062  df-plpr 5136  df-mpr 5137  df-enr 5138  df-nr 5139  df-plr 5140  df-mr 5141  df-0r 5143  df-1r 5144  df-m1r 5145  df-c 5212  df-i 5215  df-r 5216  df-plus 5217  df-mul 5218

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